Zero, Negative, and Fractional Exponents

Декілька відео назад я говорив, що будь-що
у степені 0 дорівнює 1.

Тобто х у нульовій степені це 1.

І я приводив один аргумент, чому це так,

на прикладі 3 у першому ступені,

що дорівнює 3.

3 у квадраті це 9.

3 у третьому степені це 27.

Кожен раз, коли ми зменшуємо степінь,
Ми ділимо на 3.

27 поділене на 3 дорівнює 9.

9 поділене на 3 це 3.

3 поділене на 3 це 1.

І це те, що показує, чому 3 у нульовому
степені дорівнює.

Це один з можливих шляхів.

Інший шлях, яким це можна зробити є те, що
нам потрібно,

щоб працювали властивості експоненти.

Наприклад, я кажу Вам, що a у степені b,
помножене на a у степені c дорівнює

a у степені b плюс c.

А що трапиться, якщо c дорівнює 0?

Що буде, якщо в нас є a у степені b,
помножене на a у степені 0?

За цією властивістю це має дорівнювати
a у степені b

плюс 0, що дорівнює a у степені b

a у степені b помножене на a у степені 0
має дорівнювати a у степені b.

Якщо поділити обидві частини на а--
давайте я запишу

це як--a у степені b помножене на a у
степені 0, якщо користуватись ось цією

властивістю, має дорівнювати a у степені b
так? b плюс 0 це просто b.

Якщо поділити обидві частини на
a у степені b, що отримаємо?

У лівій частині просто

залишиться а в степені 0. так?

Це скорочується.

a у степені 0 дорівнює 1.

Ви можете використовувати
подібний аргумент у багатьох

експоненційних властивостях,
коли що-небудь

у нульовому степені є 1.

Також є сенс ділення на 3, таким чином

зменшуючи нашу експоненту

Це продовжує працювати.

Коли Ви підносите 3 у негативну першу
степінь, ми бачили у

попередьому відео, що це дорівнює 1
поділеному на 3 у першому ступені,

тобто 1/3.

Ще раз, від 3 у нульовому
степені до 1/3,

Ви ділите на 3.

Це дійсно має сенс на якомусь рівні, що

3 в нульовому степені дорівнює 1.

Та це створює невеличку прогалину.

Що з приводу 0 у нульовому степені?

Це дуже дивний запис.

0 помножене на себе 0 разів.

Залежить від контексту, в якому
Ви це використовуєте.

Інколи люди говорять, що це невизначено,

та набагато частіше, принаймні
в моєму досвіді,

це буде записано як 1.

Тому-- не дивлячись на те,
що це зовсім не інтуітивно,

Ви навіть можете ввести 0
у нульовому степені в

Google, і він також видасть Вам 1.

Хоча це є абсолютно не інтуітивно,
щоб зрозуміти, чому

це визначається таким чином,
треба задіяти багато формул.

Так, зокрема, формула
бінома Ньютона працює

для Ваших біноміальних коефіціентів,

які я не буду тут обговорювати,
коли 0 у нульовому степені дорівнює 1.

Це цікава річ для Вас,
над якою можна помізкувати,

що це має значити.

Давайте ж поговоримо про інші властивості.

Потім можна їх поєднати
і додати приклади

таких проблем. В останньому
відео я говорив Вам, що

означає возвести у негативну степінь.

a у степені мінус 1, чи краще сказати a у
негативній степені b

дорівнює 1 поділеному на а у степені b.

Давайте зробимо це на прикладі кількох
конкретних питань, 3

у негативній 3 степені дорівнює 1 поділене
на 3 у третій степені, що дорівнює

1 поділеному на 3 помножене на 3,
помножене на 3, тобто

1 поділене на 27.

Якщо б я запитав Вас, чому
дорівнює 1/3 у степені -2 --

так, це дорівнюватиме 1 поділеному на 1/3

у другій степені.

Ви позбуваєтесь мінуса і перевертаєте це.

Тож, це дорівнюватиме 1 поділеному на --

що є 1/3 помножена на 1/3?

1/9.

Що дорівнює -- це 1 поділене на 1/9
є те саме,

що і 1 помножене на 9, тож це дорівнює 9.

І це цілком має сенс, бо 1/3,
запам'ятайте, 1/3 це

те саме, що і 3 у степені мінус 1. так?

3 у степені мінус 1 дорівнює 1 поділеному
на 3 у степені 1,

що є теж саме, що і 1/3.

