-
지금까지 선형대수학에서 했던 것들이
-
지금까지 선형대수학에서 했던 것들이
-
당연히 할 줄 아는 것들을
-
괜히 더 힘들게 배웠다고
생각할 수도 있습니다
-
벡터에 대해선 이미 알고 있으니까요
-
미적분을 공부하면서
또는 물리를 공부하면서
-
벡터에 대해서는 이미
-
충분히 배웠으니까요
-
그래서 이번 시간에는
본 적이 없을 만한 내용으로
-
선형대수학 수업을
준비했어요
-
이 영상을 보기 전까지는
-
이해하기 힘들 만한 내용입니다
-
시작은 마찬가지로
이미 여러분이 할 줄 아는 것을
-
다른 방식으로 보여줄 것입니다
-
우선 벡터 몇 개를 정의하겠습니다
-
굵은 글씨 대신에
위에 화살표로 표시를 할게요
-
벡터를 정의합니다
-
위에 화살표로 표시할 수도 있고
진한 글씨로 표현할 수도 있어요
-
벡터를 정의하겠습니다
-
R²상의 벡터입니다
-
벡터 [2 1]가 있습니다
-
원점을 기준으로 그리면
-
이렇게 되겠죠
-
위로 두 칸, 오른쪽으로 한 칸
-
이것이 바로 벡터 v 입니다
-
이제, 여러분이 묻겠죠
-
만들 수 있는 모든 벡터는 무엇이죠?
-
집합을 정의합니다
-
만들 수 있는 모든 벡터가
-
집합 S에 있다고 정의합니다
-
v와 어떤 상수를 곱합니다
-
v와 어떤 스칼라 c를 곱합니다
-
살짝 형식적이지만
c를 실수의 원소라고 하겠습니다
-
살짝 형식적이지만
c를 실수의 원소라고 하겠습니다
-
이제 이 집합을 그래프로 나타내면
어떻게 되나요?
-
원점을 기준으로 그리겠습니다
-
c는 임의의 실수죠
-
만약 c를 2라고 한다면
-
이렇게 해보겠습니다
-
이 벡터에 2를 곱하면
-
벡터는 [4 2]가 됩니다
-
원점을 기준으로 [4 2]를 그려보죠
-
이렇게 됩니다
-
바로 이 벡터입니다
-
처음 벡터와 동일선상에 있어요
-
같은 직선에 있지만
2배 만큼 더 깁니다
-
다른 벡터도 해볼까요
-
v에 1.5배를 합니다
-
다른 색으로 하죠
-
계산하면 어떻게 되죠?
-
1.5 × 2= 3이므로
[3 1.5] 입니다
-
어디에 있을까요?
-
(3, 1.5)에 있겠죠
-
여기 있습니다
-
어떤 수로도 곱할 수 있어요
-
v에 1.4999를 곱하면
-
여기에 있겠죠
-
-0.001을 곱할 수도 있습니다
-
한번 적어볼게요
-
0.001과 v를 곱합니다
-
어디 있을까요?
-
여기 아주 조그맣게 있겠죠
-
-0.01을 곱하면
엄청나게 작은 벡터가 만들어지고
-
그 방향은 반대가 되겠죠
-
-10을 곱하면
-
이와 같은 방향의 벡터가
만들어지겠죠
-
하지만 원점을 기준으로 하는 벡터는
-
실수 c를 이용하여 나타낼 수
있다는 것을 알 수 있습니다
-
실수 c를 이용하여 나타낼 수
있다는 것을 알 수 있습니다
-
이 직선상에 있는 모든 벡터를
-
그리는 작업을 끝내겠습니다
-
확실하게 그리겠습니다
-
방향이 반대인 벡터들 또한
이렇게 같은 직선상에 존재합니다
-
감이 오지 않나요
-
따라서 이것은 동일선상에
존재하는 벡터의 집합입니다
-
적어볼게요
-
동일선상에 존재하는
벡터의 집합입니다
-
이 벡터들을 위치벡터로 생각하면
-
이 벡터를 R²의
점으로 나타냅니다
-
R²는 모든 방향에 대해서
데카르트 좌표평면이죠
-
이 벡터를 위치벡터로 본다면
-
쓰면서 해볼게요
-
이 벡터를 R²의 좌표로 본다면
-
이 집합을 수많은
위치벡터로 표현한다면
-
여기 이 직선에 모두 표현될 것입니다
-
여기 이 직선에 모두 표현될 것입니다
-
확실하게 해두죠
-
기울기는 2입니다
-
그렇죠?
