Zero, Negative, and Fractional Exponents

Ein paar Videos zuvor sagte ich dir, dass alles

mit dem Exponenten 0 gleich 1 ist.

X "hoch" 0 ist demnach gleich 1.

Und ich habe damals erläutert, warum dies der Fall ist.

Ein Beispiel war, dass wenn man 3^1 hat

dies gleich 3 ist.

3^2 ist gleich 9.

3^3 ist gleich 27.

Jedes Mal, wenn der Exponent um eine Anzahl geringer ist, teilen wir also quasi durch 3.

27 geteilt durch 3 ist 9.

9 geteilt durch 3 ist 3.

3 geteilt durch 3 ist 1.

Und dies ist es, was 3^0 sein müsste.

Das wäre der eine Gedankengang.

Anders betrachtet, braucht man dies

zur Anwendung der Eigenschaften der Exponenten.

Ich sagte dir, dass a^b mal a^c

gleich a^ b+c ist.

Was nun, wenn c gleich 0 ist?

Was passiert, wenn wir a^b mal a^0 haben?

Gemäss dem hier oben müsste es

a^b + 0 sein, was gleich a^b ist.

a^b mal a^0 muss gleich a^b sein.

Wenn du beide Seiten hier ...

a^b mal a^0 ... Wenn wir diese Eigenschaft hier anwenden ...

muss es gleich a^b sein, richtig? b plus 0 ist b.

Wenn man beide Seiten durch a^2 teilt, was erhält man dann?

Auf der linken Seite verbleiben wir nur

noch mit a^0, richtig?

Dies hier fällt weg.

a^0 ist gleich 1.

Und man kann das Argument bei ziemlich

allen Exponenten-Eigenschaften anwenden. Man benötigt etwas hoch 0,

um gleich 1 zu sein.

Und es macht auch Sinn, wenn wir hier durch 3 teilen;

bei jeder Verringerung des Exponenten.

Sodass es aufgeht.

Wenn du 3^-1 nimmst ... wir sahen es beim vorherigen Video ...

dann ist dies gleich 1 über 3^1.

Oder: 1/3.

Um von 3^0 auf 1/3 zu gelangen,

teilt man erneut durch 3.

Es ergibt also gewissermaßen Sinn,

dass 3^0 gleich 1 ist.

Das stellt uns nun aber vor eine Schwierigkeit.

Was ist 0^0?

Das ist eine sehr seltsame Sache.

0 mit sich selbst 0 Mal multipliziert.

Und es kommt nun auf den Kontext an.

Manchmal sagen Leute, dass dies undefiniert ist.

Sehr oft aber - zumindest nach meiner Erfahrung -

ist es als 1 definiert.

0^0 definiert als 1.

Und der Grund dafür, auch wenn das nicht intuitiv ist ...

und du könntest 0 hoch 0 bei

google eingeben, und es kommt 1 heraus.

Obwohl das überhaupt nicht intuitiv ist, ist der Grund,

warum das so definiert ist, der, dass so viele

Formeln funktionieren.

Im Besonderen funktioniert die Binomialformel ... für die Binominalkoeffizienten,

... was ich hier nicht behandle ...

wenn 0 hoch 0 gleich 1 ergibt.

Das ist eine interessante Sache, worüber du nachdenken kannst.

Lass uns über andere Eigenschaften sprechen.

Wir werden dann alles ein wenig bündeln und

ein paar Beispiele machen. Ich habe dir im letzten Video gesagt,

wie es aussieht, wenn man eine Minuszahl im Exponenten hat.

a^-1 ... oder nehmen wir a^-b

ist gleich 1 über a^b.

Machen wir es mit ein paar konkreten Beispielen.

3^-3 ist gleich 1 über 3^3,

was wiederum gleich 1 über 3 mal 3 mal 3 ist.

Und es ist gleich 1/27.

Fragen wir uns, was 1/3 hoch -2 ist.

Dies ist gleich 1 über 1/3 hoch 2.

Man wird das Minus mittels Umkehrfunktion los.

Dies ist gleich 1 über ...

Was ergibt 1/3 mal 1/3?

1/9.

Somit haben wir ... Dies ist 1 geteilt durch 1/9, was das Gleiche ist wie

1 mal 9. Somit haben wir 9.

Das macht Sinn, denn 1/3 ist das Gleiche wie

3^-1. Richtig?

3^-1 ist gleich 1 über 3^1.

Das ist das Gleiche wie 1/3.

