Universal set and absolute complement

สิ่งที่ผมอยากทำในวิดีโอนี้ คือแนะนำแนวคิดเรื่องเซตจักรวาล (universal set) หรือจักรวาลที่เราสนใจ

แล้วก็แนวคิดเรื่องคอมพลิเมนต์, หรือคอมพลิเมนต์สัมบูรณ์นั่นเอง

ถ้าเราวาดแผนภาพเวนน์, เอกภพมักวาดเป็นรูปสี่เหลี่ยมตรงนี้

มันเองเป็นเซต และมักแทนด้วยตัว U ใหญ่

U แทนจักรวาล (universe), อย่าสับสนกับเครื่องหมายยูเนียนเซตล่ะ

แล้วคุณบอกได้ว่า จักรวาลคือทุกอย่างที่เป็นไปได้ที่อยู่ในเซต

รวมทั้งสัตว์ในฟาร์ม, เครื่องครัว, อารมณ์ ประเภทอาหารอิตาเลียน หรือแม้กระทั่งประเภทของอาหาร

แต่นั่นมันมากเกินไป เพราะคุณคิดถึงทุกอย่างที่เป็นไปได้จริงๆ

โดยทั่วไป, เวลาคนเขาพูดถึงเซตจักรวาล, เขามักพูดถึงจักรวาลของสิ่งที่เขาสนใจ

เซตของคนทุกคน, หรือเซตของจำนวนจริงทุกตัว, หรือเซตของประเทศทุกแห่ง

ไม่ว่าเรากำลังสนใจเรื่องอะไรอยู่

แต่เราจะพูดถึงเทอมนามธรรมในตอนนี้

สมมุติว่าคุณมีสับเซตของเซตจักรวาล, ให้ A

ให้ A บรรจุทุกอย่งที่ผมแรเงาไว้

สิ่งที่เราจะพูดถึงตอนนี้คือแนวคิดเรื่องคอมพลิเมนต์, หรือคอมพลิเมนต์สัมบูรณ์ของ A

วิธีที่เราคิดคือว่านี่คือเซตของทุกสิ่งในจักรวาลที่ไม่ได้อยู่ใน A

เราได้หาวิธีแสดงเจ้านี่แล้ว

เซตของทุกอย่างในจักรวาลที่ไม่ใช่ A

เราสามารถเขียนมันได้ว่าเซตจักรวาลลบ A

เหมือนเดิม, นี่คือ U ใหญ่, ไม่ใช่เครื่องหมายยูเนียนนะตรงนี้

หรือเราเขียนมันได้ว่า U ทับ A

แล้วเราจะแทนมันในแผนภาพเวนน์อย่างไร?

มันก็คือทุกอย่างใน U ที่ไม่อยู่ใน A

วิธีคิดอย่างหนึ่งคือ มันเป็นคอมพลิเมนต์สัมพัทธ์ของ A ที่อยู่ใน U

แต่เมื่อคุณหาคอมพลิเมนต์สัมพัทธ์ของอะไรสักอย่าง ที่อยู่ในเซตจักรวาล

คุณก็กำลังพูดถึงคอมพลิเมนต์สัมบูรณ์

เวลาเราพูดถึงคอมพลิเมนต์, เขากำลังบอกว่าอะไร

เซตของทุกอย่างในจักรวาลเราที่ไม่อยู่ใน A คืออะไร?

ลองทำให้ทุกอย่างชัดเจนขึ้น โดยพูดถึงเซตของจำนวนดู

เหมือนเดิม, เราอาจพูดถึงเซตของช่องทีวี, หรือสัตว์, หรืออะไรก็ได้

แต่จำนวนที่ของง่ายๆ ที่คิดได้

และสมมุติว่าจักรวาลที่เราสนใจคือ เซตของจำนวนเต็ม

จักรวาลของเราคือเซตของจำนวนเต็ม

ผมจะเขียน U ใหญ๋แทนเซตของจำนวนเต็ม

นี่มันนอกเรื่องหน่อย, แต่สัญลักษณ์สำหรับเซตของจำนวนเต็ม มักแทนด้วย Z ตัวหนา

Z แทน "zol" จากภาษาเยอรมันแทนจำนวนเต็ม

ตัวเข้ม นี่คือ "ตัวหนาแบบกระดานดำ" ที่ดูประหลาดหน่อย

มันคือสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ใช้แทนเซตของจำนวนต่างๆ

