Linear Algebra: Parametric Representations of Lines

-

Şu ana kadar doğrusal cebirde öğrendiğimiz yaptığımız her şeyin zaten bildiklerimizin daha zahmetli versiyonu olduğunu düşünebilirsiniz.

-

-

Vektörlerle zaten uğraştınız.

Yani bazılarınızın daha önceden matematik, geometri veya fizik derslerinizde vektörlerle uğraştığınızı tahmin ediyorum.

-

-

Ama bu videoda size doğrusal cebirde daha önce yapmadığınız bir şeyi göstermeyi umuyorum.

-

ve eğer bu videoları görmemişseniz bunları yapmak çok zor olurdu.

-

Yine daha önce bildiğiniz bir şeyin farklı bir şekilde yapılışıyla başlayacağım.

-

Şimdi, şurada bir vektör tanımlayalım.

Kalın yazmak yerine üstüne bir ok koyacağım.

Kalın da yazabilirim sadece üzerine bir ok da koyabilirim.

-

Şimdi sadece bir vektör tanımlayacağım.

İki boyutlu düzlemde bir vektör olacak.

Diyelim ki benim vektörüm 2'ye 1 vektörü.

Konum vektörü olarak çizecek olursam böyle görünür.

-

Bu şekilde iki birim sağa ve bir birim yukarı gidiyoruz.

Evet buradaki benim v vektörüm.

Peki size çizebileceğim bütün olası vektörleri sorsam?

-

Şimdi bir küme tanımlayalım.

Bir S kümesi tanımlayalım

ve bu küme v vektörünü herhangi sabit bir sayı ile çarptığımız zaman bulduğumuz bütün vektörlere eşit olsun.

Yani, sayısal bir değeri v vektörü ile çarpıyorum.

Ve belki biraz daha resmi olabilmek için,

katsayımız k'nin reel sayılara dahil olduğunu söyleyelim.

-

Şimdi bu kümenin koordinat düzlemindeki gösterimi nasıl oluyor?

Hepsini konum vektörü olarak çizecek olursak,

k herhangi bir reel sayı olabilir.

Yani çarpacak olsam k, iki olabilir.

-

Vektörü ikiyle çarparsam 4'e 2 vektörünü elde ederim.

-

-

Evet, işte bu vektör.

-

İlk vektörümüzle çakışık durumda.

Aynı doğru üzerinde ama iki birim daha ileri gidiyor.

Başka bir tane daha yapabilirim.

V vektörüyle bir buçuğu çarpabilirim

Bunu da başka bir renkle yapalım.

-

Bu da 1.5 çarpı 2'den 3 ve 1.5 çarpı 1'den 1.5 olurdu.

Bu vektör beni nereye götürürdü?

1.5 birim sola ve 3 birim yukarı gidelim.

İşte tam böyle olurdu.

herhangi bir şeyle çarpabilirdim.

v vektörümü 1.4999 ile çarpıp şu noktaya gelebilirdim.

-

v vektörümle 0.0001'i çarpabilirim.

Onu da yazalım.

-

Beni nereye getirirdi?

Beni tam şuradaki küçük vektöre götürürdü.

k'yi eksi 0.01 yapsaydım şu yönü gösteren minicik bir vektör olurdu.

-

Eksi 10 yapsaydım, ta şu tarafa giden bir vektörüm olurdu.

-

Bütün vektörleri konum vektörü olarak gösterdiğimi farz edersek,

yani k sayımın reel sayı olduğu bütün vektörleri çizecek olursam

-

Sonuç olarak bu doğru üzerinde olan bir grup vektör çizmiş olurum.

-

Hatta bazıları negatif oldukları için ters yöne bakar.

Doğru çizecek olursam tam bu çizgi üzerinde olur.

Sanırım siz anafikri anladınız.

Yani bu bir çakışık vektörler kümesi.

Bunu da yazalım.

