Separable differential equations

Takže když už jsme
se trochu seznámili

s diferenciálními rovnicemi

a také nákresy jejich řešení

s použitím vektorového pole,

pojďme si vlastně zkusit

diferenciální rovnice vyřešit.

Jak uvidíme, různé druhy
diferenciálních rovnic

budou vyžadovat různé metody

a některé z nich
třeba nebudeme schopni

vyřešit vůbec žádnou metodou.

To bychom pak museli použít
početní metody,

abychom odhadli řešení.

Ale pojďme se podívat na metodu,

kterou považuji za snad nejjednodušší
metodu řešení,

což je metoda se separovanými proměnnými.

Diferenciální rovnice
se separovanými proměnnými.

A za chvilku uvidíme,
proč tomu říkáme

diferenciální rovnice
se separovanými proměnnými.

Řekněme, že máme
derivace y podle x

se rovná minus x

lomeno y krát e na x.

Takže mám tuto
diferenciální rovnici

a chci najít partikulární řešení,

které prochází skrz bod [0,1].

Zkuste si video zastavit
a já vám trochu poradím.

Zkuste na jednu stranu rovnice

převést všechna y a derivace y

a na druhou stranu všechna
x a derivace x,

a pak to zintegrovat.

A snad se vám podaří
najít partikulární řešení

této diferenciální rovnice,

které prochází tímto bodem.

Pokud se vám to nepovedlo,
nevadí,

teď si to projdeme společně.

Takže, jak už jsem řekl,
zkusíme pomocí algebry

převést všechna y a derivace y
na jednu stranu

a všechna x a derivace x
na druhou stranu.

Takže třeba budu chtít dostat
všechna y

a derivace y na levou stranu

a všechna x a derivace x
na pravou stranu.

Můžu vynásobit obě strany y.

To mi udělá to,
že všechna y převedu na levou stranu.

A pak můžu vynásobit obě strany
dx.

Můžu to vynásobit dx.

Vlastně můžeme zacházet
s derivacemi,

jako byste zacházeli s neznámými,

když je takto převádíte,

abyste oddělili neznámé
na dvě strany.

Takže toto se vykrátí.

A zůstane nám y krát dy.

y krát dy se rovná -x...

Napíšu to jinak.

Napíšu to jako -x krát e...

Asi budu potřebovat víc místa.

-x krát e na ((-x) na druhou) dx.

dx.

Proč to je zajímavé?

Protože teď můžeme
zintegrovat obě strany.

A to také vysvětluje,

proč tomu říkáme
separované proměnné.

Tohle nemůžete provést

s každou diferenciální rovnicí.

Nepodaří se vám
algebraickými úpravami

oddělit y a dy na jedné straně

a x a dx na druhé straně.

Ale u této to jde.

To je důvod,
proč tomu říkáme

diferenciální rovnice
se separovanými proměnnými.

Diferenciální rovnice.

To je zpravidla první metoda,
kterou byste měli zkusit.

Můžu oddělit y a x?

A jak jsem už řekl,
to nepůjde

u spousty, vlastně většiny
diferenciálních rovnic.

Ale když už se nám
to povedlo,

můžeme zintegrovat obě strany.

Pojďme na to.

Vezmu si nějakou
novou barvu.

Zintegruji obě strany.

Když zintegrujete levou stranu,

co dostanete?

A nezapoměňte,

tady integrujeme podle y.

To bude y na druhou lomeno 2,

plus nějaká konstanta.

Nazvu ji plus C1.

A když integruji toto,

to se bude rovnat...

Na pravé straně budeme

integrovat podle x.

Můžeme integrovat
pomocí substituce,

nebo se na to můžete podívat a říct,

že derivace z -x na druhou

bude -2x.

Takže kdyby tady byla 2,

nechci změnit hodnotu integrálu,

takže napíšu ještě 1/2 sem.

Takže buď můžeme
substituovat,

nebo to můžete udělat z hlavy.

