Universal set and absolute complement

To, co chcę zrobić w tym filmie to wprowadzić pojęcie zbioru uniwersalnego czy uniwersum, które nas interesuje

oraz pojęcie dopełnienia zbioru.

Jeżeli korzystamy z diagramu Venna, zbiór uniwersalny zwykle przedstawia się jako prostokąt, taki jak tutaj.

On sam jest zbiorem i zazwyczaj oznacza się go literą U.

U jak "uniwersalny", nie należy tego mylić ze znakiem sumy zbiorów

i mógłbyś powiedzieć, że zbiór uniwersalny to wszystkie możliwe rzeczy, które mogłyby być w naszym zbiorze

w tym zwierzęta, przybory kuchenne, emocje i dania włoskie albo nawet dowolne dania

ale wtedy staje się to wszystko trochę szalone, bo myślisz w takim wypadku o dosłownie wszystkich możliwych rzeczach.

Zazwyczaj kiedy się mówi o zbiorze uniwersalnym, ma się na myśli uniwersum rzeczy, które w danym momencie nas interesują.

Czyli na przykład zbiór wszystkich ludzi, lub zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, lub zbiór wszystkich państw

o czymkolwiek toczy się dyskusja

ale chwilowo będziemy o tym mówić w abstrakcyjnym sensie.

Powiedzmy, że masz podzbiór zbioru uniwersalnego: zbiór A.

Zbiór A zawiera wszystko, co właśnie zakreskowałem.

Teraz będziemy mówić o pojęciu dopełnienia zbioru A.

Możesz o tym myśleć jako o zbiorze wszystkich rzeczy ze zbioru uniwersalnego, których nie ma w A.

Już patrzyliśmy na to, jak można to wyrazić.

Zbiór wszystkich rzeczy ze zbioru uniwersalnego których nie ma w A.

Możemy to też zapisać jako zbiór uniwersalny minus A.

Raz jeszcze przypominam, że to jest duża litera U, a nie znak sumy zbiorów.

Moglibyśmy też to zapisać jako U ukośnik A.

Jak przedstawiamy to na diagramie Venna?

Będzie to wszystko z U, co nie siedzi w A.

Jedna z możliwości myślenia o tym to "dopełnienie A w U"

ale jeśli mówimy do dopełnieniu czegoś w zbiorze uniwersalnym

to tak naprawdę mówimy o dopełnieniu tego zbioru.

I kiedy mówi się o "dopełnieniu", zwykle to ma się na myśli.

Co jest zbiorem wszystkich rzeczy z mojego zbioru uniwersalnego, których nie ma w A?

Zajmijmy się teraz czymś trochę konkretniejszym, mianowicie zbiorami liczb.

Tak jak zwykle, moglibyśmy mówić o zbiorach sławnych ludzi z telewizji, czy zwierząt, czy czegokolwiek innego

ale na liczbach łatwo się wszystko widzi

i powiedzmy, że naszym zbiorem uniwersalnym, który nas chwilowo interesuje jest zbiór liczb całkowitych.

Naszym uniwersum jest zbiór liczb całkowitych.

Napiszę U jako zbiór liczb całkowitych.

To trochę na marginesie, ale przyjętą notacją na liczby całkowite jest pogrubione Z.

Z jak "Zahl", co znaczy po niemiecku liczba.

To pogrubienie jest trochę inne niż to najczęściej spotykane.

Matematycy używają go do oznaczania różnych zbiorów liczb

Pokażę tutaj z boku.

Na przykład mogą napisać takie R jako zbiór liczb rzeczywistych.

Mogą napisać Q w tej dziwnie pogrubionej czcionce, tak to mniej więcej wygląda, i będzie to zbiór liczb wymiernych.

Możesz się spytać: czemu akurat Q to wymierne?

Jest parę powodów.

Po pierwsze, R już oznacza co innego

zaś Q pochodzi od angielskiego "quotient", czyli iloraz, a każdą liczbę wymierną da się przedstawić jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

a jak widzieliśmy przed chwilą Z pochodzi od niemieckiego "Zahl", czyli liczba i oznacza zbiór liczb całkowitych.

Więc naszym zbiorem uniwersalnym chwilowo jest zbiór liczb całkowitych

i zdefiniujmy jego podzbiór, użyję litery, której rzadko używałem, nazwijmy go C.

Zbiór C zawiera liczby -5, 0 i +7.

Oczywiście nie narysuję tego w skali.

Zbiór liczb całkowitych jest nieskończony, zaś zbiór C jest zbiorem skończonym

ale i tak go narysujemy, to jest nasz zbiór C.

Teraz zastanówmy się nad tym, co należy do C, a co nie należy do C.

Wiemy, że -5 należy do naszego zbioru C.

Ten mały symbol tutaj oznacza należenie, wygląda bardzo podobnie do greckiej litery epsilon, ale nią nie jest

po prostu oznacza należenie do zbioru.

Wiemy, że 0 należy do naszego zbioru i 7 należy do naszego zbioru.

Wiemy też parę innych rzeczy.

Wiemy, że liczba -8 nie należy do naszego zbioru.

Wiemy, że liczba 53 nie należy do naszego zbioru.

53 siedzi gdzieś tutaj.

Wiemy, że liczba 42 nie należy do naszego zbioru, 42 może sobie siedzieć gdzieś tutaj.

Teraz zastanówmy się nad dopełnieniem C.

Dopełnienie C, które jest tym samym co zbiór uniwersalny odjąć C

które jest tym samym co różnica zbioru uniwersalnego i C

To wszystko oznacza to samo.

Co to jest na naszym diagramie? To wszystko poza naszym zbiorem C.

I wiemy już, że -5 należy do zbioru C, więc nie może należeć do dopełnienia C

więc -5 nie należy do dopełnienia C.

0 nie należy do dopełnienia C, 0 siedzi w C, ale nie w dopełnieniu C.

53 należy do dopełnienia C. Jest elementem naszego zbioru uniwersalnego, ale siedzi poza C.

42 należy do dopełnienia C.

Mam nadzieję, że trochę rozjaśniłem.