Geometric series

Im letzten Video habe ich dir gezeigt, dass eine
geometrische Folge einfach nur eine Folge ist,

bei der jeder folgende Term aus der Multiplikation des vorherigen Terms mit einem konstanten Wert entsteht.

Und diesen konstanten Wert nennen wir Quotient.

In dieser Folge hier z.B. ist jeder Term
der vorherige Term multipliziert mit 2.

Also ist 2 unser Quotient.

Und jeder Wert außer 0 kann unser Quotient sein.

Es kann auch ein negativer Wert sein.

Du könntest z.B. eine geometrische
Reihe haben, die so aussieht.

Wir beginnen bei 1 und unser Quotient ist -3.

1 ⋅ (-3) = -3.

-3 ⋅ (-3) = 9.

9 ⋅ (-3) = -27.

-27 ⋅ (-3) = 81.

Und so könntest du immer weitermachen.

In diesem Video möchte ich über die
Summe einer geometrischen Folge reden,

die wir geometrische Reihe nennen.

Ich möchte über eine geometrische Reihe reden,

die einfach nur die Summe
einer geometrischen Folge ist.

Eine geometrische Reihe wäre
z.B. eine Summe dieser Folge.

Wenn wir 1 + (-3) + 9 + (-27) + 81 haben,

und immer so weiter machen,

dann wäre das eine geometrische Reihe.

Wir können es auch mit der hier oben machen,
um zu verdeutlichen, was wir machen.

Wir haben also 3 + 6 + 12 + 24 + 48,

wobei es sich wieder um eine
geometrische Reihe handelt,

also die Summe einer geometrischen Folge.

Wie würden wir sie in allgemeiner
Form in einer Sigma-Notation darstellen?

Wir beginnen bei unserem ersten Term.

In allgemeiner Form würden wir dieses
a als unseren ersten Term bezeichnen.

Wir beginnen mit unserem ersten Term a,

und dann ist jeder nachfolgende Term, den wir addieren,

a multipliziert mit unserem Quotienten.

Und wir nennen diesen Quotienten r.

Der zweite Term ist a ⋅ r.

Beim dritten Term multiplizieren wir diesen Term mit r.

Also haben wir a ⋅ r^2.

Und dann machen wir weiter mit + a ⋅r^3.

Nehmen wir an, wir haben
eine finite geometrische Reihe.

Es geht also nicht für immer weiter.

Wir machen also weiter, bis wir
irgendwann a ⋅ r^n erreichen.

Wie können wir das in der Sigma-Notation darstellen?

Ich ermutige dich, das Video
zu pausieren und es selbst zu versuchen.

Ich gebe dir einen kleinen Hinweis.

Diesen Term hier kannst du als a ⋅ r^0 betrachten.

a ⋅ r^0.

Das ist a ⋅ r^1, r^2, r^3,

und jetzt siehst du vermutlich das Muster.

Wir können es also als
Summe mit einem Sigma schreiben.

Unser Index beginnt bei 0.

Von k = 0 bis hin zu k = n mit der Funktion a ⋅ r^k.

Das ist eine allgemeine Form, wie man mit der
Sigma-Notation eine geometrische Reihe darstellt,

bei der r ein Quotient ist, der nicht 0 ist.

Er kann sogar einen negativen Wert haben.