Poissoni meetod 1

Introduction to Poisson Processes and the Poisson Distribution.

Ütleme, et te olete transpordi insener ja mida

te välja üritate mõelda on, mitu autot möödub kindla

kohalt tänaval suvalisel ajahetkel?

Ja te tahate teada saada tõenäosuse, et

sada autot möödub või 5 autot möödub antud tunnil.

Hea koht alustamiseks oleks, suvalise muutuja defineerimine,

mis esindab, millest te hoolite.

Ütleme, et autode arv, mis mööduvad mingi aja jooksul

,ütleme, et tunni jooksul.

Ja meie eesmärk on teada saada tõenäosusjotus

sellest suvalisest muutujast ja kui te teate tõenäosus-

jaotust, siis te võite teada saada, mis

on tõenäosus, et 100 autot möödub tunni jooksul või tõenäosus,

et ühtegi autot ei möödu tunni jooksul ja te oleksite takistamatu.

Natuke kõrvale öelda, et selle videoga edasi minna,

on kaks eeldust me peame tegema, kuna

ma hakkame õppima Poissoni jaotust.

Ja et õppida seda, on kaks põhi eeldust

,mida me peame tegema.

Et Poissoni tund sellel kohal seal tänavale, ei ole kuidagi erinev

kui ükskõik milline teine tund.

Ja me teame, et see on tõenäoliselt vale.

Tipptunnil realses situatsioonis, oleks tõenäoliselt

rohkem autosid, kui teisel tipptunnil.

Ja te teate, et kui te tahate olla rohkem realistlikumad, võibolla me tahame

teha seda päeval, kuna päevali iga ajaperiood--

tegelikult, ei.

Ma ei peaks valima päeva.

Me peame aaldama, et iga tundo on täpselt nagu iga

teine tund ja tegelikult, isegi tunni sees ei ole

mingit eristust sekundite vahel, tõenäosuses

et auto tuleb kohale.

See on natuke lihtsustav eeldus, mis

ei kehti täiseti tõeselt liikluse kohta, aga ma arvan, et me

võime teha selle eelduse.

Ja siis teine eeldus, mille me peame tegema on, et kui

hulk autosid möödub ühe tunni jooksul, ei tähenda see, et vähem autosid

möödub järgmise tunni jooksul.

See, et mitte mingil juhul mööduvate autode arv mingi ajaperioodi jooksul

ei mõjuta kuidagi autode arvu, mis

mööduvad järgmises tunnis.

See, et need on päriselt sõltumatud.

Seda arvestades, me võime vähemalt proovida kasutada oskusi,

mis meil on, et modelleerida mingisugune jaotus.

Esimene asi, mida te teete ja ma soovitan seda teha iga

jaotuse korral on võibolla me võime hinnata keskmise.

Istume sellele ärrekivile ja mõõdame, mis on see muutuja

mitme tunni jooksul ja siis võtame keskmise, ja see oleks

üsna hea hinnang tegelikule keskmisele

meie tegelikust populatsioonist.

Või, kuna see on suvaline muutuja, oodatav väärtus

sellest suvalisest muutujast.

Ütleme, et te teete seda ja saate oma parima hinnangu

selle suvalise muutuja oodatavast väärtusest, mis on -- ma kasutan

tähte lambda.

See võib olla 9 autot iga tund.

Te istusite seal -- see võib olla 9.3 autot tunnis.

Te istusite seal sadu tunde ja lihtsalt lugesite

autode arvu iga tunni kohta ja võtsite keskmise.

Te ütlesite, et keskmiselt, on 9.3 autot iga tund ja te tunnete,

et see on üsna hea hinnang.

See on mis teil seal on.

Ja vaatame, mis me teha saame.

Me teame binoomjaotust.

Binoomjaotus ütleb meile, et suvalise muutuja oodatav väärtus

on võrdeline katsete arvuga, millest too

suvaline muutuja enam-vähem koosneb,eksju?

Enne, eelmises videos me lugesime

kullide arvu mündiviskes.

See siis oleks mündivisete arv korda

iga mündiviske edukas tõenäosus.