-
아, 아니에요
1/2이죠
-
2만큼 가면 1만큼 올라가죠
-
2만큼 가면 1만큼 올라가죠
-
그런데 대수적인 표기법을
-
너무 많이 쓴것 같아요
-
하지만 원점을 중심으로 하여
-
집합의 모든 벡터를
위치벡터로 그린다면
-
원점을 지나면서
기울기가 1/2인 직선이 됩니다
-
원점을 지나면서
기울기가 1/2인 직선이 됩니다
-
만약 이런 설명, 혹은 조건이 없었다면
-
이 벡터를 아무데나 그렸을 것입니다
-
그렇죠?
-
벡터 [4 2]는 여기에 그렸을 것입니다
-
이것이 동일직선상이라는 것은
-
시각적으로는 와닿지 않을 것입니다
-
하지만 이 동일선상에 있다는 것은
의미가 있습니다
-
원점을 기준으로 그려볼게요
-
모든 벡터는 원점에서 시작합니다
-
그들의 꼬리는 원점이고
-
머리는 좌표평면에
나타낼 수 있을 만큼 갑니다
-
이것이 위치벡터입니다
-
그들은 위치벡터일 필요는 없지만
-
시각화를 위해
이렇게 하도록 하죠
-
기울기를 따라 원점을 지나는 것만
-
표현할 수 있었습니다
-
따라서 직선상의 벡터라고 볼 수 있어요
-
따라서 직선상의 벡터라고 볼 수 있어요
-
대수학에서 배운 내용에 의하면
-
기울기 벡터라고 볼 수 있습니다
-
만약 이 기울기를 가진 다른 직선을
표현하고 싶다면 어떻게 해야 하나요?
-
만약 이 기울기를 가진 다른 직선을
표현하고 싶다면 어떻게 해야 하나요?
-
같은 직선을 나타내거나
-
(2, 4)를 지나는 평행한 직선
나타내면 어떨까요?
-
(2, 4)를 지나는 평행한 직선을
나타내면 어떨까요?
-
아니면, 위치벡터를 생각해 보면
-
이 점은 벡터로 표현할 수 있습니다
-
이를 x라고 하죠
-
이것을 벡터 x라고 할게요
-
벡터 x는 [2 4] 입니다
-
여기 있네요
-
이 직선에 평행하면서
-
(2, 4)를 지나는 직선은 무엇일까요?
-
이 직선을 여기에 나타내고자 합니다
-
이 직선을 여기에 나타내고자 합니다
-
최대한 평행하게 그릴게요
-
감이 좀 오지 않나요
-
모든 방향으로 가도록 합니다
-
이 두 직선은 평행합니다
-
원점을 기준으로 그린
이 모든 벡터의 집합을
-
어떻게 나타낼까요?
-
혹은 모든 벡터를 원점에서 그렸다면
이 직선에 나타날까요?
-
이렇게 생각해보죠
-
이 직선에 나타난
각각의 벡터에 대해서
-
직선상에 있는 임의의 벡터에
-
벡터 x를 더한다면
-
이 직선의 대응하는 점에
나타날 것입니다
-
맞죠?
-
이렇게 시작해 봅시다
-
기존의 벡터 v에 -2를 곱합니다
-
그럼 어떻게 되죠?
-
[-4 -2]이므로
저 벡터가 되겠네요
-
여기에 벡터 x를 더한다면
어떻게 될까요
-
-2v + x를 계산합니다
-
-2v + x를 계산합니다
-
이 벡터에 (2, 4)를 더하면 되므로
-
오른쪽으로 2만큼
위로 4만큼 이동합니다
-
혹은 시각적으로
머리에서 꼬리까지
-
여기 있다고 할 수도 있어요
-
따라서 저기 대응하는 점에
위치하게 됩니다
-
따라서 저기 대응하는 점에
위치하게 됩니다
-
따라서 저기 대응하는 점에
위치하게 됩니다
-
그러므로, 집합 S를
-
v와 스칼라를 곱한
모든 점의 집합으로 정의할 때
-
원점을 지나는 이 직선을 얻게 됩니다
-
하지만 또 다른 집합을 정의해보죠
-
집합 L을 정의하겠습니다
-
벡터 x가 있습니다
-
이를 굵은 글씨로 하거나
화살표로 표시합니다
-
여기에 어떤 스칼라가 있습니다
c라고 할 수 있지만 t라고 하죠
-
왜냐하면 이것을 직선의 매개변수라고
부를 것이기 때문이에요
-
따라서 임의의 실수 t에 대해서
-
v와의 곱을 x에 더합니다
-
그럼 어떻게 될까요?