Substitucí u se bude rovnat
-x na druhou

a du bude -2x dx,

nebo můžete počítat z hlavy.

Takže mám něco
a derivaci něčeho,

takže můžu integrovat
podle toho něčeho,

podle našeho u.

Takže to bude 1/2,

tato 1/2.

Teď antiderivace.

To bude e na ((-x) na druhou).

A pak samozřejmě
nějaká konstanta.

Nazvuji ji C2.

Znovu, pokud vám to

přišlo matoucí, co jsem udělal,

pak použijte substituci,

zkuste si to sami.

A co teď?

Máme konstantu na levé straně.

Ta je libovolná.

A nevíme,
kolik ta konstanta je.

Ještě jsme nepoužili
počáteční podmínku.

Takže odečtu C1 od obou stran.

Když odečtu C1 od obou stran,

toto se odečte

a mám C2...
Omlouvám se.

Toto je C1.

To se odečte.

A C2 minus C1,

obě to jsou
libovolné konstanty.

A ještě nevíme, kolik jsou.

Takže to můžeme prostě přepsat jako...

Nalevo máme y na druhou lomeno 2

se rovná pravé straně.

Tam napíšu 1/2 e...

Napíšu to modře,

protože jsem to tak psal
už předtím.

1/2 e na ((-x) na druhou).

A teď řeknu,
že C2 minus C1

je prostě C.

Takže rozdíl těchto dvou konstant

nazvu jednoduše C.

Takže teď máme
obecné řešení.

Neznáme ještě tuto konstantu

a nevyjádřili jsme to pro y,

ale i v tomto tvaru

můžeme najít partikulární řešení

s použitím počáteční podmínky.

Jasně to oddělím.

Toto bylo součástí

původního zadání.

Takže počáteční podmínka.

Takže to nám říká,
když x je 0,

pak y musí být 1.

Takže máme 1 na druhou,
což je 1,

lomeno 2, což se rovná 1/2

krát e na ((-0) na druhou).

Tak to bude e na nultou,

což je 1.

Takže to bude 1/2 plus C.

Takže z toho už to
můžeme vyřešit.

Když odečtete 1/2 od obou stran,

C se rovná 0.

Takže vztah mezi y a x,

který prochází tímto bodem,

bude, když C se bude rovnat 0.

Takže toto se rovná 0.

Toto je 0.

Takže nám zbylo
y na druhou lomeno 2

se rovná e na ((-x) na druhou lomeno 2.

Teď můžeme vynásobit obě strany dvěma.

A dostaneme y na druhou...

... se rovná e na ((-x) na druhou).

Teď můžeme odmocnit
obě strany,

takže když y na druhou
se rovná tomuto,

y se rovná plus minus
odmocnina z

e na ((-x) na druhou).

Ale máme zadanou
počáteční podmínku,

kde y je kladné.

Takže hledáme
partikulární řešení,

které prochází tímto bodem.

Takže y bude
kladná odmocnina.

Kdyby to byl bod [0,-1],

pak bychom řekli,
že y bude záporná odmocnina.

Ale víme,
že teď to je kladná odmocnina.

Udělám to trochu přehledněji.

Takže se můžeme zbavit...

Ooops, myslel jsem,
že to je černá.

Tohoto se můžeme zbavit.

Budeme řešit jen

kladnou odmocninu,

takže to můžeme napsat jako

y se rovná e na ((-x) na druhou,
to celé na 1/2.

To se bude rovnat

e na ((-x) na druhou lomeno 2).

Takže toto...

y se rovná e na ((-x) na druhou lomeno 2),

to je partikulární řešení,

které splňuje počáteční podmínky

této původní
diferenciální rovnice.

Tak.

Protože jsme mohli...
Jen si to shrneme,

protože tato diferenciální
rovnice byla zadaná tak,

že jsme ji mohli
algebraickými úpravami

rozdělit na y, dy a x, dx,

protože jsme je mohli oddělit,

mohli jsme pak integrovat

a použít počáteční podmínky

k nalezení partikulárního řešení.