See on, mida me tegime binoomjaotusega.

Võibolla, me saame mudelleerida liikluse olukorda

millegiks sarnaseks.

See on autode arv, mis möödub tunni jooksul.

Võib-olla me võime öelda, et lambda arv autosid igas tunnis on võrdeline

-- ma ei tea.

Võtame iga katse või iga mündiviske võrdeliseks

sellega, kas auto möödub etteantud minutil.

Tunnis on 60 minutit, järelikult oleks

seal 60 katset.

Ja siis tõenäosus, et me oleme edukad igas

katses, kui me mudelleerime selle binoomjaotuse põhjal

oleks, et lambda jagatud 60 auto minutis.

Ja see oleks tõenäosus.

See oleks n ja see oleks tõenäosus, kui me ütleks,

et see on binoomjaotus.

Ja see tõenäosus, ei oleks halb hinnang.

Kui sa tegelikult siis ütleksid, oh, see on binoom-

jaotus, järelikult tõenäosus, et meie suvaline

muutuja on võrdne mingi antud väärtusega, k.

Te teate, et tõenäosus, et 3 autot, täpselt 3 autot möödub

igal kindlal tunnil, siis see oleks võrdne n-ga.

Järelikult n oleks 60.

Vali k ja te teate, mul on 3 autot korda

edu tõenäosus.

Järelikult, tõenäosus, et auto möödub suvalisel minutil .

See oleks lambda jagatud 60 astmes

edukate katsete arv.

järelikult astmes k, korda tõenäosus edukate katsete arv või

,et ühtegi autot ei möödu astmes n miinus k.

Kui meil ok k edukat katset on meil 60 miinus k läbikukkumist.

on 60 miinus k minutit, kus ükski auto ei möödu.

See tegelikult ei oleks halb eeldus, kus

teil on 60 intervalli ja te ütlete, et see on binoom-

jaotus.

Ja te tõenäoliselt saaksite mõistlikud tulemused.

Aga siin on keskne probleem.

Selles mudelis, kus me mudelleerime selle, kui binoomjaotuse,

mis juhtub kui rohkem kui üks auto möödub tunnis.

Või rohkem kui üks auto möödub minutis?

Nii nagu see praegu meil on, me saame seda kutsuda edukaks, kui üks

auto möödub minutis.

Ja kui te enam-vähem loendate, siis see loeb ühe eduka katsena, isegi

kui 5 autot möödub selles minutis.

Siis te ütlete, OK Sal, ma tean siin lahendust.

Peab minema veel väiksemaks.

Minutiteks jagamise asemel, miks ei jaga ma

seda sekunditeks?

Nii et tõenäosus, et mul on k edukat katset -- 60 intervalli

asemel ma teen 3600 intervalli.

Järelikult tõenäosus, et k edukat sekundit, järelikult sekund, kus

auto möödub, sellel hetkel 3600 sekundist.

Järelikult see oleks 3600 valik k korda tõenäosus, et auto

möödub suvalisel sekundil.

See on eeldatav number autosid tunnis jagatud

sekundite arvuga tunnis.

On meil k edukat katset.

Ja need on läbikukkumised, läbikukkumise tõenäosus

ja teil on 3600 miinu k läbikukkumist.

Ja see oleks parem hinnang.

See ei oleks nii halb, aga ikkagi, on teil see

olukord, kus 2 autot võivad tulla poole

sekundiste vahedega.

Ja te ütleksite, oh Ok Sal, ma näen siin mustrit.

Ma peame minema järjest rohkem väiksemaks.

Me peame tegema seda numbrit järjest suuremaks

ja suuremaks ja suuremaks.

Ja teie eeldus on õige.

Ja kui te seda teete, te saaksite

Poissoni jaotuse.

Ja see on väga huvitav, kuna tihti inimesed

annavad teile poissoni jaotuse valemi ja te

suudate enam-vähem panna arvud sisse ja seda kasutada.

Aga on hea teada, et see on tegelikult binoom-

jaotus ja binoom jaotus tegelikult tuli

enam-vähem terve mõistusega mündi visetest.

