Linear Algebra: Parametric Representations of Lines

我們已經學習了一些線性代數的知識

你可能會想

有些你已經學過的方法

使用起來令人頭疼

你已經學習過向量

我猜有些人已經在

微積分課程或者微積分預備課程上

接觸過向量

在本節課中我希望用

你從來沒見過的方法

處理線性代數中的問題

如果你沒有看過這個影片的話

接受起來將會有些困難

下面開始講解

如何用不同的方法

解決已經學過的東西

我先定義一些向量

我不把它們加粗

而是在頭頂上畫一個箭頭

定義向量――

我可以在上方加一個箭頭

也可以將它加粗

我要在平面上

定義向量

假設定義行向量[2,1]

如果把它畫在標準位置

它就像這樣

向右2個單位 向上1個單位

這就是向量v

我還要問

我們能夠建立的所有向量是什麽？

我來定義一個集合

定義集合 S 它表示――

我可能建立的所有向量

如果我用某個常數乘以v

也就是用一個純量

乘以向量v

我應該寫得規範一些

其中c是實數

那麽如何用圖像表示這個集合呢？

如果把它們畫在標準位置

c是任意的實數

如果做乘法 可令c=2

如果c=2 我這麽來做

我用2乘以向量v

得到向量[4,2]

我把它畫標準位置

它在這裡

就是這個向量

它與第一個向量共線

它們在一條直線上

但是多向前延伸了一倍的距離

我還可以再做一個向量

比如1.5v

換一種顏色

它是多少呢？

1.5<i>2等於3 從而就是[3,1.5]</i>

這個向量在哪裏呢？

向上1.5個單位 向右3個單位

就到了這一點

我可以對向量乘以任何數

可以用1.4999乘以v

端點就在這裡

我也可以做0.0001v

我寫下來

我可以做0.0001v

結果如何呢？

得到的向量非常小 就在這裡

如果乘以-0.01

就得到反方向的

非常小的向量

如果乘以-10

就得到了這個方向的向量

走勢就像這樣

你可以推想

如果把所有的向量畫在座標係中

我可以用任何實數c

來表示它們

我會得到――

我最終會得到一堆向量

它們箭頭所指的方向

都沿著這條直線

也包括負方向――

我確認一下畫得是否合理――

沿著這條直線

我想你應該明白我的意思

這是共線的向量的集合

我寫下來

如果把它們看做位置向量

那麽這個向量就代表平面上的一點――

平面空間R2

就是所謂的笛卡爾平面――

如果把這個向量看做位置向量――

我寫下來――

如果把它看做R2中坐標

那麽對於這個集合

如果把它看做是位置向量的集合

它就代表這一整條直線

這是我要強調的一點

因爲它是斜率爲2的直線

對嗎？

抱歉 斜率爲1/2

向上1個單位

向右2個單位

我不想用代數1課程中

所使用的記號

但我要在這個過原點的斜率爲2的直線上

取一個點

如果要用標準形式寫出

集合所表示的向量

或者說如果把它們看做位置向量

如果沒有作解釋

也沒有限制條件

那麽我可以把向量畫在任何位置 對嗎？

因爲這是向量[4,2]

我可以把它畫在這

可以說它與原向量是共線的

雖然看起來不是那麽明顯

但是如果你把它

用標準形式畫出

那麽共線就是一目了然的了

即所有的向量從原點出發

它們的尾巴在原點上

頭部向外延伸

直到終點

這就是我所說的位置向量

它們不必須是位置向量

但是在我們的影片中

我們還是默認向量都是位置向量

現在我可以只用向量表示了

過原點的斜率固定的直線

你大概能看出來

這個向量表示了直線的斜率

可以把它看做是斜率向量

你可以將它

與代數1課程中的內容結合

那麽如何表示

斜率相同的其他直線呢？

如何表示

與之平行的直線――

它經過一點

即點(2,4)

我們用位置向量考慮

這一點可以用向量來表示

令它爲x

用向量x表示它

向量x等於[2,4]

就是這個點

如何表示與原直線平行

且經過點(2,4)的直線呢？

即我要表示的是這條直線

我盡可能畫的平行

我想你能明白我的意思

它就是沿著這個方向延伸

兩條直線是平行的

如何用集合表示所有這些

以標準形式寫出的向量

或者說對於所有的向量

如果它們是以標準形式寫出的

如何表示出這條直線？

你可以這麽來想

如果每一個向量都表示這條直線

如果從這條直線上的任一個向量出發

將其加上向量x

我就會在這條直線上得到

我想要的相應的點

對嗎？

比如說用-2乘以原向量

即用-2乘以v 等於什麽？

得到結果[-4,-2]

但是如果再加上x

如果再加上向量x

用-2乘以向量v

再加上x

即加上向量[2,4]