(Çakışık vektörler kümesi)

Ve bütün bu vektörleri konum vektörü olarak çizersek yani bu kordinatlar iki boyutlu düzlemde bir konum belirtiyorsa

-Bu R2 her yöne bakan kartezyen koordinat düzlemimiz-

-

evet bu vektörleri konum vektörü olarak gösterirsek,

şuraya yazalım (konum vektörü)

R2'de bir koordinat olarak görürsek,

Görsel olarak bir grup vektör olarak gösterir ve buradaki doğruyla ifade etmiş oluruz.

-

-

Ve bu noktayı açığa kavuşturmak istedim çünkü bu doğrumuz eğimi 1/2 olan bir doğru.

-

-

-

-

dikey olarak artışımız 1 ve yatay olarak artışımız 2.

Ama Cebir 1'e çok da dönmek istemiyorum.

-

Ama yine de bu noktaya değinmek istedim.

Eğimi 1/2 olan bu doğru orijinden geçiyor.

Bu da bütün vektörlerimizi konum vektörü olarak çizdiiğimizde ortaya çıkıyor.

-

Eğer bu açıklamayı yapmasaydım bu vektörleri herhangi bir yere çizebilirdim.

-

Doğru mu?

Bu 4'e 2 vektörünü buraya çizmiş olabilirdim.

Sonra bu vektörlerin çakışık olduğunu söylemek görsel olarak size mantıklı gelmezdi.

-

Düşüncem o ki çakışıklık olunca size daha mantıklı geliyor.

"Hadi hepsini konum vektörü olarak çizelim" dediğinizde hepsi orijinden başlıyor.

-

Yani orijinde başlayıp ifade ettikleri koordinata doğru gidiyorlar.

-

Konum vektörü derken bunu kastediyorum.

Konum vektörü olmak zorunda değiller ama bu videonun görselliği adına şimdilik böyle kalsın.

-

Şimdi sadece, bu eğimle orijinden geçen bir doğruyu ifade edebilmiş oldum.

-

Yani bu vektörün doğrunun eğimini gösterdiğini neredeyse anlayabiliyorsunuz.

-

bunu neredeyse bir eğim vektörü olarak görüp Cebir 1'de öğrendiğiniz şeye bağlamak istiyorsunuz.

-

Ya aynı eğime sahip farklı doğrular göstermek istiyorsak?

-

Ya aynı doğruyu veya şu 2,4 noktasından geçen paralel bir doğruyu göstermek istiyorsak?

-

-

Konum vektörü olarak düşünürsek bu nokta x olarak adlandıracağımız vektör tarafından ifade ediliyor.

-

-

x vektörüyle ifade ediliyor

Ve x vektörümüz de 2'ye 4'e eşit.

Tam bu noktaya.

Peki ya bu doğruya paralel olan ve 2,4 noktasından geçen bir doğruyu belirtmek isteseydim?

-

Evet doğruyu burada göstermek istiyorum.

-

Olabildiğince paralel çizmeye çalışacağım.

Siz anafikri anladınız, iki yönde de gitmeye devam ediyor.

-

Bu iki doğru paralel.

Eğer bu vektörleri konum vektörü olarak çizecek olsaydım bu doğruyu nasıl gösterirdim?

-

-

Bunu şu şekilde düşünebilirsiniz:

-

Bu doğru üzerinde olan herhangi bir vektörle başlarsam ve x vektörümü buna eklersem, yukarıdaki paralel doğru üzerinde bu vektöre karşılık gelen yeri bulurum.

-

-

-

-

Diyelim ki orijinal vektörümle -2'yi çarpıyorum.

bu ne yapar?

-4'e -2 yapar ki bu da buradaki bu vektör.

x vektörümü ekleyecek olursam,

-2 çarpı v vektörüm artı x olur.

-

Bu 2,4 vektörümü ekliyorum.

Yani buradan iki sağa dört yukarı gider, buraya varırdım.

