Zero, Negative, and Fractional Exponents

Дакле, неколико снимака раније, рекао сам да је било шта на експонент 0 једнако 1.

Према томе, x на експонент 0 је једнако 1.

И, дао сам вам један разлог зашто је то тако.

Користио сам пример, ако имамо 3 на први степен,

то је једнако 3.

3 на други степен једнако је 9.

3 на трећи степен једнако је 27.

Према томе, сваки пут кад смањујемо експонент за један, ми делимо са 3.

27 подељено са 3 је 9.

9 подељено са 3 је 3.

Затим, 3 подељено са 3 је 1.

И то би требало да буде оно што је 3 на нулти степен.

Дакле, то је један од начина да се о томе размишља.

Други начин размишљања о томе, је да нам ово треба

да би особине степена могле да функционишу.

На пример, рекао сам вам да је а на b, пута a на c

једнако а на b плус c.

Сад, шта се дешава ако је с једнако 0?

Шта се дешава ако имамо ово а на b, пута а на 0?

Добро, на основу ове особине, ово мора бити једнако а на

b плус 0, што је једнако а на b.

Дакле, а на b пута a на 0 мора бити једнако а на b.

Ако поделимо обе стране од овог... написаћу поново

ово... а на b пута а на 0, ако користимо особине овога

горе, мора бити једнако а на b, у реду? b плус 0 је b.

Ако обе стране поделите са b... ако обе стране поделите са b, шта добијате?

На левој страни, остаје вам

само а на 0, у реду?

Ово се поништава.

а на 0 је једнако 1.

И можете користити сличан аргумент у готово свим

особинама експонената, да нам је потребно да било шта на нулти

степен буде једнако 1.

И то такође има смисла када делимо са 3, са сваким кораком

умањује се за један наш експонент.

То и даље функционише.

Ако ставимо 3 на минус 1 степен, видели смо у

последњем снимку да је то једнако 1 кроз 3 на први

степен, или 1/3.

Дакле, још једном, од 3 до 0 до 1/3, ви

делите са 3 опет.

Према томе, заиста има смисла, на неки начин, да је 3 на

нулти степен једнако 1.

Али, то оставља малу празнину.

Шта са нулом на нулти степен?

Ово је веома чудан појам.

0 помножена самом собом нула пута.

И то зависи од контекста у ком га користите.

Понекад ће људи рећи да је то недефинисано, али

чешће, барем по мом искуству, то ће бити

дефинисано као 1. Дефинисано као 1.

А разлог зашто... иако ово уопште није

интуитивно, и ви можете укуцати 0 на степен нула на

гуглу, и добићете 1.

Иако то уопште није интуитивно, разлог зашто

је то дефинисано на такав начин је што омогућава да многе

формуле функционишу.

Једна посебно, биномна формула функционише за

биномне коефицијенте, које нећу приказивати

овде, где је 0 на степен 0 једнако 1.

Дакле, ово је интересантна ствар за размишљање, шта

би то уопште могло да значи.

Хајде да кажемо нешто о другим особинама.

А затим можемо да их сместимо све заједно у неколико

проблема, као пример. У последњем снимку сам вам рекао шта

значи кад је експонент негативан.

а на степен минус 1, или, можда би требало да кажем а на

минус b је једнако 1 кроз а на степен b.

Дакле, само да бисмо урадили неколико конкретних пример, 3

на степен минус 3 је једнако 1 кроз 3 на степен 3

што је једнако 1 кроз 3 пута 3, пута 3, што

је једнако 1 кроз 27.

Ако бих вас питао шта... ако бих вас питао шта је 1/3 на степен минус 2...

добро, то ће бити једнако 1 кроз 1/3

на други степен.

Ослободите се минуса и обрните га.

Дакле, ово ће бити једнако 1 кроз...

колико је 1/3 пута 1/3?

1/9.

Што је једнако... ово је 1 подељено са 1/9 је исто

што и 1 пута 9, па је ово једнако 9.

А ово потпуно има смисла, пошто је 1/3, сетите се, 1/3 је

исто што и 3 на минус 1 степен, у реду?

3 на минус 1 је једнако 1 кроз 3 на први степен,

што је исто као 1/3.

