Universalmængde og komplementærmængde

Sal snakker om mere udfordrende begreber og notation om mængder, som universalmængden og det absolutte komplement.

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

I denne video vil jeg introducere

begrebet universalmængde

eller det univers som vi bruger

samt begrebet komplementærmængde
eller det absolute komplement.

Hvis vi laver et Venn diagram,

så er universalmængden typisk
afbildet som et rektangel.

Det er i sig selv en mængde.

For det bruges U for universal,

som ikke skal forveksles
med foreningsmængden.

Universalmængden er alle mulige elementer,

der kan være i en mængde,

inklusiv dyr, køkkenredskaber

og følelser og italiensk mad

eller typer af mad.

Men det er jo lidt skørt da du kan
tænke på alle mulige ting.

Nomalt, når man siger univesalmængden,

så menes alle af den type ting,
man snakker om.

Mængden af alle personer eller
mængden af alle reelle tal

eller mængden af alle lande eller
hvad der nu snakkes om.

Nu er det vist lidt abstrakt.

Vi har en delmængde i universalmængden,
mængden A.

A indeholder alt det, jeg lige har farvet.

Det vi nu skal snakke om er
komplementærmængden til A

eller det absolutte komplement.

Det kan du tænke på som alt i denne
universalmængde, der ikke er i A.

Vi allerede lært, hvordan det skrives.

Den mængde af alle ting i universalmængde,
der ikke er i A,

kan skrives som U minus A.

Dette er det store bogstav U,
ikke foreningsmængden.

Vi kan også skrive det som U∖A.

Hvordan repræsenteres
det i et Venn diagram?

Det er alt det i U, som ikke er i A.

Den kaldes også den
relative komplementære til A i U.

Når du siger den relative komplementære
til noget som er i universalmængden,

så kaldes det for det absolutte komplement
eller blot komplement.

Hvad er mængden af alle ting
i universalmængden, der ikke er i A?

Lad os gøre det lidt mere konkret
ved at bruge talmængder.

Vores mængde kunne være TV stjerner
eller dyr eller noget andet,

men tal er dejlig enkle at bruge.

Lad os sige, universalmængden
er mængden af hele tal.

Universalmængden er hele tal.

Jeg skriver, U er lig mængden af hele tal.

Lige en sidebemærkning notationen
for mængden af hele tal er ℤ.

Det er Z for zahl - tysk for hele tal.

Fonten er lidt mærkelig.

Den hedder blackboard bold.

Det er hvad matematikere bruger
for forskellige mængder af tal.

Nu laver jeg lige en sidebemærkning igen.

Når vi skriver ℝ,
så er det mængden af reelle tal.

Når der skrives ℚ,
så er det mængden af rationale tal.

Hvorfor Q for rationale tal?

Der er et par grunde.

R er er allerede brugt

og Q for kvotient.
[quotient på engelsk]

Et rationalt tal kan skrives som
kvotienten af to hele tal.

Som du så før ℤ for zahl

mængden af hele tal.

Vores universalmængde lige nu er hele tal.

Lad os definere en delmængde af den.

Lad mig bruge et bogstav,
der ikke bruges så ofte.

Lad os kalde den C.

Lad os sige, den indeholder -5, 0 og 7.

Størrelsen er tydeligvis ikke nøjagtig.

Mængden af hele tal er uendelig,

hvorimod mængde C er en endelig mængde.

Jeg har tegnet vores mængde C her.

Hvad er indeholdt i C?

Og hvad er ikke indeholdt i C?

Vi ved, at -5 tilhører vores mængde C.

Dette lille symbol ∈ betyde tilhører.

Det ligner det græske bogstav epsilon,
men er ikke epsilon.

Det betyder blot tilhører en mængde.

Vi ved, 0 tilhører vores mængde.

Vi ved, 7 tilhører vores mængde.

Vi ved også nogle andre ting.

Vi ved, tallet -8 ikke
tilhører vores mængde.

Vi ved, tallet 53 ikke
tilhører vores mængde.

53 skal være herude et sted.

Vi ved, tallet 42 ikke
tilhører vores mængde.

42 er måske lige her.

Lad os se på den komplementære til C.

Den komplementære til C er det samme
som U minus C,

som er det samme som U ∖ C.

Disse betyder alle det samme.

Hvor er det i vores Venn diagram?

Det er alting udenfor vores mængde C.

Da vi ved, -5 tilhører mængden C,

så kan det ikke tilhøre
den komplementære til C.

-5 tilhører ikke den komplementære til C.

0 tilhører ikke den komplementære til C.

0 tilhører C, ikke dens komplementære.

53 tilhører den komplementære til C.

Den er udenfor C.

Den er i universalmængden, men udenfor C.

42 tilhører den komplementære til C.

Forhåbentlig har dette
forklaret nogle ting.