Linear Algebra: Parametric Representations of Lines

これまでに習ったことは、

線型代数学では

既に知っていることが

より複雑になるように思えるかもしれません。

既にベクトルを習っていますね。

微積分や

それ以前の授業でも

ベクトルを扱っていると思います。

このビデオでは、

以前習った方法では、扱いにくい問題を

線型代数学で

やってみましょう。

これらの問題は

既に解き方を知っているものです。

ベクトルを定義します。

太字でなく、矢印を使います。

太字でなく、矢印を使います。

太字でなく、矢印を使います。

R２でベクトルを

定義します。

これを、２、１のベクトルとします。

標準位置で描くと

このようになります。

２つ上がり、１つ右に行きます。

これがベクトルvです。

では、すべての可能なベクトルは

何でしょう？

セットを定義しましょう。

すべてのベクトルの定義は

ベクトルvを

ある定数、スカラー値で

掛けます。

この定数を

cをします。

これをグラフにするとどうなりますか？

標準位置で描きましょう。

cは実数で、

例えば、２でもいいです。

cが２であれば、これです。

ベクトルを２倍し

４．２のベクトルです。

標準位置で描きます。

これです。

このベクトルとなります。

先のベクトルと同一線上です。

同じ線上で、２倍になっています。

もう一つしましょう。

ベクトルvの1.5倍です。

色を変えましょう。

どうなりますか？

1.5倍すると、３、1.5です。

描きましょう。

1.5と３で、

ここになります。

どんな数字でもいいです。

1.4999倍のvは、

ここになります。

ー0.0001倍のベクトルvは

描いて見ましょう。

ベクトルvの0.001倍は

どこでしょう？

非常に小さいベクトルになります。

−0.01倍すると、

こちら向きの非常に小さいベクトルです。

−１０倍すると、

反対向きになります。

標準位置でグラフにすると

すべての実数cで表現されるベクトル群は

基本的に

この線に沿った上向きと

負の場合は、下向きの

多くのベクトルを描くことになります。

このようになります。

いいですか？

同一線上です。

ここに書きます。

これは、同一線上のベクトル群です。

これらを位置ベクトルとみると、

このR２をこの座標とすると、

このR２をこの座標とすると、

これを、位置ベクトルとみなすと

このR２の座標で

このR２の座標で

これらの位置ベクトル群は

この線を表します。

いいですか？

いいですか？

本質的にこの１／２の傾斜を表します。

このスロープです。

１／２の傾斜です。

１上がり、

２つ右に行きます。

いいですか？

いいですか？

この１／２の傾斜で

原点を通る線は、

これらのベクトル群を標準位置で

書くことで表されます。

これらを標準位置と定義しなければ、

これらのベクトルはどこにでも描けます。

いいですか？

（４、２）のベクトルはここに書くこともできます。

これらが同一線上にあるのは、

見にくいかもしれませんが、

これの意味が分かると思います。

すべての標準位置に描くと

同じ起点を持つので、

これらは同一線を

あらわすようになります。

これが、位置ベクトルの意味です。

特に、位置ベクトルであることはひつではありませんが、

このビデオでは、これを扱いましょう。

これまでは、原点を通る傾斜の

表現を行いました。

しかし、どのような傾斜でも

ベクトルで表現することができます。

これを、傾斜ベクトルとみるといいでしょう。

代数学で習ったようなものです。

では、異なった傾斜を

やってみましょう。

では、これに平行な

そして、この点（２、４）を通る

傾斜はどうなるでしょう？

位置ベクトルとして考えると、

この点をベクトルで表現できます。

xとしましょう。

ベクトルxです。

このベクトルxは（２、４）です。

この点です。

この線に平行で、

（２、４）を通る傾斜はどのように表現できるでしょう？

この線を表現します。

いいですか？

並行に描きます。

このように、

両方に伸びます。

この２つの線は平行です。

このベクトル群をどのように

標準位置のベクトルを用い

表現できるでしょう？

このように考えます。

すべてのこの線を表現するベクトルに

すべてのこの線を表現するベクトルに

