Zero, Negative, and Fractional Exponents

Pár videóval ezelőtt megtudtuk, hogy minden szám nulladik hatványa 1.

Tehát x a nulladikon egyenlő 1.

És adtam egy érvet miért is ez a helyzet,

azt a példát hoztam fel, mikor a 3 az elsőn egyenlő 3.

azt a példát hoztam fel, mikor a 3 az elsőn egyenlő 3.

3 a másodikon az egyenlő 9.

3 a harmadikon egyenlő 27.

Vagyis minden alkalommal mikor növeljük a kitevőt, szorzunk hárommal.

27 osztva hárommal az 9.

9 osztva hárommal az 3.

Majd 3 osztva hárommal az 1.

Ennyinek kell lennie a 3 a nulladikonnak.

Tehát ez egy gondolatmenet.

Egy másik szerint pedig szükségünk van erre hogy

működjenek a hatványozás azonosságai.

Például, említettük, hogy 'a' a 'b' hatványon szorozva 'a' a 'c' hatványon

egyenlő 'a' a 'b'+'c' hatványon.

De mi történik ha 'c' egyenlő 0?

Mennyi lenne az 'a' a 'b' hatványon szorozva 'a' a nulladikon?

Nos, ez esetben ennek egyenlőnek kell lennie 'a' a 'b'+0 hatványon,

ami egyenlő 'a' a 'b' hatványon.

Tehát 'a' a 'b' hatványon szorozva 'a' a nulladikon egyenlő 'a' a 'b' hatványon.

Ha osztjuk mindkét oldalt az 'a'-val -- hadd írjam át --

'a' a 'b' hatványon szorozva 'a' a nulladikon, ha ezt az azonosságot használjuk,

egyenlőnek kell lennie 'a' a 'b' hatványon, igaz? 'b' plusz 0 az 'b'.

Ha mindkét oldalt osztjuk 'a' a 'b' hatványon-nal, mit kapunk?

A bal oldalon, marad

csak az 'a' a nulladikon, igaz?

Ezek pedig kiütik egymást.

'a' a nulladikon egyenlő 1.

És hasonló érveléssel jöhetünk a hatványozás

többi azonosságánál is; szükségünk van arra hogy a számok

nulladik hatványa eggyel legyen egyenlő.

És van is értelme, mikor osztunk hárommal, minden lépésnél

csökkentjük a kitevőt.

Működik.

Ha vesszük a 3 a mínusz elsőt, láttuk ez előző videóban

hogy ez egyenlő 1 per 3 az elsőn, vagy 1/3.

hogy ez egyenlő 1 per 3 az elsőn, vagy 1/3.

Tehát újból, 3 a nulladikon-tól az 1/3-ig,

osztanunk kell ismét hárommal.

Tehát tényleg logikus valahol, hogy 3 a nulladikon egyenlő 1.

Tehát tényleg logikus valahol, hogy 3 a nulladikon egyenlő 1.

De ez felvet némi kérdést.

Mennyi lenne 0 a nulladikon?

Ez egy igen furcsa felállás.

0 szorozva önmagával nullaszor.

És attól függ milyen szövegkörnyezetben vagyunk.

Sokak szerint ez értelmezhetetlen, de többször

találkoztam már olyan felvetéssel, hogy ez

1-nek van definiálva.

És ennek az oka -- még akkor is ha ez nagyon nem

tudatos, és beüthetjük a google-ba hogy 0 a nulladikon

és ki fogja dobni, hogy 1.

Még ha nagyon nem is illik a képbe, de az ok, hogy ezt

mégis így definiálták az, hogy rengeteg

képlet működik vele.

Különösen a binominális képlet működik a

binominális együtthatókkal, amibe nem mennék most bele,

mikor nulla a nulladikon egyenlő 1.

Tehát ez egy érdekes dolog, érdemes átgondolni mit is jelent ez.

Tehát ez egy érdekes dolog, érdemes átgondolni mit is jelent ez.