Дакле, ако заменимо 1/3 са 3 на минус 1, то је 3 на

минус 1, па на минус 2.

Ове две ствари су еквивалентни изрази.

А, ако користимо једну од особина које смо научили у

првом снимку, можемо израчунати производ

ова два експонента.

Дакле, ово је једнако 3 на минус први, пута минус 2,

што је у плус 2, што је једнако 9.

Па, ово је стварно згодно, како се све ове особине експонената

заиста уклапају у лепу, уредну слагалицу, у којој нема

супротности међу њима.

И, није битно коју особину користите, добићете

исправан одговор на крају, све док не урадите

нешто лудо.

Сад, последња ствар коју желим да дефинишем је појам

разломка као експонента.

Дакле, ако имам нешто на разломак као степен.. па, хајде

да кажем, имам а на степен 1 кроз b.

Дефинисаћу ово...

Ово ће бити једнако b-ти корен од а.

Дакле, дозволите да будем веома јасан овде, да будем јасан.

Дозволите ми да ставим неке бројеве овде.

Ако кажем 4 на степен 1/2 управо тамо, то значи ово

је еквивалентно квадратном корену... квадратном корену од 4.

Што је једнако, ако узмемо у обзир правила кореновања,

ово је једнако 2.

Значи, ако сам узео, да будем јасан, 8 на степен 1/3,

ово представља кубни корен од 8.

А ово је, на неки начин, једна од понекад, највише

збуњујућих ствари у степеновању.

Овде ћу рећи, који број множењем три пута сам са собом

даје 8?

Дакле, ако кажем да је x... дајте да урадим ово. Ако кажем да је х једнако 8 на степен 1/3, то је

потпуно исто као рећи да је x на трећи

степен једнако 8.

Но, како ја знам да су то једнаки ставови?

Добро, ја могу подићи обе стране овог израза

на трећи степен.

Ако подигнем леву страну на трећи степен и

десну страну подигнем на трећи степен, шта ћу добити?

На левој страни ја добијам x на 3.

На десној страни, ја добијам 8 на степен 1/3 пута 3, што је

заправо 3 /3, што је баш 1.

Значи, ако је x једнако са 8 на 1/3, колико је x?

Па, 2 пута 2, пута 2 једнако је 8.

И заправо нема баш лаког начина, посебно када имате

четврти корен, или пети корен, и имате децимале

и рачунање са њима.

Вероватно вам је потребан калкулатор најчешће да бисте то урадили.

Али изрази као што је 8 на степен 1/3, или 16 на 1/4, или 27 на

1/3, нису сувише тешки да се израчунају.

Дакле, ово овде десно, да будем јасан, је 2.

Сад, хајде да направимо ово мало више збуњујућим.

Колико је 27 на степен минус 1/3?

Добро, не брините.

Урадићемо ово корак по корак.

Кад су степени негативни, кад су степени негативни, то је потпуно

исто са 1 кроз, 1 кроз 27 на степен 1/3.

Ова два су еквивалентна.

Ослободите се минуса и узмите 1

кроз све ово.

А затим, шта је 27 на степен 1/3?

Добро, који број помножен самим собом 3 пута даје 27?

Па, то је једнако 3.

Дакле, ово ће бити једнако 1 кроз 3.

Није лоше.

Сад ћу прећи на потпуно други ниво, чинећи ово још више

збуњујућим, чак више застрашујућим.

Сад, дозволите да урадим нешто интересантно.

Шта је 8... шта је 8, на 2/3, на степен 2/3?

Сад се чини мало застрашујуће.

А свега морате да се присетите, то је иста ствар, то је иста ствар,

коришћењем наших правила степеновања заиста, као 8

на квадрат па на степен 1/3.

Како ја то знам?

Добро, ако помножим ова два експонента, то је 2/3.

Дакле 8 на 2/3 исто је као 8 на квадрат, а затим

трећи корен из тога.

Али можете то посматрати и на други начин.

То би такође требало да буде једнако 8 на 1/3 степена, квадрирано.

Јер у сваком случају, када помножим ове експоненте,

добијам 8 на 2/3.

Хајде да видимо... да се уверимо да смо добили заиста

исте вредности.

Дакле, 8 на квадрат је 64.