ベクトルxを加えると、

この線に行きます。

いいですか？

この線上に移動します。

たとえば、元のベクトルvに

−２を掛けたとします。

それは、（ー４、ー２）で、ここになります。

これにベクトルxを加えると、

つまり、−２＊ベクトルvに

xを加えます。

ベクトル（２、４）を加えます。

２つ右へ、そして４つ上がります。

ここで見ると

ここに移動します。

この点に

至ります。

いいですか？

このセットSを定義したのは、

ベクトルvのスカラ−値を掛けたもので、

これは原点を通るすべての傾斜上の点です。

次に別のセットを定義しましょう。

セットLは、

このベクトルxと

ある実数を掛けたベクトルv、

実数は、cで表してもいいし、tでもいいですが、

パラメトリックを行うので、

tを掛けるこのベクトル＋ベクトルxです。

ここで、tは実数です。

これは、どうなるでしょう？

これは、この青い線です。

これらのベクトルを標準位置で描くと

この青い線になります。

例えば、−２をしましょう。

−２掛けるベクトルvに

ベクトルxを加えるとここになります。

これが、終点です。

この線上です。

他の値でもできます。

このベクトルを取り、あるスカラー値で掛け、

ベクトルxを加えると、そのベクトルは

ここがその終点です。

この終点で、xyの座標の位置を表します。

この点になります。

この点になります。

これらのベクトルが得られます。

これらのすべてのベクトルの終点は

この線上の位置に

移動します。

標準位置でこれらのベクトルを描くと、

この青い線上になります。

これは、非常に奇妙な

線の定義の仕方です。

代数学では、

y＝mx＋bで表されたものです。

これは、２つの点での差から傾斜を求め、

それを、置換することで得ました。

中学校の低学年で習ったことです。

簡単です。

では、なぜ、このような奇妙なベクトル群で

定義するのでしょう？

その理由は、これがより一般的な表現だからです。

その理由は、これがより一般的な表現だからです。

これは、R２で使用できます。

これは、R２で使用できます。

xとyに関して使用できます。

では、代数学で習わないような

３次元の空間での

線はどうなるでしょう？

線はどうなるでしょう？

３次元での線の定義を

習ったことはないでしょう。

あるいは、さらに多次元の線が

どのように表現できるでしょうか？

ここでは、xとyのR２を扱いました。

これは、２次元ですが、

任意の数の次元に拡張できます。

では、まず、

R２での例をやってみましょう。

これは、典型的な代数学の問題です。

ある線を定義するセットを

求めましょう。

まず、２つのベクトルを作ります。

まず、ベクトルaは

２、１とします。

これは標準位置で描くと、ここで、２、１です。

これが、ベクトルaです。

次に、ベクトルbを作ります。

これは、

０、３としましょう。

このベクトルは

まっすぐ上向きです。

ベクトルbはこのようになります。

これらが、位置ベクトルで

標準位置で描いています。

標準位置で描くと

その終点がある点に至ります。

それを、R２での座標位置と見ます。

これがR２です。

座標はR２です。

これらの２点を通る線を

パラメトリック方程式を求めましょう。

基本的には、

代数学でしたように

この２つの点を通る線の

方程式を求めます。

従来は

傾斜を求め、

それを代入して式を求めました。

ここでは、そのかわりに

この両方のベクトルが

至る点を通る線を

定義しましょう。

いいですか？

この線はどのように表現できるでしょうか？

あるいは、任意のスカラ−値を用い

この線上に至る他のベクトルを表現しましょう。

やってみましょう。

まず、このベクトルbからaを引くと、

何が得られますか？

先のビデオでベクトルの減算をしました。

このベクトルが得られます。

この２つのベクトルの差です。

これがベクトル（b−a）です。

いいですか？

これにベクトルaを加えると、bが得られます。

これにベクトルaを加えると、bが得られます。

ベクトル（b−a)があれば、

ベクトル（b−a)があれば、

それに実数を掛けることで、

この線のすべてが表現できます。

いいですか？

あるスカラー値tで

このベクトル（b−a)を掛けると何になりますか？

このベクトル（b−a)を掛けると何になりますか？

このベクトル（b−a)は、