從這裡向右2個單位 向上4個單位

到了這裡

形象地說 就是首尾相接

最後走到這

最後的多重點是這裡

當定義集合S

爲所有點的集合

這些點是用純量乘以v得到的

我們得到了過原點的直線

現在我定義另一個集合

定義集合L 也許代表直線

它是一些向量的結合

其中向量x

我可以把它加粗 或者在上面加個箭頭

加上一個純量――可以用c

但這裡我使用t

因爲這是一種

直線的參數化方法――

加上一個純量t乘以向量v

這裡t可以是任意實數

這是什麽呢？

它將是這條藍色的直線

如果我把向量畫在

標準位置的話

就得到了藍色的直線

例如 取t=-2

乘以向量v 就到了這裡

再加上x 又到了這裡

所以這裡的這個向量

其終點在這――

其終點在那條直線上

這總可以做到

如果取這個向量

這是一個純量乘以向量v

再加上x 最終得到這個向量

如果將它看做位置向量

它的終點決定了xy平面上的一些坐標

【聽不清】

因此我可以得到任何向量

這是一個向量的集合

所有這些向量都指向――

它們本質上具有方向性――

當我用標準形式畫出它們時

如果用標準形式畫出――

它們將指向藍色直線上的一點

這時你可能會說

這樣定義直線有些繁瑣

在代數1課程中是這樣定義直線的

即y=mx+b

從中可以由兩點之間的關係

得到斜率

還有可以做一些替換

這些內容都是七到八年級學習的內容

這些內容很簡單

爲什麽我要定義這個複雜的集合

並要求大家用集合和向量

的方式思考問題？

原因在於 這樣具有一般性

這種方法在平面R2中很有效

在R2中它很好用

我們只需考慮x坐標和y坐標

但是對於這種情形

注意到在代數課上

老師並沒有講得很深

至少在I中是這樣的

老師沒有講如何在三維空間中表示直線

也許有些課中講到了

但是其中沒有告訴你

如何在四維空間 甚至一百維空間中

表示直線

這就是我們要研究的

在這裡 我定義了R2中的向量x和v

它們是二維向量

但是我們可以把它們擴充成任意維數的

現在說到關鍵了

我們再舉幾個R2空間中的例子

這是經典的代數問題

即求出直線的方程

但在這裡 我們稱之爲

直線的集合定義

假設有兩個向量

已知向量a 把它定義成――

比如說是[2,1]

把它寫作標準形式就是[2,1]

這是向量a

又已知向量b 定義向量b

把它定義爲

假設是[0,3]

這是向量b――

不用向右移 只需向上即可

向量b就像這樣

它們都是位置向量

都是標準形式

當把它們寫成標準形式時

向量的終點就表示位置

所以也可以把它們看做是R2中的點

這是R2

這些都是R2中的坐標軸

現在我讓你求

過這兩點的直線的

參數化形式

本質上就是求方程――

聯係代數1課程中的知識――

我就是要求過這兩點的

直線的方程

經典的方法是

需要求出斜率這些量

然後代回原式

但是用本節課的方法

過這兩點的直線――

可以說兩個向量――

這兩個向量都在這條直線上

那麽什麽向量可以表示這條直線呢？

更確切地說 哪個向量……

如果任取一個純量――

哪個向量可以表示直線上的任意向量

我這麽來做

如果我取―― 這個向量b――

如果取b-a

我們在之前的影片中學過

b-a就在這裡

得到兩個向量之差

這是向量b減去向量a

思考一下

需要對a加上多少才能得到b？

要加上b-a

如果得到向量b-a――

我們知道怎麽做

就是兩個向量相減

然後乘以任意一個純量

從而就能得到直線上的任一點

我們要仔細一些

如果對取純量t

乘以向量b-a

能得到什麽？

b-a就像這樣

如果把它寫成標準形式――

注意是標準形式

b-a就像這樣

對嗎？

它從0出發 與這個向量平行

從0開始 到終點結束

如果用某個純量乘以b-a

我們會得到在這條直線上的

點或者向量

而原向量在另一條直線上

這不是我們的最終目的

我們要得到這條直線方程

或者說對其參數化

令這個集合爲L

我們想知道另一個集合等於什麽

要知道結果 我們要從這裡出發

就是這條直線 我們要將它平移

我們可以直接將它向上平移

也可以加上一個向量b

可以取這條直線

將它加上向量b

從而這裡的任何點

在那都有一個對應的點

當加上向量b時 實質上就是做平移

這行的通

我們可以加上向量b

現在所有這些向量 對於任意的――

t是一個實數

這些向量都會落在綠色的直線上

另一種選擇是

可以加上向量a

向量a能取到這裡的任何點

並進行這樣的平移 對嗎？

可以加上向量a

不論哪個方法

都會得到要求的綠色的直線

所以可以定義它爲

向量a加上這條直線構成的集合

事實上是tb-a

其中t是實數

因此所求直線的定義就是

二者之一

所求直線可以表示成這個集合

也可以表示成這個集合

這些看起來有些抽象

當代入具體數值處理時

就會變得很簡單

它比代數1課程中的方法簡單多了

固定a和b 對於這個集合L

我們把它寫出來

所求直線等於―― 我用第一個例子

這個是向量b 它是[0,3]加上

t乘以(b-a)