-
이 파란색 직선이 될 것입니다
-
이 벡터들을
원점을 기준으로 그린다면
-
파란색 직선이 나옵니다
-
예를 들어, -2v는 여기 있습니다
-
예를 들어, -2v는 여기 있습니다
-
여기에 x를 더하면 이렇게 됩니다
-
따라서 이 벡터는 종점이 존재합니다
-
이 직선상에 있겠네요
-
이것을 가지고 무엇이든
할 수 있습니다
-
임의의 스칼라와 v의 곱인 이 벡터에
-
x를 더하면 이 벡터가 됩니다
-
위치벡터의 관점에서 이 벡터의 종점은
-
xy평면의 어떤 좌표입니다
-
xy평면의 어떤 좌표입니다
-
xy평면의 어떤 좌표입니다
-
따라서 이 벡터들 중 어떤 것이든
얻을 수 있습니다
-
이것은 벡터의 집합이고
-
이 벡터 모두는 점이 됩니다
-
원점을 기준으로 그릴 때
-
점은 파란색 직선을 향하게 됩니다
-
점은 파란색 직선을 향하게 됩니다
-
여러분은 이렇게 말할 것 같아요
-
이건 직선을 정의하는데
상당히 어리석은 방법이네요
-
대수학에서 배웠던
-
y = mx + b가 뭔지 알죠
-
기울기를 구하기 위해
-
두 점 사이의 차를 구하고
치환을 이용합니다
-
이건 중학교 1학년
혹은 2학년 수준이죠
-
아주 간단합니다
-
왜 여기서 이상한 집합을 정의하고
-
집합과 벡터에 대해서 생각하게 만들며
벡터를 더하는 걸까요?
-
그 이유는 이건 너무
일반적이기 때문입니다
-
그 이유는 이건 너무
일반적이기 때문입니다
-
이것은 R²에서 성립합니다
-
이것은 R²에서 성립합니다
-
이 말은 그저 x와 y에 대해서
신경써야 한다는 것입니다
-
하지만 이 상황에 대해서
-
대수학 시간에 여러분의 선생님은
-
3차원에서 어떻게 직선을
표현하는지에 대해
-
많은 이야기를 하지
않았을 것입니다
-
어떤 선생님은
가르쳐 주셨을지도 모르지만
-
4차원, 혹은 5차원에서
-
어떻게 직선을 나타내는지는
명확하게 알려주지 않았을 것입니다
-
이것이 바로 우리가
해야 하는 것입니다
-
여기서 R²의 벡터 v와 x를
정의하였습니다
-
2차원에서 정의된 벡터지만
-
임의의 차원으로 확장할 수 있습니다
-
요점을 정확히 파악하기 위해
-
R²에서 예시를 하나 더 들어봅시다
-
이건 직선의 방정식을 구하는
보편적인 대수학 문제죠
-
하지만 여기서는 이것을
-
직선에 대한 집합의 정의로 부를 것입니다
-
두 벡터가 있다고 합시다
-
벡터 a는 [2 1] 입니다
-
벡터 a는 [2 1] 입니다
-
원점에서 그리면 (2, 1)이 되죠
-
이것이 벡터 a 입니다
-
그리고 벡터 b가 있습니다
-
벡터 b는 [0 3] 이라고 하죠
-
벡터 b는 [0 3] 이라고 하죠
-
벡터 b는 오른쪽으로는
아예 움직이지 않고
-
위로만 올라갑니다
-
따라서 벡터 b는
이렇게 생겼습니다
-
이 벡터들을 원점을 기준으로 하는
-
위치벡터라고 하겠습니다
-
원점을 기준으로 그릴 때
-
그들의 종점은 특정 위치에 있겠죠
-
따라서 이 벡터들을 R²의 좌표상에 있는
점이라고 볼 수 있습니다
-
이것은 R² 입니다
-
제가 그리는 모든 좌표축은
R²에 있습니다
-
이 두 점을 지나는 직선에 대한
-
매개변수가 필요합니다
-
즉, 방정식이 필요해요
-
대수학의 관점에서
-
두 점을 지나는
직선의 방정식이 필요한 것이죠
-
두 점을 지나는
직선의 방정식이 필요한 것이죠
-
전형적인 방법은
기울기를 구하고
-
다시 대입하는 것입니다
-
다시 대입하는 것입니다
-
하지만 그 대신 이렇게 해봅시다
-
이 직선은 두 점을 지납니다
-
즉, 이 두 벡터는
-
즉, 이 두 벡터는
-
이 직선 위에 있습니다
-
이 직선을 나타내는
벡터는 무엇일까요?