Nézzük most további azonosságokat.

Majd oldhatunk meg feladatokat a többi azonossággal együtt.

Ez előző videóban tanultuk mit jelent egy számot

negatív kitevőre emelni.

'a' a mínusz elsőn, vagy inkább 'a' a

mínusz 'b'-n, az egyenlő 1 per 'a' a 'b' hatványon.

Tehát nézzük meg ezt néhány konkrét példán keresztül,

3 a mínusz harmadikon egyenlő 1 per 3 a harmadikon,

ami egyenlő 1 per 3 szorozva 3 szorozva 3,

ami egyenlő 1 per 27.

Ha az lenne a feladat, mennyi 1/3 a mínusz másodikon --

nos, ez egyenlő 1 per 1/3 a másodikon.

nos, ez egyenlő 1 per 1/3 a másodikon.

Megszabadulunk a negatív hatványtól és vesszük a reciprokát.

Tehát ez egyenlő lesz 1 per --

mennyi 1/3 szorozva 1/3?

1/9.

Ami egyenlő -- 1 osztva 1/9 ami ugyanannyi,

mint 1 szorozva 9, vagyis ez egyenlő 9.

És teljesen logikus is, mert emlékezzünk, 1/3 az

nem más mint 3 a mínusz elsőn, igaz?

3 a mínusz elsőn az egyenlő 1 per 3 az elsőn,

ami ugyanannyi mint 1/3.

Vagyis ha helyettesítjük az 1/3-ot 3 a mínusz elsővel, ez így

3 a mínusz elsőn a mínusz másodikon.

Ez e két állítás egyenlő.

És ha használjuk az egyik azonosságot az előző videókból,

vehetjük a két kitevő szorzatát.

vehetjük a két kitevő szorzatát.

Tehát ez egyenlő 3 a mínusz elsőn szorozva a mínusz másodikon,

ami pozitív 2, és az eredmény 9.

Nagyon érdekes és szép dolog ez, hogy ezek az azonosságok

tényleg passzolnak egymással és nem mondanak

egymásnak ellent.

Nem számít hogy melyik azonosságot használjuk,

a jó eredményt fogjuk megkapni a végén, amíg

mindent jól csinálunk.

Na, az utolsó dolog amit definiálni akarok, a törtkitevő.

Na, az utolsó dolog amit definiálni akarok, a törtkitevő.

Tehát ha van egy számunk törtkitevőn -- legyen

'a' az 1 per 'b' hatványon.

Akkor definiáljuk ezt.

Ez egyenlő lesz 'a'-nak a 'b'-edik gyöke.

Hadd tisztázzam ezt.

Nézzük számokkal.

Ha azt mondjuk 4 a 1/2 hatványon itt, ez egyenlő

a négynek a négyzetgyökével.

Ami pedig egyenlő a gyökvonás után kettővel.

Ami pedig egyenlő a gyökvonás után kettővel.

Ha vennénk, hogy tiszta legyen, 8-nak a 1/3 hatványát,

ez a 8-nak a köbgyöke lenne.

És ez néha a legösszezavaróbb része

a hatványozásnak.

Ez egyenlő az a szám, melyet önmagával szorozva háromszor 8-at kapunk.

Ez egyenlő az a szám, melyet önmagával szorozva háromszor 8-at kapunk.

Tehát ha azt mondanám, hogy x egyenlő 8 az 1/3-on, ez

ugyanannyi lenne mint x a harmadikon

egyenlő 8.

És honnan tudhatom hogy ezek egyenlőek?

Nos, mindkét oldalt a harmadik hatványra emelhetem.

Nos, mindkét oldalt a harmadik hatványra emelhetem.

Ha a jobb és a bal oldalt is a harmadik hatványra emelem, mennyit kapunk?

Ha a jobb és a bal oldalt is a harmadik hatványra emelem, mennyit kapunk?

A bal oldalon kapunk x a harmadikont.

