Universal set and absolute complement

Quero introduzir a ideia
de um conjunto universal

e também a ideia
de um complemento absoluto.

O universo é geralmente
ilustrado como um retângulo.

É um conjunto e é expressado pela letra U.

U de universo, não confunda com U de união.

"U" é composto por tudo
que pode estar num conjunto

incluindo animais, talheres, e emoções,

e comida italiana
e outros tipos de comida,

mas isso seria levar em conta literalmente

todas as coisas no mundo.

Normalmente quando falamos em U,
pensamos só no universo de coisas

com quais nos importamos.

Como o conjunto de todas as pessoas,
ou de números reais ou de todos os países.

No que a discussão estiver focada.

Mas falaremos em termos abstratos agora.

Digamos que você tenha um subconjunto

dentro de U, o conjunto A.

O conjunto A contém tudo
que estou preenchendo.

Falaremos agora sobre
a ideia de complemento,

ou do complemento absoluto de A.

E podemos pensar sobre isso como

o conjunto de todas as coisas em U

que não estão em A.

Podemos representar o complemento de A

como o conjunto universal menos A.

Este é o U maiúsculo,
e não o símbolo de união.

Ou podemos escrever isso como U barra A.

Como expressamos isso no diagrama?

Seria tudo em U que não está em A.

É o complemento relativo
de A que está em U

o que também é chamado

de complemento absoluto.

Quando falamos de complemento,

é disso que estamos falando.

Qual é o conjunto de todas as coisas

no meu universo, que não estão em A?

Para fazer isso parecer mais concreto

falaremos agora sobre conjunto de números.

Poderíamos falar sobre conjuntos de

celebridades ou animais, qualquer coisa.

Mas números são simples de se lidar.

Digamos que este universo que nos importa

seja o conjunto de números inteiros.

O nosso universo
é o conjunto de números inteiros.

"U" é o conjunto dos inteiros.

Expressamos o conjunto de números inteiros

usando a notação Z.

Z que vem da palavra
alemã "zol" para inteiro.

É um Z em negrito com um traço aqui.

É como os matemáticos expressam

diferentes conjuntos de números.

Mostrarei aqui no canto.

Por exemplo, eles escrevem R assim

para expressar o conjunto de número reais.

Podem escrever um Q que se parece assim

para representar o conjunto,

o conjunto de números racionais.

Mas por que "Q" para números racionais?

Por algumas razões:

Primeiro, R já foi tomado

e Q é de quociente, e um número racional

pode ser expressado

como o quociente de inteiros, e vimos que

Z é para zol ou inteiros,

o conjunto de todos os inteiros.

Então o nosso conjunto universal é o

o conjunto dos inteiros.

Vamos definir agora um subconjunto deste,

o chamaremos de subconjunto C.

C é composto por menos cinco, zero e sete.

Não estou desenhando proporcionalmente

o conjunto de todos os inteiros é infinito

enquanto C é finito.

Mas vou desenhá-lo:

Aqui está C.

Pensemos sobre o que compõe C

e o que não compõe C.

Sabemos que menos cinco é um membro

do nosso subconjunto C.

Este pequeno símbolo significa "pertencer"

e se parece com a letra grega épsilon,

mas apenas significa
que menos cinco pertence a C.

Sabemos que zero é um membro
do nosso conjunto,

e que sete é um membro
do nosso conjunto

Também sabemos de outras coisas.

Sabemos que o número menos oito
não faz parte de C.

Sabemos que 53 não é
um membro do conjunto C

53 está em algum lugar por aqui.

Sabemos que 42 não faz parte de C,

42 poderia estar em algum lugar aqui.

Agora pensemos sobre o complemento de C.

O complemento de C
é igual ao universo menos C.

O que é o mesmo que o complemento relativo

de C no nosso universo.

Estas são todas notações equivalentes.

O que é isso no nosso diagrama?

É toda esta área fora do nosso conjunto C.

Bem aqui.

E agora sabemos que menos
cinco pertence a C, logo

ele não pode pertencer
ao complemento de C.

O número 0 também está em C, e logo

não faz parte do complemento de C.

53 sim, pertence ao complemento de C.

53 está no universo U, mas fora de C.

42 é um membro do complemento de C.

Espero que isto tenha ajudado
a esclarecer tudo.

[legendado por: Guilherme Hubner]