-
더 나아가서, 어떤 벡터가
임의의 스칼라를 이용하여
-
직선에 있는 다른 벡터를
표현할 수 있나요?
-
이렇게 해볼게요
-
이것을 벡터 b라고 한다면
-
벡터 b-a는 무엇인가요?
-
이전 강의에서 배웠죠
-
벡터 b-a는 이 벡터입니다
-
이 두 벡터의 차입니다
-
벡터 b에서 벡터 a를 뺍니다
-
생각해 보세요
-
a에서 무엇을 더해야 b가 나오죠?
-
b-a를 더해야겠죠
-
b-a를 구했으니
이제 어떻게 할지 알죠
-
b-a를 구했으니
이제 어떻게 할지 알죠
-
벡터를 빼고, 임의의 스칼라를 곱하면
-
직선상의 임의의 점이 나옵니다
-
실수하지 않도록 합니다
-
스칼라 t와 벡터 b-a를 곱하면
어떻게 되나요?
-
스칼라 t와 벡터 b-a를 곱하면
어떻게 되나요?
-
스칼라 t와 벡터 b-a를 곱하면
어떻게 되나요?
-
무엇을 얻죠?
-
b-a는 이렇습니다
-
b-a를 원점을 기준으로
그리면 이렇게 됩니다
-
b-a를 원점을 기준으로
그리면 이렇게 됩니다
-
b-a를 원점을 기준으로
그리면 이렇게 됩니다
-
0에서 시작하여 이것과 평행하게
-
0에서 시작하여 이것과 평행하게
-
종점까지 그립니다
-
따라서 어떤 스칼라와 b-a를 곱하면
-
이 직선 위에 있는
-
점 또는 벡터가 나옵니다
-
벡터는 이 직선상에 있습니다
-
자, 이것은 우리가
원하는 것이 아닙니다
-
이 직선 혹은 이 집합에 대한
-
방정식 또는 매개변수를
풀어야 합니다
-
이 집합을 L이라고 합시다
-
이 집합이 무엇인지
풀고자 합니다
-
이 집합을 구하기 위해서
-
이 직선을 뜻하는 이 식으로 시작합니다
-
이 직선을 위로
평행이동시키겠습니다
-
벡터 b를 더합니다
-
이 직선에 대하여
벡터 b를 더합니다
-
이 직선에 대하여
벡터 b를 더합니다
-
여기 어떤 점이든
-
저쪽에 대응하는 점이 있습니다
-
따라서 벡터 b를 더하면
위로 평행이동됩니다
-
따라서 벡터 b를 더하면
위로 평행이동됩니다
-
따라서 벡터 b를 더하면
위로 평행이동됩니다
-
임의의 실수 t에 대해서
-
이 모든 점들은
녹색 직선상에 있을 것입니다
-
다른 방식으로
벡터 a를 더할 수도 있습니다
-
다른 방식으로
벡터 a를 더할 수도 있습니다
-
벡터 a는
이 직선의 임의의 점을
-
평행이동시킵니다
-
벡터 a를 더합니다
-
벡터 a를 더합니다
-
하지만 어느 쪽이든
녹색 직선으로 향하기 때문에
-
집합을 이런 식으로도
정의할 수 있습니다
-
임의의 실수 t에 대해서
a + t(b-a) 입니다
-
임의의 실수 t에 대해서
a + t(b-a) 입니다
-
따라서 직선의 정의는
-
이 두개가 될 수 있습니다
-
직선의 정의는
이 집합 혹은
-
이 집합이 될 수 있어요
-
좀 추상적으로 보이겠지만
-
실제 수를 대입하면
-
아주 간단해집니다
-
단언하건데, 대수학에서 했던 것보다
훨씬 쉬워집니다
-
a와 b에 대한 집합 L을 구해봅시다
-
a와 b에 대한 집합 L을 구해봅시다
-
이 직선을
첫 번째 예시를 통해 구해봅시다
-
벡터 b, 즉 [0 3]과
-
t(b-a)를 더합니다
-
b-a는 뭐죠?
