Zero, Negative, and Fractional Exponents

Обясних преди няколко видео клипа, че всяко число на нулева степен е равно на 1.

Следователно х на нулева степен е равно на 1.

Обясних защо се получава така.

Използвах примера, че ако имаме 3 на първа степен,

това е равно на 3.

3 на втора степен е равно на 9.

3 на трета степен е равно на 27.

Всеки път, когато намаляваме по степен, делим на 3.

27 делено на 3 е 9.

9, делено на 3 е 3

Така че 3 делено на 3 е 1.

А това би трябвало да е 3 на нулева степен.

Това е единият начин да мислим за това.

Другият начин на мислене е , че това ни е нужно

за действане на изчисленията на степените.

Например, казах ви, че а на степен b по a на степен c е

равно на а на степен b плюс с.

А сега, какво ще стане, ако с е 0 ?

Какво се случва, ако имаме а на степен b по а на нулева степен ?

При тази стойност, това би трябвало да е равно на а

на в плюс 0, което е равно на а на в.

Тогава а на в по а на нула би трябвало да е равно на а на в.

Ако разделите двете страни на това по а --нека напиша отново

това-- а на в по а на нула, ако използваме тази стойност

тук, трябва да е равно на а на в, нали? в плюс 0 е в.

Ако разделите двете страни на а на в, какво получавате?

От ляво , ви остава само

а на нула, нали?

Те се задраскват.

а на нула е равно на 1.

Можете да използвате подобен аргумент за много от

свойствата на степените- трябва ни число на нулева степен

да е равна на 1.

Има смисъл, тъй като разделяме на 3 и с всяка стъпка

намаляваме нашата степен.

Това действа.

Когато вземете 3 на минус 1 степен, видяхме

в последното видео, че това е равно на 1 върху 3 на първа

степен или 1/3.

Още един път, от 3 на степен 0 към 1/3, вие

разделяте отново на 3.

Следователно действително има смисъл на определено ниво- 3

на нулева степен да е равно на 1.

Но това оставя малка празнина.

А какво относно 0 на нулева степен?

Това е много странно понятие.

0 умножено пак по 0.

Това зависи и от контекста, който използвате.

Понякога хората биха казали, че това е неопределено, но в

повечето случаи, поне в моя опит, това би се

определило като 1.

А причината, поради която-- дори и поради факта, че това не е напълно

интуитивно, а вие бихте могли да напишете 0 на нулева степен в

Гугъл, ще ви даде 1.

Дори и посредством това не е напълно интуитивно, причината, защо

това е било определено да бъде по този начин е, че

води до създаването на много формули.

В частност, биноминалната формула работи за вашите

биноминални коефициенти, което аз няма да развия

точно тук, когато 0 на нулева степен е равно на 1.

За вас това е интересно за размисъл, какво

това би трябвало да означава.

Нека поговорим за някои от другите стойности.

След това можем да ги съберем всички заедно с някои

проблеми като примери. Казах ви в последното видео, какво

означава да повдигнем на отрицателна степен.

а на минус 1 степен или може би, би трябвало да кажа

на минус в степен е равно на 1 върху а на в степен.

Нека просто да направим това с няколко конкретни примера, 3

на минус 3 степен е равно на 1 върху 3 на трета

степен, което е равно на 1 върху 3 по 3 по 3, което е равно

на 1 върху 27.

Ако ви попитам, какво е 1/3 на минус 2 степен--

то тогава това е равно на 1 върху 1/3 на

втора степен.

Премахвате отрицателното и обръщате.

Тогава това би било равно на 1 върху--

колко е 1/3 по 1/3?

1/9.

Което е равно на-- това е 1 разделено на 1/9 е същото нещо

като 1 по 9, това е равно на 9.

И това е напълно смислено, защото 1/3, запомнете, 1/3 е

същото нещо като 3 на минус 1 степен, нали?

3 на минус 1 е равно на 1 върху 3 на 1 степен,

което е същото нещо като 1/3.