И то ћемо степеновати са 1/3.

Овде доле, имамо 8 на 1/3.

Ми смо већ схватили шта је то.

Ово је 2, пошто је 2 трећи корен из 8.

Дакле, ово је 2 на квадрат.

Сад, колико је 64 на 1/3?

Који број помножен самим собом 3 пута даје 64?

Да, 4 пута 4, пута 4 је једнако 64, или 4 на трећи

је једнако 64... 4 на трећи је једнако 64, што значи да је 4 једнако

64 на 1/3.

Дакле, то је једнако 4.

И, срећом по нас, 2 на квадрат је такође једнако 4.

Према томе, није битно на који начин сте то добили.

Можете квадрирати, а затим извући трећи корен, или

можете извући трећи корен па онда квадрирати.

Добићете потпуно исти резултат.

Сад, све што сам урадио

било је са реалним бројевима.

Дозволите ми да урадим пар проблема који се односе на све

што смо заједно урадили, користећи променљиве.

Дакле, рецимо, желимо да решимо неколико израза и желимо да

да будемо сигурни да нема негативних

експонената у решењу.

Хајде да додамо x на минус 3 кроз x на минус 7.

Постоји гомила начина како можемо ово да посматрамо.

Можемо ово посматрати као једнако са x на минус 3, пута 1

кроз x на минус 7.

Па, шта је 1 кроз x на минус 7?

То је исто као и ово овде... то је исто као x на седми степен, зар не?

Ако имамо 1 кроз нешто, можете се ослободити тог 1 кроз,

и ставити негативну вредност експонента.

Но, ако ставите негативну вредност на

минус 7, добићете x на седми.

Па, ово можемо упростити на x на минус 3, пута x

на седми степен.

А затим, можемо сабрати експоненте, па је то x на

четврти степен.

Сад, другачији, потпуно исправан начин којим можемо

ово решити, је да можемо одузети експоненте.

Могли смо рећи: "Вау, добро, овде је иста основа."

То ће бити x на минус 3, минус негативни

седми степен.

Добро, минус 3 минус минус 7, то је 3 плус 7,

што је једнако x на четврти степен.

И затим, последњи начин... мислим, заправо, има више

од једног последњег начина како ово можемо урадити.

Могли смо рећи x на минус 3 кроз x на

минус 7... извините, не минус x... кроз x на

минус 7.

Добро, x на минус 3 је исто као 1 кроз x на

трећи... ово је тај члан управо овде... пута 1 кроз x

на минус 7, па то може бити једнако 1

кроз x на трећи пута x на минус 7.

Можете сабрати експоненте, па је то једнако 1 кроз 3

минус 7, једнако x на минус 4.

А затим ово... Ако се сад отарасимо минуса, ми узимамо

инверзно од овог, можемо да ставимо негативно од овог

негативног, чинећи га позитивним... ово ће бити

једнако x на 4.

Дакле, није важно како смо то урадили, док се држимо

правила, добијамо x на четврти.

Хајде да урадимо још један, мало чупав...

А затим, мислим да ће бити доста за сад.

Рецимо да имамо 3x на квадрат... 3х на квадрат пута y на степен 3/2.

И, поделићемо ово са x пута y на степен 1/2.

Добро, још једном, ово је исто као 3 пута x

члан овде десно, па 3 пута x на квадрат кроз x, пута y на

3/2 кроз y на 1/2, 3/2 кроз 1/2.

Па, ово ће бити једнако 3 пута... шта је x

на квадрат кроз x?

Или, x на квадрат кроз x на први степен?

То ће бити једнако x на 2 минус 1... 2 минус 1.

А затим, ово ће бити пута y на 3/2 минус 1/2.

Дакле, шта ће све ово бити?

То постаје 3 пута x.

2 минус 1 је баш 1... могу само да напишем x овде... пута 3/2

минус 1/2 је 2/2.

Дакле, то је y на 2/2.

2/2, или две половине... то је исто y,

према томе, ово је једнако 3xy.

У сваком случају, охрабрујем вас да урадите још много, много

више оваквих примера.

Али, видећете да само користећи правила која смо

изложили у последњих неколико снимака, можете лепо

поједноставити било који израз са степенима.

...