See on, kust kõik tuleb.

Enne kui me enam-vähem tõestame, et kui me võtame limiidi

kui -- las ma vahetan värvi.

Enne me tõestasime, et kui me võtame piirväärtuse, kui selle numbri

siin, intervallide number läheneb lõpmatusele

ja see muutub Poissoni jaotuseks.

Ma teen kindlaks, et meil on paar matemaatilist

tööriista meie vööl.

Esimene oleks midagi, millega te tõenäoliselt üsna

tuttav olete praeguseks, aga ma lihtsalt tahan kindlaks teha

piirväärtus, kui x läheneb lõpmatusele üks pluss a jagatud x astmes x on

võrdne e astmes ax-- ei vabandust.

On võrdne e astmes a ja lihtsalt et tõestada seda teile,

teeme siin väikse asenduse.

Ütleme, et n on võrdne -- ütleme, et 1 jagatud

n on võrdne a jagatud x-ga.

Ja siis, mis oleks x oleks võrdne n korda a.

x korda 1 on võrdne n korda a.

Kui piirväärtus x läheneb lõpmatusele,

millele läheneb a?

a on -- vabandust.

Kui x läheneb lõpmatusele, millele läheneb n?

Kui n on x jagatud a.

Järelikult ka n läheneks lõpmatusele

Järelikult see oleks sama kui just teha asendus

piirväärtus kui n läheneb lõpmatusele 1

pluss- a jagatud x, ma tegin asenduse 1/n.

Ja x on selle asenduse tõttu n korda a.

Ja see on sama asi, kui piirväärtus n

läheneb lõpmatusele 1 pluss 1 jagada n astmes n

kogu see asi astmes a.

Ja kuna, seal ei ole n seal väljas, me võime võtta selle

piirväärtuse, ja panna selle astmesse a.

Järelikult see on võrdne piirväärtusega kui n läheneb

lõpmatusele 1 pluss 1 jagatud n astmes n, kõik

see astmes a.

Ja see on meie definitsioon ja üks võimalustest saada e, kui

te kõik vaataksite videot liitprotsentides ja kõigest tollest.

See on kuidas me saime e.

Ja kui te prooviksite seda oma kalkulaatoril, lihtsalt proovige suuremat

ja suuremat n-i kuni te saate e.

See sisemine osa on võrdne e ja me panime selle astmesse a,

järelikult see on võrdne e astmes a-ga.

Loodetavasti te olete üsna rahul sellega, et see piirväärtus on v

võrdne e astmes a-ga.

Ja teine tööriist, mida ma tahan meie vööle, ja ma

arvatavasti tegelikult teen tõestuse järgmises videos.

Järgmine tööriist on arusaamine, et x factoriaal jagatud

x miinus k faktoriaal on võrdne x korda x miinus 1 korda x

miinus 2, kuni x miinus k plus 1-ni.

Ja me oleme seda teinud mitmeid kordi, aga see on

kõige abstraksem viis, kuidas me seda kirjutanud oleme.

Ma võin anda teile paar -- ja lihtsalt, et te teaksite, need on

täpselt k liikmed siin.

1, 2, 3 -- Esimene liige, teine liige, kolmas liige,

kuni k-nda liikmeni.

Ja see on tähtis meie Poissoni

jaotise tuletisele.

Aga,et lihtsalt teha seda realarvude korral, kui meil oleks 7 faktoriaal

jagatud 7 miinus 2 faktoriaal, see on võrdne 7 korda 6

korda 5 korda 4 korda 3 korda 3 korda 1.

jagatud 2 korda --vabandust

7 miinus 2, see on 5.

Jäärelikult see on jagatud 5 korda 4 korda 3 korda 2 korda 1.

Need taandavad üksteist ja järgi jääb 7 korda 6.

Ja see on 7 ja siis viimane liige on 7 miinus

2 pluss 1, mis on 6.

Selles näites k oli 2 ja teil oli täpselt 2 liiget

Kui me teame neid kahte asja, me oleme valmis

tuletama Poissoni jaotuse ja ma teen

seda järgmises videos.

Näeme varsti