A jobb oldalon, kapunk 8 az 1/3-on szorozva hárommal, ami

3 per 3, tehát 1.

Tehát ha x egyenlő 8 az 1/3-on, mennyi az x?

Nos, 2 szorozva 2 szorozva 2 az egyenlő 8.

És ezeket már nem könnyű kiszámolni, főleg ha már a

negyedik vagy ötödik gyök alatt vagyunk és

tizedestörtekkel kell számolni.

Valószínűleg számológépre lesz szükségünk ilyen számolásoknál.

De olyanok mint 8 az 1/3-on vagy 16 az 1/4-en vagy

27 az 1/3-on, ezek azért könnyen kiszámolhatóak.

Tehát ez itt, csak hogy tisztázzuk, ez 2.

De most tegyük egy picit érdekessebbé a dolgot.

Mennyi 27 a mínusz 1/3-on?

Na azért ne ijedjünk meg.

Menjünk lépésről lépésre.

Ha elvesszük a negatív hatványt, akkor ez egyenértékű lesz 1 per 27 az 1/3-on.

Ha elvesszük a negatív hatványt, akkor ez egyenértékű lesz 1 per 27 az 1/3-on.

Ha elvesszük a negatív hatványt, akkor ez egyenértékű lesz 1 per 27 az 1/3-on.

Megszabadolunk a negatívtól és vesszük az alap reciprokát.

Megszabadolunk a negatívtól és vesszük az alap reciprokát.

És akkor mennyi 27 az 1/3-on?

Nos melyik szám szorozva önmagával háromszor egyenlő 27-tel?

Nos ez egyenlő 3.

Tehát ez egyenlő lesz 1 per 3.

Nem is rossz.

Most még egy szinttel feljebb megyünk, hogy

még zavaróbb és ijesztőbb legyen.

Csináljunk valami érdekeset.

Mennyi 8 a 2/3-on?

Ez egy picit ijesztőnek tűnik.

De csak arra kell gondolni, hogy ez is ugyanúgy működik,

csak a hatványozás azonosságait használjuk,

8 a négyzeten és az 1/3-on.

Honnan tudtam ezt?

Nos, ha szorozzuk ezt a két kitevőt, az 2/3.

Vagyis 8 a 2/3-on az ugyanannyi mint 8 a négyzeten

majd ennek a köbgyöke.

De csinálhatjuk másként is.

Ennek is az lesz az eredménye hogy 8 az 1/3-on a négyzeten.

Mert mindkétféleképpen ha szorozzuk a kitevőket

azt kapjuk hogy 8 a 2/3-on.

De bizonyosodjunk meg róla hogy tényleg

ugyanazt az értéket kapjuk.

8 a négyzeten az 64.

És ennek vesszük az 1/3 hatványát.

Itt lent, van 8 az 1/3-on.

Ennek az eredménye már meg is van.

Ez 2, mert 2 a harmadikon az 8.

Vagyis ez 2 a négyzeten.

De mennyi 64 az 1/3-on?

Melyik szám szorozva háromszor önmagával ad 64-et?

Nos, 4 szorozva 4 szorozva 4 az 64, vagy 4 a harmadikon

egyenlő 64, ami azt jelenti hogy 4 egyenlő

64 az 1/3-on.

Tehát ez egyenlő 4.

És szerencsékre, 2 a négyzeten ugyancsak 4.

Nem számít tehát melyik utat választjuk.

Csinálhatjuk a négyzetre emelést majd a köbgyököt, vagy

a köbgyököt először és utána a négyzetre emelést.

Teljesen ugyanazt az eredményt fogjuk megkapni.

Nos mindent amit eddig csináltunk

konkrét számokkal volt.

Nézzünk meg pár feladatot amivel összegyűjtjük

az eddigieket, de változók segítségével.

Mondjuk hogy szeretnénk csinálni pár feladatot de

biztosra akarunk menni, hogy

ne legyen a válaszban negatív kitevő.

