Geometric series

Vimos no vídeo anterior que uma progressão geométrica,

ou uma sequência geométrica é apenas uma sequência na qual

cada termo da sucessão é o termo anterior multiplicado

por um valor fixo.

E denominamos esse valor fixo de razão comum.

Assim, por exemplo, nessa sequência que aqui vemos,

cada termo é igual ao termo anterior multiplicado por dois.

Então, dois é o a nossa razão comum.

E qualquer valor diferente de zero pode ser nossa razão comum.

Pode, até mesmo, ser um valor negativo.

Assim, por exemplo, você poderia ter uma sequência geométrica

como a que aqui vemos.

Digamos começando com um, e talvez nossa razão comum

pudesse ser, digamos, menos três.

Assim, um vezes menos três é igual a menos três.

Menos três vezes menos três é igual a mais nove.

Mais nove vezes menos três é igual a igual a menos 27.

Seguindo, menos 27 vezes menos três é igual a mais 81

E assim seria possível prosseguir multiplicando termo após termo.

Gostaria de focalizar agora e que vemos nesse video

é a soma de uma progressão geométrica

ou seja, uma sequêncio geométrica, a qual poderíamos denominar

uma série geométrica.

Vamos rodar o video um pouco para baixo.

Vamos, então falar de séries geométricas, que

na realidade são nada mais nada menos que a soma de uma sequência geométrica.

Assim, por exemplo, a série geométrica

seria apenas a soma dessa sequência.

Então, se disséssemos apenas um mais o três negativo

mais nove, mais o 27 negativo, mais 81

e se continuássemos repetindo isso muitas e muitas vezes

isso seria uma série geométrica.

E nós poderíamos fazer isso com esse aqui em cima

apenas para realmente deixar bem claro o que estamos fazendo.

Assim, se disséssemos três mais seis mais 12 mais 24 mais 48,

essa seria, novamente,
uma série geométrica, ou seja, apenas

a soma de uma sequência geométrica ou uma progressão geométrica.

Então, como nós representaríamos isso em termos genéricos e talvez

utilizando para tal a notação sigma?

Pois bem, vamos iniciar com nosso primeiro, seja ele qual for.

E aqui, se quisermos falar em termos gerais

podemos dizer que a é nosso primeiro termo.

Assim, podemos iniciar com nosso primeiro termo, a, e então

cada termo sucessivo que quisermos adicionar

será um multiplicador da nossa razão comum.

E vamos denominar essa razão comum de r.

Assim, o segundo termo corresponde a "a" vezes r.

Então o terceiro termo resultará simplesmente

da multiplicação deste último vezes r.

Então vai ser "a" vezes r ao quadrado.

Então podemos prosseguir, adicionando "a" vezes r na terceira potência.

Digamos agora que faremos uma série geométrica finita.

Então não iremos prosseguir repetindo o procedimento indefinidamente.

Digamos que prosseguimos

até chegarmos ao ponto em que temos "a" vezes r na potência n.

"a" vezes r na enésima potência.

E como podemos representar isso com a notação sigma?

Encorajamos a cada um que pause o video, tentando fazer isso por conta própria.

Pois bem, podemos pensar a respeito da seguinte maneira.

E vou lhes dar uma pequena dica.

Você poderia ver esse termo aqui como "a" vezes r

na potência 0.

Permitam-me, agora, escrever a notação.

Isso significa "a" vezes r na potência 0.

Isso é "'a" vezes r na primeira, r ao quadrado,

r na terceira, e agora o padrão pode estar ficando claro para você.

Assim, podemos escrever isso com uma soma, daí sigma maiúscula

como se vê ali.

Podemos iniciar nosso índice em 0.

Assim poderíamos dizer que k é igual a 0 de ponta a ponta até k

igual a n de "a" vezes r na potência k.

E assim é quando se usa a notação sigma,

que é uma forma geral de representar a série geomética

na qual r é uma razão comum diferente de zero.

Podendo até mesmo ser um número negativo.