Ако разменим 1/3 с минус 1 степен, това е 3 на

на минус 1 степен към минус 2 .

Тези две неща са равностойни становища.

И ако използваме едно от свойствата, които научихме

в първото видео, ние можем да вземем продукта

от тези две степени.

Това е равно на 3 на минус 1, по минус 2,

което е просто плюс 2, което е равно на 9.

В действителност е много симпатично, как всички тези свойства на степение,

действително си пасват в хубав, подреден пъзел, в който

взаимно се опровергават.

Няма значение, каква свойност използвате, накрая ще получите

правилния отговор, в случай, че не направите

нещо налудничаво.

Последното нещо, което искам да определя сега е

дробната степен.

Ако имам число на дробна степен--- нека да

кажем имам а на 1 върху в степен.

Ще определя това.

Това ще бъде равно на корен квадратен от а на в.

Нека да бъда много ясен тук.

Нека тук да покажа с няколко числа.

Ако точно тук кажа 4 на 1/2 степен, това означава, че това

е еквивалентно на корен квадратен от 4 на 2.

Което е равно на, ако говорим за главния корен,

това е равно на 2.

Ако бях взел, нека да стане ясно, 8 на степен 1/3,

това ще стане корен квадратен от 8 на 3.

Атова е, на определено ниво в повечето случаи, едно от

най-объркващите неща в степените.

Тук си казвам, кое число умножено по себе си 3 пъти

е равно на 8?

Ако кажа, че х е равно на 8 на степен 1/3, това е

точно същото нещо , като да кажем х на трета степен

е равно на 8.

А как ще знам, че това са еквиваленти становища?

Мога да взема двете страни на това уравнение

на трета степен.

Ако взема лявата страна на трета степен и

дясната страна на трета степен, какво получавам?

От лявата страна, получавам х на трета.

От дясната страна, получавам 8 на 1/3 по 3, което е

просто 3 върху 3, което е просто 1.

То тогава, ако х е равно на 8 на 1/3, какво е х?

Значи, 2 по 2 по 2 е равно на 8.

В действителност няма лесен път, особено след като един път

сте образували корен квадратен на 4, или корен на 5 и получавате десетично

изчислявайки това.

Вероятно се нуждаете от калкулатор в повечето случаи да направите това.

Но числа като 8 на 1/3, или 16 на 1/4, или 27 на

1/3, не са толкова сложни за изчисление.

Това тук, нека да бъда ясен е 2.

Нека сега да го направя малко по-объркващо.

Колко е 27 на минус 1/3 степен?

Е , не ставайте прекалено смутени.

Ще го изясним стъпка по стъпка.

Когато вземете отрицателната степен, това е напълно

еквивалетно на 1 върху 27 на степен 1/3.

Тези двете са еквиваленти.

Ако премахнете отрицателната и вземете 1

върху цялото нещо.

А тогава, какво е 27 на степен 1/3?

Кое число 3 пъти по 3 е равно на 27?

Следователно, това е равно на 3.

Тогава това би било равно на 1 върху 3.

Не е толкова зле.

Сега ще го разгледам дори на друго ниво, ще го направя дори

още по- объркващо, дори по - обезкуражаващо.

Нека направя нещо интересно.

Какво е 8 на степен 2/3?

Това сега изглежда леко страховито.

Всичко, което трябва да запомните е, че това е същото нещо

като използването на нашите правила за степени, като 8

на квадрат на степен 1/3.

Как знам това?

Ако умножа тези две степени, това е 2/3.

8 на 2/3 е същото нещо като 8 на квадрат и след това

корен квадратен на 3 от това.

Но бихте могли да го разгледате от друг ъгъл.

Това също би трябвало да е равно на 8 на степен 1/3 на квадрат.

Защото по другия начин,когато умножа тези степени,

получавам 8 на степен 2/3.

Нека да се уверим за нас самите, че наистина

получаваме същата стойност.

8 на квадрат е 64.

И това ще го вземем на степен 1/3.

Долу тук, имаме 8 на степен 1/3.