-

-

Yani burada bu noktaya karşılık gelen noktaya varırdım.

-

-

Yani S kümemi, v vektörümü k ile çarpıp bulduğum vektörler kümesi olarak tanımladığımda orijinden geçen bu doğruyu elde ettim.

-

-

Şimdi başka bir küme tanımlayalım.

Bu kümemiz de D kümesi olsun -d'yi "doğru"nun baş harfi olarak alalım-

x artı sayısal bir değer -c kullanabilirim ama daha sonra buna doğrunun parametrizasyonu diyebilmek için t kullanacağım-

-

-

-

Yani artı t çarpı v vektörüm.

Burdaki t reel sayılar kümesine dahil.

Peki bu ne olacak?

Bu, şuradaki o mavi doğru olacak.

Eğer bütün bu vektörleri konum vektörü olarak çizersem bu mavi doğruyu elde ederim.

-

Örneğin -2 çarpı v vektörü yaparsam bu noktaya ulaşırım.

-

ve buna x eklersem buraya giderim.

Yani bu vektörün ucu, tam bu doğrunun üstüne denk geliyor.

-

Bunu herhangi bir şeyle yapabilirim.

eğer bu vektörü alırsam -bu, sayısal bir değerin v vektörüm ile çarpımı-

ve buna x eklersem, ucu xy düzlemi üzerinde bir nokta olan bir vektör elde ederim.

-

-

--

-

Yani bu vektörlerin herhangi birine ulaşabilirim.

Bu vektör kümesini konum vektörleri olarak çizdiğimizde bu mavi doğrunun üstündeki bir noktaya denk gelecekler.

-

-

-

-

Diyebilirsiniz ki "Mercan, bu bir doğruyu tanımlamanın çok saçma bir yolu.

-

"Bunu Cebir 1'de y eşittir mx artı b olarak yapmıştık zaten.

-

"Ve eğimi iki nokta arasındaki farkı kullanarak bulabiliyorduk."

-

Ve bu sizin yedi sekizinci sınıfta öğrendiğiniz bir şeydi.

Oldukça da direktti.

Neden vektör kümeleri ve vektörleri toplama yönünden saçma bir tanımlama yapıyorum burada sizce?

-

Nedeni şu, bu çok genel.

(Genel)

Bu formül iki boyutlu düzlemde işe yaramıştı.

Hatta R2 için mükemmeldi.

Yani sadece x ve y ile uğraşmamız gerekiyordu.

Peki üç boyutlu olarak düşünürsek?

Öğretmeniniz -en azından benim öğretmenim- cebir derslerinde hiçbir zaman üç boyutlu düzlemde doğruları ifade etmeyi göstermedi.

-

-

Belki bazı öğretmenler o konuya da giriyor olabilir ama kesinlikle size dört ya da yüz boyutlu bir düzlemde bir doğru ifade etmeyi öğretmiyorlar.

-

-

Bunun bizim için yapacağı tam da bu.

Burada x ve v'yi R2 düzlemindeki vektörler olarak tanımladık.

Bunlar iki boyutlu vektörler.

Ama biz bunu istediğimiz sayıda boyuta çıkarabiliriz.

Şimdi biraz daha pekiştirmek için iki boyutlu düzlemde doğrunun denklemini bulmanız gereken klasik bir cebir sorusu çözelim.

--

-

Ama biz bunu doğrunun küme tanımı olarak adlandıracağız.

-

Diyelim ki iki vektörümüz var.

Diyelim ki 2'ye 1 olan bir a vektörümüz var.

-

Bunu konum vektörü olarak çiziyoruz.

Evet bu benim a vektörüm.

Bir de 0'a 3 olan bir b vektörü tanımlayalım.

-

-

Yani be vektörüm için sıfır olduğundan yatay hareket etmiyorum ve yukarı üç birim çıkıyorum.

-

Evet b vektörüm de böylr götünüyor.

evet bunlar konum vektörleri.