Wir können 1/3 durch 3^-1 ersetzen,

und dies haben wir hoch -2.

Diese zwei hier sind gleichwertig.

Aufgrund dessen, was wir in einem vorherigen Video gelernt haben,

können wir nun das Resultat

hier ausrechnen.

Dies ist gleich 3 hoch ... -1 mal -2 gleich 2.

Das hier ergibt 9.

Es ist interessant, wie all diese Exponenten-Eigenschaften

miteinander funktionieren und

sich nicht widersprechen.

Es spielt keine Rolle, welche Eigenschaft man anwendet,

solange man sich

an die Regeln hält.

Zuletzt schauen wir es nun anhand

einer Bruchzahl im Exponenten an.

Wenn also etwas "hoch" und eine Bruchzahl ist, dann ...

Nehmen wir a hoch 1/b.

Wir definieren das.

Die ist gleich die "b-te" Wurzel von a.

Vielleicht zeige ich es noch etwas klarer auf.

Schauen wir es anhand einer Zahl an.

Nehmen wir 4 hoch 1/2.

Dies ist äquivalent zur Quadratwurzel von 4.

Und wenn wir die Quadratwurzel hier ziehen,

dann ergibt dies 2.

Wenn ich 8 hoch 1/3 habe, dann ist dies

äquivalent zur Kubikwurzel von 8.

Das mag gewissermaßen etwas verwirrend sein

bei den Exponenten.

Hier stellt sich die Frage, welche Zahl mit sich selbst drei Mal multipliziert

gleich 8 ist?

Wenn ich sage, dass x gleich 8 hoch 1/3 ist,

dann ist dies das Gleiche wie

x^3 = 8.

Wie weiß ich aber, dass diese Aussagen äquivalent sind?

Ich kann beide Seiten der Gleichung

hoch 3 rechnen.

Wenn ich das hier links hoch 3 rechne und dann

hier rechts hoch 3 rechne, was erhalten wir?

Auf der linken Seite habe ich dann x hoch 3 und auf der

rechten Seite erhalte ich (8 hoch 1/3) hoch 3.

Dies ist hier ist dann 3/3, was schlicht 1 ist.

Wenn x gleich 8 hoch 1/3 ist, was ist x?

Nun, 2 mal 2 mal 2 ist gleich 8.

Es ist manchmal gar nicht so einfach. Vor allem dann

nicht, wenn man die vierte oder fünfte Wurzel ziehen muss und man es

mit Kommastellen zu tun hat.

Wahrscheinlich bräuchtest du meistens einen Taschenrechner.

Aber solches wie 8 hoch 1/3 oder 16 hoch 1/4 oder auch 27 hoch 1/3

wären gar nicht so schwierig, selbst zu errechnen.

Dies hier drüben ist also 2.

Machen wir es nun noch etwas komplizierter.

Was ist 27 hoch - 1/3?

Sei nicht zu verunsichert.

Wir werden das nun Schritt für Schritt durchgehen.

Wenn du hier diesen negativen Exponenten hast, dann ist dies äquivalent

zu 1 über 27 hoch 1/3.

Diese zwei sind äquivalent.

Hier bekomme ich das Minus weg und habe dann

1 geteilt durch diesem hier.

Was sind dann 27 hoch 1/3?

Welche Zahl mit sich selbst drei Mal multipliziert ergibt gleich 27?

Nun, das ist 3.

Dies ist das Gleiche wie 1/3.

Also gar nicht so schwierig.

Nun erhöhen wir nochmals etwas die Schwierigkeit.

Noch komplizierter.

Etwas Interessantes ...

Was ist 8 hoch 2/3?

Das schaut ein wenig beängstigend aus.

Bemerke: Dies ist das Gleiche wie ...

Wir benutzen die Regeln für die Exponenten. Dies ist das Gleiche wie

8 quadriert hoch 1/3.

Woher weiss ich das?

Nun, wenn ich diese zwei Exponenten multipliziere, dann sind dies 2/3.

8 hoch 2/3 ist das Gleiche wie 8 hoch 2 und

dann die Kubikwurzel von dem.

Du kannst es aber auch anders machen.

Das wäre dann gleich 8 hoch 1/3 und dann quadriert.

Denn bei beiden Varianten multipliziere ich diese Exponenten und

erhalte 8 hoch 2/3.

Prüfen wir noch, ob wir wirklich

den gleichen Wert erhalten.

8 quadriert ist 64.

Und wir nehmen das hoch 1/3.