ผมจะเขียนไว้ข้างๆ ตรงนี้นะ

เขามักเขียน R แบบนี้แทนเซตของจำนวนจริง

เขาจะเขียน Q ในฟอนต์หนาแบบกระดานดำ (มันเป็นแบบนี้), นี่คือเซตของจำนวนตรรกยะ

คุณอาจบอำว่า "ทำไม Q ถึงแทนตรรกยะ?"

ทีนี้, มันมีเหตุผลหลายอย่าง:

หนึ่ง, R เขาใช้ไปแล้ว

และ Q แทนเศษส่วน (quotient), จำนวนตรรกยะสามารถแทนได้ด้วยเศษส่วนของจำนวนเต็ม

และเราเห็นแล้วว่า Z แทน zol หรือจำนวนเต็ม, เซตของจำนวนเต็มทุกตัว

แล้วเซตจักรวาลของเรา, จักรวาลที่เราสนใจตอนนี้คือจำนวนเต็ม

ลองนิยามสับเซตของมันขึ้นมา, เรียกมันว่าสับเซต C (ตัวอักษรที่ผมยังไม่ได้ใช้เยอะเท่าไหร่)

เซต C เท่ากับ -5, 0 กับ +7

แน่นอนผมไม่ได้วาดตามสัดส่วนจริง

เซตของจำนวนเต็มทุกตัวเป็นอนันต์ ขณะที่เซต C เป็นเซตจำกัด

แต่เวลาวาดมัน, นั่นคือเซต C ตรงนี้

ลองคิดดูว่าอะไรบ้างเป็นสมาชิกของ C และอะไรบ้างไม่ใช่สมาชิกของ C

เรารู้ว่า -5 เป็นสมาชิกของเซต C เรา

สัญลักษณ์เล็กๆ ตรงนี้แทนการเป็นสมาชิก, มันดูเหมือนกับตัวเอปซิลอน ตัวอักษรกรีก, แต่มันไม่ใช่

นี่หมายถึงการเป็นสมาชิกของเซต

เรารู้ว่า 0 เป็นสมาชิกของเซตเรา, และ 7 เป็นสมาชิกของเซตเรา

เรายังรู้อย่างอื่นด้วย

เรารู้ว่าเลข -8 ไม่ใช่สมาชิกของเซตเรา

เรารู้ว่าเลข 53 ไม่ใช่สมากชิกของเซตเรา

53 นั่งอยู่แถวนี้

เรารู้ว่า 42 ไม่ใช่สมาชิกของเซตเรา, 42 อาจนั่งอยู่แถวนี้

ทีนี้ ลองคิดถึง C คอมพลิเมนต์, หรือคอมพลิเมนต์ของ C กัน

C คอมพลิเมนต์, ซึ่งเท่ากับจักรวาลของเรา ลบ C

ซึ่งเท่ากับคอมพลิเมนต์สัมพันธ์ C กับจักรวาล

พวกนี้หมายความเหมือนกันหมด

แล้วเจ้านีในแผนภาพเราคืออะไร? มันคือของที่ข้างนอกเซต C เรา

และตอนนี้เรารู้ว่า -5 เป็นสมาชิกของ C, มันจึงเป็นสมาชิกของ C คอมพลิเมนต์ไม่ได้

-5 จึงไม่ใช่สมาชิกของ C คอมพลิเมนต์

0 ไม่ใช่สมาชิกของ C คอมพลิเมนต์. 0 อยู่ใน C, ไม่อยู่ใน C คอมพลิเมนต์

53 เป็นสมาชิกของ C คอมพลิเมนต์. มันอยู่ในจักรวาล, แต่อยู่นอก C

42 เป็นสมาชิกของ C คอมพลิเมนต์

หวังว่ามันคงช่วยให้คุณเข้าใจมากขึ้นนะ