-
0 - 2 = -2, 3 - 1 = 2
즉, [-2 2] 입니다
-
t는 임의의 실수고요
-
여러분에게 이 집합은 복잡해 보이므로
-
더 쉽게 표현하겠습니다
-
더 쉽게 표현하겠습니다
-
점을 나타내겠습니다
-
이 축을 y축, 이 축을 x축이라 하고
-
이 값을 x좌표, 이 값도 x좌표
-
그리고 이 값은 y좌표라고 하겠습니다
-
그러면 방정식을 세울 수 있겠죠
-
이것은 사실상 기울기입니다
-
이것은 사실상 기울기입니다
-
이것은 x좌표, 이것은 y좌표죠
-
실수하지 않도록 주의합니다
-
실수하지 않도록 주의합니다
-
이 결과값은
벡터 [L1 L2] 입니다
-
맞죠?
-
이것은 벡터의 집합이고
이 집합의 임의의 원소는
-
이렇게 생겼을 것입니다
-
따라서 이것은 Li입니다
-
이것은 x좌표, 이것은 y좌표입니다
-
이것은 x좌표, 이것은 y좌표입니다
-
이 집합의 형식을 이해하기 위해서
-
이것을 벡터 x + t(b-a) 의
집합이라고 하겠습니다
-
이것을 벡터 x + t(b-a) 의
집합이라고 하겠습니다
-
매개변수 형식으로 나타내겠습니다
-
여기서 x좌표가 결정되므로
-
x = 0 - 2t 입니다
-
x = 0 - 2t 입니다
-
또한 여기서 y좌표가 결정되므로
-
y = 3 + 2t 입니다
-
정리하자면
x = -2t, y = 2t + 3 입니다
-
정리하자면
x = -2t, y = 2t + 3 입니다
-
매개변수 방정식에 대해
배운 적이 있다면
-
이것은 이 직선에 대한
-
전통적인 매개변수 정의임을
알 수 있습니다
-
여전히 이렇게 생각할 수도 있겠죠
-
이건 너무 복잡하고 시간낭비같아요
-
이 집합 모두를 정의해야합니다
-
여러분이 과거에 한 적이 없는 것을
보여드리죠
-
여러분이 과거에 한 적이 없는 것을
보여드리죠
-
여러분이 과거에 한 적이
없는 것을 보여드리죠
-
기존의 대수학 수업에선
-
아마 보지 못했을 것입니다
-
3차원 공간에
두 점이 있다고 합시다
-
3차원 공간에
두 점이 있다고 합시다
-
벡터 하나가 있습니다
-
P₁이라고 하죠
-
위치벡터니까요
-
P₁으로 부르겠습니다
-
이건 3차원입니다
-
임의로 만들어 볼까요
[-1 2 7] 입니다
-
그리고 P₂가 있습니다
-
이 점 또한 3차원이므로
-
세 개의 좌표가 필요합니다
-
x, y, z 좌표가 필요하겠죠
-
P₂ = [0 3 4] 라고 합시다
-
P₂ = [0 3 4] 라고 합시다
-
R³에서 이 두 점을 지나는
-
직선의 방정식은 무엇일까요?