-

Böyle çizdiğimiz zaman uçları bir konum ifade ediyor.

-

Bunları R2 düzlemindeki koordinatlar olarak bile düşünebilirsiniz.

Evet bu iki boyutlu bir düzlem.

-

Şimdi sizden bu iki noktadan geçen doğrunun parametrizasyonunu istesem...

-

Yani Cebir 1 olarak düşünürseniz bu iki noktadan geçen doğrunun denklemini istiyorum.

-

-

-

Klasik yoldan düşünürsek eğimi falan hesaplar denkleme yerleştirirdim.

-

-

Ama onun yerine diyebiliriz ki "Aaa bak bu doğru bu iki noktadan geçiyor yani neredeyse diyebilirsiniz ki bu vektörler bu doğrunun üzerine geliyor"

-

-

-

-

Şimdi, hangi vektör bu doğru ile gösterilebilir?

Hatta hangi vektör -istediğim bir sayısal değer alırsam- bu doğru üzerindeki herhangi başka bir vektörü ifade edebilir?

-

Şimdi şöyle yapalım,

b vektörümden a vektörümü çıkarsaydım ne olurdu?

-

Sanırım bir önceki videoda öğrenmiştik, b eksi a bize buradaki vektörü verir.

-

Yani iki vektör arasındaki farkı alıyoruz

-

Ve sadece düşünmeniz gerekiyor.

"b'yi elde edebilmek için a'ya ne eklemeliyim?

"b eksi a eklemeliyim."

yani b-a'yı alırım -bunu yapmayı biliyoruz-

-

bu vektörleri birbirinden çıkarıp istediğimiz bir sayısal değerle çarptığımızda doğru üzerindeki herhangi bir noktaya ulaşabiliriz.

-

Dikkatli olmamız gerekiyor.

Peki bir t sayısal değeri alıp onu b eksi a ile çarparsak ne olur?

-

-

Ne elde ederiz?

b eksi a böyle görünüyor.

Eğer bunu konum vektörü olarak çizecek olursak b-a böyle görünür.

-

-

Değil mi?

sıfırda başlar ve buna paralel olur.

Sıfırdan uç noktasına kadar çizeriz.

Yani herhangi bir sayısal değeri b-a ile çarparsak bu doğru üzerinde olan noktaları veya vektörleri buluruz.

-

-

-

Bu bizim yapmak istediğimiz şey değildi.

Biz bu doğrunun -veya kümenin- bir denklemini veya parametrizastonunu bulmaya çalışıyorduk.

-

Bu kümeye L kümesi diyelim.

biz bu kümenin neye eşit olduğunu bilmek istiyoruz.

Oraya ulaşmak için bu doğruyu biraz yukarı kaydırmamız gerekecek.

-

Bunu doğrudan yukarı hareket ettirerek veya b vektörünü ekleyerek yapabiliriz.

-

Yani b vektörünü bu doğruya ekleyebiliriz.

-

Yani buradaki her noktanın, o doğruda kendisinin karşılığı olan bir noktası olur.

-

Yani b vektörünü eklediğinizde doğruyu direkt olarak yukarı hareket ettirmiş oluyorsunuz.

Evet bu işe yarar.

yani b vektörünü ekleyebileceğimizi söyleyebiliriz.

Ve şimdi bütün bu noktalar reel sayılar kümesine dahil olan t sayısal değeri ile çarpıldığında, bu yeşil doğru üzerine denk gelecek.

-

Bir diğer seçenek olarak ise a vektörünü ekleyebiliriz.

-

a vektörü istediğimiz bir noktayı alıp bu tarafa doğru kaydırırdı.

-

Değil mi?

-

Her şekilde istediğimiz o yeşil doğruya ulaşabiliriz.

Yani doğruyu aynı zamanda vektör a artı -t'nin reel sayı olduğu durumlarda- t çarpı b-a vektörü olarak da tanımlayabiliriz.