b-a是多少？

0-2等於2 3-1等於2

t是一個實數

如果對於這個集合

你看起來還是很暈

我可以將它寫成

便於理解的形式

下面要描點 稱這個是y軸

這個是x軸

稱這個x坐標

這個也是x坐標

這個是y坐標

然後建立方程

這個是x方向上的距離

這個是x坐標 這個是y坐標

事實上 無論如何――

這裡我們要仔細一些

這裡最終會得到

某個向量[l1,l2]

對嗎？

這是一個向量的集合

集合中的任何成員

都像這樣

將它設爲Li

這個是x坐標

這個是y坐標

我要把它化作便於理解的形式

這個l就是

x+t(b-a)構成的集合

如果要寫成參數的形式

我們可以說

這一項決定了x坐標

我們推出x=0+t<i>(-2)</i>

或者說-2倍的t

然後是y坐標

這一項決定了y坐標

y等於3+2t

我們重新寫出這個方程

其中x=-2t

並且y=2t+3

如果你看了關於參數方程的影片

這個就是關於這條直線的

習慣的參數定義

現在你也許還認爲

這麽做是浪費時間 使問題複雜化了

你需要定義這些集合等所有的量

但現在我要介紹一些――

除非你以前見到過

我認爲這是有用的

在之前的代數課上

你可能沒有學過

假設有兩個點

要在三維空間中處理

已知一個向量

稱其爲點1

因爲這些是位置向量

所以就稱它爲位置1

這是在三維空間中

取一些數值 比如-1 2 7

又已知點2

還是在三維空間中

所以要具體指定三個坐標軸

它們是x軸 y軸 z軸

隨機取點2

比如0 3 4

現在要確定R3中

過這兩點的直線的方程

這是在R3中

我之前說過這條直線的方程――

我要稱這條直線 或者是它的集合

稱之爲L

它等於――

我們先選一個點 比如P1

向量P1 要注意這些都是向量

向量P1加上隨機的參數t

t可以是時間

就像第一次學習參數方程時

要乘以兩個向量的差

乘以P1 順序先後沒有關係

這很完美

P1減P2

也可以是P2減P1――

因爲它可以取任何正值或負值――

其中t是實數

我們代入這些數

將它們代進去

P1-P2是多少？

P1-P2等於―― 我需要一些空間

P1-P2等於 -1-0等於-1

2-3等於-1

7-4等於3

結果就是這個向量

從而所求直線可以用向量的集合來描述

如果在標準位置作圖

就會是這個位置向量的集合

結果是P1―― 我來換成綠色――

會是[-1,2,7]

這裡也可以用P2 同樣很簡單――

再加上t<i>[-1,-1,3]</i>

其中t是實數

現在的結果還不能令我們滿意

如何在三維空間中把它畫出來呢？

x軸 y軸 z軸在哪裏？

如果要考慮x軸 y軸 z軸

假設這是z軸

這是x軸 這是y軸

y軸穿過黑板

從這穿出來

現在怎麽做

我大概不用畫

x坐標是由方程決定的

按照慣例

x軸的部分是這幾項

我們可以寫出x―― 我寫下來

這幾項決定了x坐標

寫出x=-1――

我要注意顏色――

加上-1<i>t</i>

這是x坐標

y坐標是由

這部分向量決定的

因爲這些是y坐標

我們就知道y坐標等於――

我這樣寫――

即2+(-1)<i>t</i>

最後

z坐標由這項決定

還是有t t乘3――

我可以把t代入每一項

所以z坐標等於7加上t乘3

或者說加上3t

我們得到了三個參數方程

當我們在R2中處理時 我得到了參數方程

而我們在代數1課程中學過

可以用x表示u

不用非要得到參數方程

但是在R3中處理問題時

定義直線的唯一方法

就是使用參數方程

如果有關於x y和z的方程

如果已知x+y+z等於某個數值

這不是一條直線

關於這點我們會再討論

它其實是一個平面

在三維空間中

定義曲線的唯一方法

如果要描述蒼蠅在三維空間中的

飛行軌迹

就需要用參數方程

設想在三維空間中發射一顆子彈

它沿直線飛行

也要用參數方程來描述

對於這些―― 我猜你可以說出它――

它們是表示三維空間中的直線的方程

希望你覺得它有趣

我相信在這個影片中

你會領略到

之前沒有見過的

用線性代數解決問題的新方法

我們不應只停留在三維

這裡的三個坐標

我們同樣可以處理50維的問題

我們可以定義50維空間中的直線――

或者以向量的集合形式表示的直線

那兩個點也可以是在50維空間中――

不過這個不容易想象

但是數學上是可操作的