-
이 둘은 R³에 속합니다
-
이 둘은 R³에 속합니다
-
직선의 방정식에 대해서
-
직선에 대한 집합을
-
L이라고 하죠
-
여기서 골라볼까요
-
벡터 P₁을 택하겠습니다
-
여기 벡터의 화살표를
꼭 표시하세요
-
P₁이 있고 임의의 t가 있습니다
-
매개변수 방정식을 처음 배울때처럼
t는 시간일 것입니다
-
t(P₁ - P₂)를 더합니다
-
여기서 P₁과 P₂의 순서는 상관없습니다
-
좋은 소식이죠
-
P₁ - P₂ 로 하죠
-
P₂ - P₁ 이 될 수도 있어요
-
t는 양수도, 음수도
될 수 있으니까요
-
여기서 t는 실수입니다
-
실제 수를 대입해 봅시다
-
실제 수를 대입해 봅시다
-
P₁ - P₂ 는 뭐죠?
-
P₁ - P₂ 는
공간을 좀 확보할게요
-
-1 - 0 = -1
-
2 - 3 = -1
-
7 - 4 = 3
-
이렇게 되겠죠
-
그러면, 직선을 벡터의 집합으로
표현할 수 있습니다
-
원점을 기준으로 나타낸다면
-
이러한 위치벡터의 집합이 됩니다
-
녹색으로 할게요
-
P₁이죠
[-1 2 7]
-
P₂를 넣어도 됩니다
-
+ t [-1 -1 3]
-
여기서 t는 실수입니다
-
이 또한 여러분을
만족시키지 못할겁니다
-
어떻게 3차원에 표현하죠?
-
x, y, z는 어딨죠?
-
x, y, z가 궁금하다면
-
여기 아래에서
이것을 z축이라고 하죠
-
이것은 x축이라 하고
y축을 그려봅시다
-
칠판을 통과하는 듯한 이 축이
y축입니다
-
칠판을 통과하는 듯한 이 축이
y축입니다
-
칠판을 통과하는 듯한 이 축이
y축입니다
-
사실 그래프에 표현하진 않을 것입니다
-
따라서 x좌표는
기존의 방식대로 구하면
-
이 항이 되겠죠
-
이 x좌표를 적어볼게요
-
따라서 이 항은 x좌표를 결정합니다
-
그러므로 x = -1 + t(-1) 입니다
-
그러므로 x = -1 + (-1)t 입니다
-
그러므로 x = -1 + (-1)t 입니다
-
이것이 바로 x좌표입니다
-
y좌표는 이 부분의 합으로
결정됩니다
-
y좌표는 이 부분의 합으로
결정됩니다
-
따라서 y좌표는 다음과 같습니다
-
y = 2 + (-1)t
-
마지막으로
z좌표는 여기서 결정됩니다
-
여기 이 t는 임의의 값입니다
-
여기 이 t는 임의의 값입니다
-
따라서 z = 7 + 3t 입니다
-
따라서 z = 7 + 3t 입니다
-
이와 같이 세 개의
매개변수 방정식이 있습니다
-
R²에서 했다면
매개변수 방정식은
-
대수학에서 배운 것처럼
-
x에 대한 y가 존재하겠죠
-
매개변수 방정식이
굳이 필요가 없어요
-
하지만 R³에서
-
직선을 정의하는 유일한 방법은
매개변수 방정식입니다
-
만약 x, y, z에 대한 방정식이 있다면
-
x + y + z = k 는
-
직선이 아닙니다
-
이에 대해 나중에
더 이야기하겠지만
-
이것은 평면입니다
-
이것은 평면입니다
-
3차원 공간에서
직선 혹은 곡선을 표현하려면
-
아니면 어떤 비행 경로를 표현하려면
-
유일한 방법은
매개변수 방정식을 이용하는 것입니다
-
만약 3차원 공간에서
총알을 발사하는데
-
그 총알이 일직선으로 움직인다면
매개변수 방정식으로 표현할 수 있겠죠
-
따라서 이들은 3차원 공간에서의
직선의 방정식입니다
-
따라서 이들은 3차원 공간에서의
직선의 방정식입니다
-
흥미롭지 않나요?
-
선형대수학이 전에 본적이 없던
-
문제 혹은 논쟁을 다룬다는 점에서
-
최초의 강의가 되겠네요
-
그리고 3차원에만
그칠 필요가 없습니다
-
그리고 3차원에만
그칠 필요가 없습니다
-
50차원도 가능해요
-
50차원상의 직선 혹은
-
50차원상의 두 점을 지나는
직선에 대한
-
벡터의 집합을 정의할 수 있습니다
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사실 수학적으로 다룰 수 있습니다
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사실 수학적으로 다룰 수 있습니다
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