-

-

Benim doğrumun tanımı bu ikisinden biri olabilir.

-

Bu küme de diğer küme de benim doğrumu ifade edebilir.

-

Bütün bunlar şu an çok soyut geliyor ama sayılara geçtiğimiz zaman işler oldukça basitleşiyor.

-

-

Cebir 1'den tartışılabilir derecede daha basit hale geliyor.

-

Hadi bulalım.

Benim doğrum, -ilk örneği kullanayım- b vektörü -yani 0,3 vektörü- artı t çarpı b-a vektörü.

-

-

Peki b eksi a ne?

0-2, eksi iki; 3-1, iki. Ve bu t reel sayı olduğunda geçerli.

-

Şimdi bu size karmaşık bir tanım gibi geliyor olabilir ama bunu sizin daha rahat ayırt edebileceğiniz bir şekilde yazabiliriz.

-

-

Koordinat olarak işaretlemek istiyorsak buna y-ekseni, ve buna da x-ekseni deriz.

-

Ve buna da x koordinatı --ya da daha buna x koordinatı (x koordinatı), buna da y koordinatı (y koordinatı) demek daha uygun olur.

Böylece burada bir denklem kurabiliriz.

-

Bu aslında x eğimi (x-eğimi)

-

Bu x koordinatı, bu da y koordinatı.

-

Tamam burada çok dikkatli olalım.

Bu her zaman L1 ve L2 şeklini alacak.

Değil mi?

Bu vektör kümesi ve herhangi bir vektör kümesi böyle bir hal alacak.

-

Bu L-i olabilir.

Bu x koordinatı, bu da y koordinatı.

-

Ve bunu sizin anlayabileceğiniz forma sokmak için L= x vektörü + t* b-a vektörü diyeceğiz.

-

-

Bunu parametrik bir şekilde yazmak istersek:

Bu bizim x koordinatımızı belirler, yani x eşittir sıfır artı t çarpı eksi iki veya eksi iki t diyebiliriz.

-

-

Sonra da bu y bizim y koordinatımızı belirler, yani y eşittir üç artı t çarpı iki veya iki t diyebiliriz.

-

Yani ilk denklemi x= -2t olarak ve ikinci denklemi y=2t+3 olarak tekrardan yazabiliriz.

-

Eğer parametrik denklemler hakkındaki videoyu izlediyseniz bunun bir doğrunun parametrik tanımı olduğunu görebilirsiniz.

-

-

Hala "Mercan, bu tam bir zaman kaybıydı, çok karışık" diye düşünüyor olabilirsiniz.

-

"Bütün bu kümeleri tanımlamakla uğraşman gerekiyor" diyebilirsiniz.

Ama şimdi size muhtemelen klasik cebir derslerinde görmediğiniz bir şey göstereceğim.

-

-

-

-

Artık üçüncü bir boyutla uğraşıyoruz.

-

Diyelim ki bir vektörüm var.

Buna P1 diyelim çünkü bunlar konum vektörleri.

-

-

Evet bu üç boyutlu.

Birkaç sayı uyduralım, bunlar -1, 2 ve 7 olsun.

Diyelim ki bir de P2 vektörüm var.

Yine üç boyutlu, bu yüzden yine üç koordinat belirtmemiz gerekiyor.

-

Bunlar x, y ve x koordinatları olabilir.

İkinci vektörümüzü de 0, 3 ve 4 yapalım.

-

Şimdi, eğer üç R3 üzerinde bu iki noktadan geçen doğrunun denklemini bulmak istesem?

-

Evet bu R3, üç boyutlu. (R^3'te)

-

Bu doğruya L diyelim.

bu doğrunun denklemini bulalım.

-

Bu iki vektörden birini seçelim, bu P1 vektörü olabilir.

-

Bunların hepsi vektör buraya dikkat edelim.

P1 vektörü artı herhangi bir sayısal değer -bizimkisi t olsun- çarpı iki vektörün farkı.