Hier haben wir 8 hoch 1/3.

Wir haben dies schon ausgerechnet. Es ist 2.

Denn 2 hoch 3 ist gleich 8.

Wir haben also 2 im Quadrat.

Nun, was ist 64 hoch 1/3?

Welche Zahl mit sich drei Mal selbst multipliziert, ist gleich 64?

4 mal 4 mal 4 ist 64.

4 hoch 3 ist gleich 64. Das heißt, 4 ist gleich

64 hoch 1/3.

Hier haben wir 4.

Und glücklicherweise ist 2 im Quadrat ebenfalls 4.

Es spielt also keine Rolle, wie man vorgeht.

Man kann zuerst quadrieren und dann die Quadratwurzel davon oder man

kann zuerst die Kubikwurzel nehmen und dann quadrieren.

Das Resultat wird das genau Gleiche sein.

Was wir bis jetzt hier behandelt haben,

war in Zahlen.

Lass uns deshalb in ein paar Übungen noch

Variablen einschließen.

Wir möchten es mit ein paar Ausdrücken zu tun haben,

wobei wir sicherstellen,

dass die Exponenten im Resultat nicht im Minus sind.

Nehmen wir x hoch -3 über x hoch -7.

Es gibt nun verschiedene Weisen, hier vorzugehen.

Wir können es beispielsweise als gleich x hoch -3

mal 1 über x hoch -7.

Was ist nun aber 1 über x hoch -7?

Es ist das Gleiche wie x hoch 7. Richtig?

Wenn man 1 "über etwas" hat, dann kann man dieses "1 über" loswerden,

indem man hier ein Minuszeichen vor dem Exponenten macht.

Wenn man aber ein Minuszeichen vor diese -7 setzt,

dann erhält man x hoch 7.

Dies wird also vereinfacht zu x hoch -3 mal

x hoch 7.

Wir können hier nun die Exponenten addieren und erhalten

x hoch 4.

Wir hätten hier nun aber auch einfach

die Exponenten subtrahieren können.

Wir haben hier die gleiche Basis.

Wir haben hier x hoch und rechnen -3 - -7.

Nun, -3 minus -7, das ist

-3 plus 7. Und wir haben somit x hoch 4.

Kommen wir zu einer weiteren Vorgehensweise.

Es gäbe eigentlich sogar noch mehr.

Wir hätten sagen können, dass x hoch -3 über

x hoch -7 ist. Sorry, es ist nicht -x.

Über x hoch -7

Nun, x hoch -3 ist das Gleiche wie 1 über x hoch 3.

Das betrifft diesen Term hier. Und dies mal

1 über x hoch -7. Zusammengefasst ist dies gleich

1 über x hoch 3 mal x hoch -7.

Bei den Exponenten können wir addieren. Wir haben nun

1 über 3 minus 7, also 1 über x -4.

Hier wenden wir nun die Umkehrfunktion an.

Wenn hier vor der -4 noch ein Minus haben,

dann wird dies zu Plus.

Wir haben dann x hoch 4.

Egal, wie wir vorgehen. Solange wir uns an die

Regeln halten, muss das Resultat x hoch 4 sein.

Kommen wir zu einem weiteren kniffligen Beispiel.

Dann denke ich, belassen wir es für den Moment.

Nehmen wir 3x im Quadrat mal y hoch 3/2.

Wir teilen dies durch x mal y hoch 1/2.

Nochmals, das ist das Gleiche wie 3 mal ...

3 mal x im Quadrat über x mal ...

y hoch 3/2 über y hoch 1/2.

y hoch 3/2 über y hoch 1/2.

Nun, das ergibt gleich ... Was ist x hoch 2 über x?

Oder x hoch 2 über x hoch 1?

Das ist gleich x hoch ... 2 minus 1.

Und dies rechnen wir mal y hoch ... 3/2 minus 1/2.

War ergibt sich daraus?

Wir haben 3 mal x.

2 minus 1 ist 1. Man kann nun einfach x schreiben. Dies mal ...

3/2 minus 1/2 ist 2/2.

Wir haben y hoch 2/2.

2/2 wird schlicht zu y vereinfacht.

Das Resultat lautet hier demnach 3xy.

Ich empfehle dir, dass du noch ein paar weitere solcher

Aufgaben machst.

Anhand der Regeln, welche wir in den vergangenen Videos behandelt haben,

kannst du feststellen, dass man fast

jeden Ausdruck mit Exponenten vereinfachen kann.