Universal set and absolute complement

V tomto videu si vysvětlíme pojem univerzální množina

a pojem doplněk množiny.

Pokud kreslíme Vennův diagram, univerzální množinu obvykle kreslíme jako nějaký obdélník.

Je to sama o sobě množina a většinou se značí velkým U.

U jako univerzální.
Nepleťte si to se značením sjednocení množin.

Univerzální množinu lze chápat jako všechno,
co by mohlo být v množině,

v množině, kuchyňského náčiní, druhů italského jídla nebo jakéhokoli jídla.

Pak už to začíná být trochu bláznivé, protože doslova myslíte na všechno možné.

Většinou když lidí mluví o univerzální množině, myslí tím množinu všeho, co je zrovna zajímá.

Takže množinu všech lidí, všech reálných čísel nebo všech zemí.

Cokoli, na co zrovna zaměřují.

Ale my teď budeme mluvit zcela abstraktně.

Řekněme, že máme podmnožinu této univerzální množiny: množinu A.

Množina A obsahuje všechno,
co jsem teď vystínoval.

To, o čem budeme mluvit, je doplněk množiny A.

Můžeme to chápat jako množinu úplně všeho,
co není v množině A.

Už jsme se bavili o způsobech, jak to vyjádřit.

Množina všeho, co není v množině A.

Mohli bychom to zapsat jako univerzální množina mínus A.

Ještě jednou, toto je velké U,
ne symbol pro sjednocení.

Nebo to můžeme zapsat jako U \ A.

Jak to zakreslíme ve Vennově diagramu?

Bylo by to všechno z U, co není v A.

Lze to chápat jako doplněk množiny A vzhledem k množině U.

Pokud mluvíme o doplňku množiny vzhledem k univerzální množině,

můžeme tomu říkat jen zkráceně doplněk.

Když lidé mluví o doplňku množiny, mají na mysli právě toto.

Co je množinou všech prvků z univerzální množiny, které nejsou v množině A?

Zkusíme to pojmout trochu konkrétněji.
Budeme se bavit o množinách čísel.

Ještě jednou zdůrazňuji, že bychom mohli mluvit i o množině televizních osobností, zvířat,
nebo čehokoli jiného,

ale s čísly se snadno pracuje.

Řekněme, že naší univerzální množinou jsou celá čísla.

Naší univerzální množinou jsou celá čísla.

Napíšu sem, že velké U je množina celých čísel.

Tohle je trochu mimo téma, ale množinu celých čísel značíme tučným Z.

Z jako zol, což je německé slovo pro celé číslo.

Tučné Z píšeme na tabuli tímto způsobem.

Tohle matematici používají pro různé množiny čísel.

Ukážu Vám to tady na boku.

Například by mohli napsat takovéto R jakožto symbol množiny reálných čísel.

Nebo by na tabuli napsali takovéto tučné Q,
vypadá nějak takto, jakožto symbol
pro množinu racionálních čísel.

Asi by Vás zajímalo, proč se racionální čísla značí písmenem Q.

Existuje více důvodů.

Zaprvé, písmenem R se už značí reálná čísla.

Q je z anglického "quotient" neboli podíl, protože racionální čísla mohou být vyjádřena jako podíl celých čísel.

A symbol Z pro "zol" nebo celá čísla jsme viděli před chvílí. Označuje množinu celých čísel.

Takže univerzální množina, která nás právě zajímá, je množina celých čísel.

Nyní definujme její podmnožinu a nazvěme ji podmnožina C, což je písmeno, které jsem zatím moc nepoužíval.

Množina C obsahuje prvky -5, 0 a +7.

Zjevně to nekreslím ve správném měřítku.

Množina celých čísel je nekonečná,
zatímco množina C je konečná.

Nakreslím to sem, tohle je naše množina C.

Zamysleme se nad tím, co je prvkem C
a co prvkem C není.

Víme, že -5 je prvkem naší množniny C.

Tenhle symbol znamená, že prvek patří do množiny. Vypadá trochu jako řecké písmeno epsilon,

ale znamená prostě to, že prvek náleží do množiny.

Víme, že 0 je prvkem naší množiny a 7 je také prvkem naší množiny.

Víme ještě něco dalšího.

Víme, že číslo minus 8 není prvkem naší množiny.

Víme, že číslo 53 není prvkem naší množiny.

53 je někde tady.

Víme, že číslo 42 není prvkem naší množiny,
42 by mohlo být někde tady.

Zamysleme se nad tím, co je doplňkem množiny C.

Doplněk množiny C, to je totéž jako rozdíl univerzální množiny a množiny C.

Což je totéž jako doplněk množiny C vzhledem k množině U.

Všechny tyhle zápisy mají stejný význam.

Kde to najdeme v našem diagramu?
Je to všechno vně množiny C.

Víme, že -5 je prvkem množiny C, takže nemůže být prvkem doplňku množiny C.

Takže -5 není prvkem doplňku množiny C.

0 není prvkem doplňku množiny C.
0 patří do množiny C, ne do jejího doplňku.

53 je prvek doplňku množiny C.
Je v naší univerzální množině, ale mimo množinu C.

42 je prvkem doplňku množiny C.

Snad se Vám to trochu ujasnilo.