Ние вече изяснихме, какво е това.

Това е 2, защото 2 на трета степен е 8.

Това е 2 на квадрат.

А сега, колко е 64 на степен 1/3?

Колко пъти 3 по 3 е равно на 64?

4 по 4 по 4 е равно на 64, или 4 на трета

е равно на 64, което означава, че 4 е равно

на 64 на 1/3.

Това е равно на 4.

И за наше щастие, 2 на квадрат е също 4.

Следователно няма значение , по кой начин го правите.

Вие можете да вземете квадрата и след това третия корен или вие

бихте могли да вземете корен квадратен на 3 и да го вдигнете на квадрат.

Тогава ще получите същия отговор.

Сега, всичко, което направих е всъщност

с действителните числа.

Нека да разгледам някои проблеми, които обидиняват

всичко, което направихме заедно използвайки производни.

Нека да кажем, че бихме искали да направим няколко уравнения и

да нека сме сигурни, че няма отрицателни

степени в отговора.

Нека добавим х на минус 3 върху х на минус 7.

Има много начини, по които бихме могли да разгледаме това.

Ние можем да разгледаме това като равно на х на минус 3 по 1

върху х на минус 7.

А какво е 1 върху х на минус 7?

Това е същото нещо като х на седма степен, нали?

Ако имате 1 върху нещо, можете да премахнете 1 -цата

и да поставите минуса пред степента.

Но ако поставите минус пред

минус 7, ще получите х на седма.

Това нещо може да бъде опростено на х на минус 3 по х

на 7 степен.

И след това може да прибавим степените, а това е х

на четвърта степен.

Друг начин, изцяло легитимен начин, по който сега бихме могли

да направим това е- бихме могли да извадим просто степените.

Ние бихме могли да кажем, добре, но това не е същата база.

Това ще бъде х на минус 3, минус отрицателната

седма степен.

Минус 3 минус отрицателно 7, това е минус

3 плюс 7, което е равно на х на четвърта степен.

И след това на финала-- искам да кажа, че действително има повече

от един начин в края, по който бихме могли да направим това.

Бихме могли да кажем х на минус 3 върху х

на минус 7--извинете, не минус х-- върху х

на минус 7.

Тогава х на минус 3 е същото нещо като 1 върху х на

трета-- това е терминът точно тук- по 1 върху х

на минус 7, тогава би било равно на 1

върху х по 3 х на минус 7.

Бихте могли да съберете степените, това е равно на 1 върху 3

минус 7 е х на минус 4.

И след това -- ако премахнем инверсията, ние вземаме

инверсията на това, можем да поставим минуса пред този

минус, правейки го положително- това ще бъде

равно на х на 4.

Няма значение, как го направихме, докато спазваме

правилата, ние получихме х на четвърта.

Нека направим едно малко по-сложно.

Мисля, че стига толкова засега след това.

Нека кажем, имаме 3х на квадрат по у на 3/2 степен.

Ще го разделим на х по у на степен 1/2.

Още един път, това е същото нещо като 3 по х

определено точно тук, следователно 3 по х на квадрат върху х по у на

3/2 върху у на 1/2.

Това ще е равно на 3 по --каквото е х

на квадрат върху х?

Или х на квадрат върху х на първа степен?

Това би било равно на х на 2 минус 1.

И после, това ще бъде по у на 3/2 минус 1/2.

Какво става с цялото нещо?

Получава се 3 по х.

2 минус 1 е само 1-- мога там да напиша само х-- по 3/2

минус 1/2 е 2/2.

Това е у на 2/2.

2/2, или две двойки -- това е същото нещо като у,

това е равно на 3 ху.

Въпрки това, окуражавам ви да направите още много,

много примери като тези.

Но ще видите, че само използване на правилата , които

разгънахме в последните няколко видео клипа, можете до известна степен

да опростите което и да е уравнение със степен.

чинг чинг чонг

Преди няколко клипчета ви обясних, че всяко число на нулева степен е равно на 1.