-

-

Hangi sırada aldığınız önemli değil.

Bu da iyi bir şey.

P1 eksi P2.

P2 eksi P1 de olabilirdi, çünkü pozitif değer de negatif değer de alabilir.

ve t reel sayılar kümesine dahil.

-

Tamam şimdi bunu sayılarımızla uygulamaya geçirelim.

-

P1 eksi P2 ne?

Şurada boş bir alan açayım.

P1 - P2 = -1-0, o da eşittir -1.

2-3= -1.

7-4= 3

Evet bu bizim vektörümüz.

Yani doğrumuz bir vektör kümesi olarak tanımlanabilir.

Bunları konum vektörleri olarak yerleştirirsek de konum vektörleri kümesi olur.

-

Yeşille yapayım, P1: -1, 2, 7 olurdu.

-

Bunu P2'yle de yapabilirdim.

Artı t çarpı -1,-1,3.

Ve t yine reel sayılar kümesine dahil.

Bu yine sizin için tatmin edici olmayabilir.

"Bunu nasıl üç boyutlu olarak gösterebilirim?"

"x, y ve z'lerim nerede?" diyebilirsiniz.

Gerçekten x, y ve z eksenleriyle uğraşmak istiyorsanız, diyelim ki bu z ekseni, bu x ekseni, bu da y ekseni.

-

-

Y eksenimiz düzlemin ortasından geçiyor.

Bunu da böyle çizelim.

-

Muhtemelen size nasıl işaretlediğimizi göstermeyeceğim.

x-koordinatımızı belirlemek için gerekli olan terimimiz bu olacak.

-

Bunu da yazalım,

-

x eşittir -renklere dikkat edeyim- eksi bir artı eksi bir çarpı t.

-

-

Bu bizim x koordinatımız.

Y kordinatımızı ise bu kısım belirleyecek.

-

Yani y eşittir iki artı -1 çarpı t diyebiliriz.

-

Ve son olarak z koordinatımızı da bu kısım belirleyecek.

t burada da olacak çünkü t'yi hepsine dahil ediyoruz.

-

z eşittir 7 artı t çarpı 3 -veya artı 3 t diyebilirim.-

-

Ve böylece üç tane parametrik denklemim oldu.

R2de uğraşırken kolaylıkla Cebir 1'de öğrendiklerimizi kullanıp x ve y cinsinden denklem yazabiliriz.

-

-

Parametrik denklem yazmak zorunda değilsiniz.

Ama R3 ile uğraşırken bir doğruyu tanımlamanın tek yolu parametrik denklem kullanmak.

-

sadece x, y ve z'li bir denkleminiz varsa, yani x+y+z bir sayıya eşitse bu bir doğru değildir.

(Doğru değil)

-

R3 hakkında daha konuşacağız.

Bu bir düzlem (Bir düzlem)

-

Bir doğruyu veya bir eğriyi, *mesela bir uçuşun rotasını tarif edeceksem- üç boyutlu bir düzlemde ifade etmek istiyorsam parametrik denklem olarak yazmak zorundayım.

-

-

Veya bir kurşun ateş edersem ve dümdüz giderse, bunu parametrik bir denklemle ifade etmeliyim.

-

Sonuç olarak, sanırım bunlara üç boyutlu doğruların gösterimi diyebiliriz.

-

Umarım bunu ilginç bulmuşunuzdur.

Ve sanırım bu, doğrusal cebirin problem çözebileceğini veya daha önce görmediğiniz meselelere hitabedebileceğini anladığınız ilk video.

-

-

Burada üç boyutla kısıtlanmanıza gerek yok.

-

Bunu elli boyutlu da yapabilirdik.

Elli boyutlu bir doğru da tanımlayabilirdik.

iki nokta üzerinden geçen elli boyutlu bir doğruyu da tanımlamış olabilirdik.

Görselleştirmesi çok zor ama matematiksel olarak baş edebilirdik.

-

-