Якщо замінити 1/3 3 у
степені мінус 1, це є 3

у степені мінус 1 у степені мінус 2.

Ці дві речі є абсолютно
еквівалентними виразами.

Якщо ж користуватись однією з
властивостей, що ми вивчили в

першому відео, ми зможемо знайти
добуток цих двух експонент.

Тож, це дорівнює 3 у степені мінус 1,
помножене на мінус 2,

що є позитивне 2, що дорівнює 9.

Це насправді дуже лаконічно, те, як всі
експоненційні властивості

підходять у чудовий, чіткий пазл,
які не суперечать

один одному.

І неважливо, яку властивість Ви
використовуєте, бо в кінці

Ви отримаєте вірну відповідь, якщо тільки

Ви не робите чогось зовсім дивного.

Останню річ, яку я хочу
визначити є запис

дробового показника.

Якщо у мене є щось з дробовим показником
у степені -- наприклад,

в мене є a у степені 1 поділене на b.

Я збираюся визначити це.

Це дорівнюватиме b-тому кореню з а.

Давайте все роз'яснимо.

Давайте зробимо це з цими числами.

Наприклад, 4 у степені 1/2 ось тут,
це означає, що це

дорівнює кореневі з 4.

Що дорівнює, якщо брати основний корінь,

дорівнює 2.

Тож, якщо тут потрібно було б
взяти 8 у степені 1/3,

це означає, що треба
знайти кубічний корінь з 8.

І це, на якомусь етапі, стає
однією з найбільш заплутуючих

речей в експонентах.

Отже, яке число помножене на себе три рази

дорівнює 8?

Якщо казати, що х дорівнює 8 у
степені 1/3, то

також можна сказати, що х у третій степені

дорівнює 8.

А як дізнатися, що ці вирази
еквівалентні?

Ну, наприклад, можна взяти
обидві частини рівняння

і возвести у третю степінь.

Якщо взяти ліву сторону третьої степені

і праву частину третьої степені
що ми отримаємо?

У лівій частині, у нас є х
у третій степені.

У правій частині, є 8 у степені 1/3
помножена на 3, що є

просто 3 поділене на 3, тобто просто 1.

Якщо х дорівнює 8 у степені 1/3,
чому ж дорівнює х?

2 помножене на 2, помножене на 2 є 8.

І тут не має легкого шляху, особливо, коли

у Вас є корінь з четвертої
чи п'ятої степені

Вам буде необхідно
зробити багато розрахунків.

І, скоріш за все, Вам знадобиться
калькулятор для цього.

Та такі речі, як 8 у степені 1/3,
чи 16 у степені 1/4, чи 27 у степені

1/3, не складно знайти.

Це ось тут, дорівнює 2.

Тепер давайте це трохи ускладнимо.

Чому дорівнює 27 у степені мінус 1/3?

Не треба нервувати.

Ми зробимо все крок за кроком.

Коли у вас є негативна степінь,
це повністю

еквівалентно 1 поділеному
на 27 у степені 1/3.

Ці два еквівалентні.

Ви позбавляєтесь мінуса і

просто 1 ділите на все.

А тепер, чому дорівнює 27 у степені 1/3?

Так, яке число помножене на себе
тричі дорівнює 27?

Це дорівнює 3.

Це дорівнюватиме 1 поділеному на 3.

Непогано.

Наразі, я хочу ускладнити завдання, зробити

це ще більш заплутаним, ще більш складним

Дозвольте мені зробити щось цікавеньке.

Чому дорівнює 8 у степені 2/3?

Це виглядає дещо лякаюче.

Все, що Вам треба запам'ятати, це те,
що це є одне і те саме,

користуючись експоненційними правилами,

тобто 8 у квадраті й у степені 1/3.

Звідки я це взяв?

Якщо перемножити ці дві степені,
отримаємо 2/3.

Тож, 8 у степені 2/3 це те саме,
що і 8 у квадраті, а потім

кубічний корінь з цього.

Та можна розглянути це по-іншому.

Це може дорівнювати 8 у степені 1/3,
й у квадраті.

У будь-якому випадку, коли
я множу ці експоненти,

я отримую 8 у степені 2/3.

Давайте перевіримо для себе,
щоб впевнитися, що ми дійсно

отримуємо однакові значення.

8 у квадраті є 64.

І ми збираємося піднести це у степінь 1/3.

Внизу, у нас є 8 у степені 1/3.