Legyen mondjuk x a mínusz harmadikon per x a mínusz hetediken.

Többféleképpen is nézhetjük ezt.

Nézhetnénk úgy hogy x a mínusz harmadikon, szorozva 1 per

x a mínusz hetediken.

És mennyi az 1 per x a mínusz hetediken?

Ez nem más mint x a hetediken, igaz?

Ha 1 per valamink van, megszabadulhatunk az számlálótól

ha a kitevő elé egy mínuszt rakunk.

De ha mínuszt teszünk a mínusz hét elé,

azt kapjuk hogy x a hetediken.

Vagyis ez egyszerűsíthető x a mínusz harmadikonra, szorozva

x a hetedikenre.

Majd összeadhatjuk a kitevőket, ami x a negyediken lesz.

Majd összeadhatjuk a kitevőket, ami x a negyediken lesz.

Na és egy másik módszer, szintén legális,

ha kivonjuk a kitevőket.

Mondhattuk volna, héj, hát azonos az alap.

Ez lesz x a mínusz harmadikon,

mínusz a mínusz hetediken.

Mínusz 3 mínusz mínusz 7, az mínusz 3

plusz 7, ami pedig egyenlő x a negyediken.

És még egy utolsó módszer - vagyis lenne még több is egyébként.

És még egy utolsó módszer - vagyis lenne még több is egyébként.

Mondhattuk volna, hogy x a mínusz harmadikon per

x a mínusz hetediken -- bocs, nem mínusz x -- per

x a mínusz hetediken.

Nos, x a mínusz harmadikon az nem más mint 1 per x a harmadikon

-- ez ez a kifejezés itt -- szorozva 1 per

x a mínusz hetediken, tehát ez itt 1 per

x a harmadikon szorozva x a mínusz hetediken lenne.

Összeadhatjuk a kitevőket, ami így egyenlő 1 per 3

mínusz 7 ami x a mínusz negyediken.

Majd ez -- ha megszabadultunk az inverztől, vesszük

az inverzét, és teszünk egy mínuszt ez elé a mínusz elé,

amivel pozitívvá válik -- ezzel ez így

egyenlő x a negyediken.

Vagyis mindegy hogyan csináljuk, amíg következetesek maradunk

a szabályokkal, x a negyedikent fogunk kapni.

Nézzünk meg még egyet ami picit rázós.

Aztán azt hiszem mára befejeztük.

Mondjuk hogy van 3x a négyzeten szorozva y a 3/2-en.

És ez osztva x szorozva y az 1/2-en.

Nos, újra csak, ez nem más mint 3 szorozva az x kifejezésekkel

itt, tehát 3 szorozva x a négyzeten per x, szorozva

y a 3/2-en per y az 1/2-en.

Ez egyenlő lesz 3 szorozva -- mi x

a négyzeten per x?

Vagy x a négyzeten per x az elsőn?

Ez egyenlő lesz x a 2 mínusz elsőn.

Majd ez szorozva y a 3/2 mínusz 1/2-en.

Na mi is lett akkor ebből az egészből?

3 szorozva x.

2 mínusz 1 az 1 -- ide elég csak x-et írnom -- szorozva 3/2

mínusz 1/2 ami 2/2.

Ez tehát y a 2/2-en.

2/2 vagy két fél -- ez ugye nem más mint csupán egy y.

Vagyis ez egyenlő 3xy.

A lényeg, hogy arra szeretnélek benneteket bátorítani, hogy

minél több példát csináljatok ezekből.

De látni fogjátok, hogy csupán a szabályok használatával,

melyeket az elmúlt videókban tanultunk, egész jól

le tudjátok egyszerűsíteni a kifejezéseket.

Amit pár videóval ezelőtt is elmondtam: bármi a nulladik hatványon egyenlő 1.

Amit pár videóval ezelőtt is elmondtam: bármi a nulladik hatványon egyenlő 1.