Ми вже з'ясували, чому це дорівнює.

Це є 2, бо 2 у третій степені є 8.

Це 2 у квадраті.

А чому дорівнює 64 у степені 1/3?

Що помножене на себе тричі дорівнює 64?

4 помножене на 4, помножене на 4 дорівнює
64, чи 4 у третій степені

дорівнює 64, що означає 4 дорівнює

64 у степені 1/3.

Тож, це є 4.

На щастя для нас, 2 у квадраті
також дорівнює 4.

Тож, неважливо як Ви це робите.

Ви можете піднести це у квадрат, а потім
знайти кубічний корінь,

чи можна знайти кубічний корінь,
а потім квадрат.

Все одно отримаєте таку саму відповідь.

Все, що я робив, було з

дійсними числами.

Давайте зробимо декілька прикладів,
пов'язаних з усім,

що стосується змінних.

Наприклад, ми хотіли зробити
декілька прикладів і хочемо

впевнитися, що немає негативних

експонент у відповіді.

Додамо х у степені мінус 3,
поділене на х у степені мінус 7.

Є багато способів це зробити.

Можна розглянути це, як х у степені
мінус 3 помножене на 1,

поділений на х у степені мінус 7.

А що є 1 поділений на х у степені мінус 7?

Це ж те саме, що і х у сьомому степені.

Якщо у Вас є 1 поділений на щось,
Ви можете позбутись від 1,

і поставити мінус перед степінню.

Якщо поставити мінус перед

мінус 7, отримаєте х у сьомій ступені.

Це можна спростити до х у степені
мінус 3, помноженого на х

у сьомому степені.

А потім можна скласти експоненти,
і це є х

у четвертому степені.

Іншим способом, цілком законним,
як це можна зробити

просто відняти експоненти.

Можна сказати, що тут однакові основи.

Це дорівнюватиме х у степені мінус 3,
мінус негативна

сьома степінь.

Негативна 3 мінус негативна 7,
це негативна

3 плюс 7, що дорівнює х
у четвертому степені.

І останній шлях -- я маю на увазі, дійсно,
тут є

більше, ніж один останній шлях,
яким можна це зробити.

Можна сказати, що х у степені мінус 3,
поділене на х у степені

мінус 7 -- вибачте, не мінус х --
поділене на х у степені

мінус 7.

х у степені мінус 3 це те саме, що і
1 поділений на х

у третій степені -- цей вираз ось тут --
помножене на 1 поділене на х

у степені мінус 7, тож це дорівнювало б 1

поділеному на х у третій степені помножене
на х у степені мінус 7.

Можна додати степені, тож це дорівнює
1 поділеному на 3

мінус 7 є х у степені мінус 4.

А потім це -- якщо позбутись зворотності,
ми знаходимо це,

можна поставити мінус перед цим,

роблячи це позитивним --
це дорівнюватиме

х у четвертій степені.

Неважливо, як ми це зробили,
оскільки ми дотримувались

правил, ми отримали х
у четвертій степені.

Давайте зробимо ще
один трохи складніший.

І тоді вже завершимо.

Припустимо, в нас є 3х у квадраті
помножене на у в степені 3/2.

І ми хочемо поділити це на х
помножений на у в степені 1/2.

Ще раз, це теж саме,
що і 3 помножене на х

помножене ось тут, тож 3 помножене на
х у квадраті, поділене на х помножене на у

у степені 3/2 поділене
на у устепені 1/2

Це дорівнюватиме 3 помноженим на -- що є х

у квадраті поділене на х?

Чи х у квадраті поділений на
у першій степені?

Це дорівнюватиме х у степені 2 мінус 1.

Потім це буде помножене на у
в степені 3/2 мінус 1/2.

Чому ж це буде дорівнювати?

Це буде дорівнювати 3 помноженим на х.

2 мінус 1 це просто 1 -- я можу
просто записати х тут -- помножене на 3/2

мінус 1/2 це просто 2/2.

Це у в степені 2/2.

2/2, чи 2 2х -- це теж саме, що і у.

І дорівнює 3ху.

В будь-якому разі я хочу, щоб

Ви робили багато завдань такого типу.

Та Ви побачите, що просто користуючись
правилами

які були в нас в останніх відео,

Ви зможете спростити багацько виразів.

Переклад на українську: Ганна Щерба, рев’ювер: Оксана Кузьменко, благодійний фонд “Magneticone.org”