このように見えますが、

標準位置でこのベクトル（b−a)を描くと、

このようになります。

この位置に置かれます。

いいですか？

これは原点から始まり、

この線と並行です。

これに任意の数を掛けると

ベクトル群はこの線上に

なります。

ベクトルはここになります。

これでは、答えになりません。

ここでは、パラメトリック方程式で

この線を表現しようとしています。

このセットをLとします。

これが何に等しくなるか？

これに至るには、

この線から始め、それを移動します。

これを、ベクトルbを加えることで、

まっすぐ上に移動することができます。

ここでやってみると、

ベクトルbを加えます。

ここのすべての点は

この線上に移動します。

ベクトルbを加えると、上に移動します。

いいですか？

これに　ベクトルbを加えます。

これらの任意の点がこの緑の線に乗っています。

tは実数です。

あるいは、ベクトルaを加えることもできます。

あるいは、ベクトルaを加えることもできます。

ベクトルaで、ここの任意の点が

移動します。

いいですか？

それに、ベクトルaを加えます。

どちらでも、この緑の線が得られます。

ベクトルaにこの線を加えたものと定義してもいいです。

基本的には、t＊ベクトル（b ー a）で、

ここで、tは実数です。

この線の定義は

これらのどれでも可能です。

このセットでも

このセットでもいいです。

これらは抽象的ですが、

実際の数値を扱うと

簡単です。

代数学１でやったことより簡単になります。

ここの例では、aとbです。

やってみましょう。

最初の例を使用してみましょう。

これは、ベクトルbで、０、３で

これに、t＊ベクトル（b−a）を加えます。

ベクトル（b−a）は何ですか？

０−２は、ー２、３−１は、２です。

tは任意の実数です。

これが、まだ分かりにくければ、

馴染みのある式に

書き換えることもできます。

グラフ化するには、

これが、y軸で、これが、x軸では

これらを、x座標、y座標と見なすと、

これが、y座標で、

式を作れます。

これは、実際、xの傾斜です。

いいですか？

これはx座標で、これがy座標です。

もう少し、注意深く

見てみましょう。

これは、あるベクトルl１、l２になります。

いいですか？

これは、ベクトル群で、これに属するベクトルは

このようになります。

これは、liとできます。

これがx座標で、これがy座標です。

これがx座標で、これがy座標です。

馴染みのある形式にするには、

lは、このベクトルb＋t＊ベクトル（b−a）です。

lは、このベクトルb＋t＊ベクトル（b−a）です。

パラメトリック方程式で書くと、

これが、x座標なので、

x＝０＋t＊−２、

つまり、−２tです。

次に、y座標は、これで、

y＝３＋t＊２、つまり、３＋２tです。

最初の式は

x＝ー２tで、y＝２t＋３です。

パラメトリック方程式のビデオでは紹介したように

この線を定義する従来のパラメトリック方程式です。

この線を定義する従来のパラメトリック方程式です。

これは、時間の無駄のように

思われるかもしれません。

これらのセットを定義しなければなりません。

しかし、ここで、

今までみたことの無い例を

紹介しましょう。

通常の代数学では、

習わない例です。

では、２つの点が

３次元に存在するとします。

あるベクトルがあります。

点１とします。

この位置ベクトルで指定される点です。

これを点１とします。

これは３次元に存在します。

例えば、−１、２、７としましょう。

そして、点２があります。

これも３次元で、

特定の座標を位置を持っています。

これは、x、y、z座標ともできます。

では　点２は、

０、３、４としましょう。

では、R３で、これらの点を通過する線の

方程式を求めましょう。

これは、R３です。

いいですか？

この線の方程式と言いましたが、

この線のセットをLと

しましょう。

これらの一つを

P１とします。

これらは、すべてベクトルです。

この線は、P１と

任意のパラメ−ターtで

この２つのベクトルの差を掛けたものの

合計です。順は関係ありません。

いいですか？

差のベクトル（P１−P２）

これは、（P２−P１）でも同じです。

このtは、正または負の任意の実数なので、

順序は関連ありません。

これらの数値を当てはめましょう。

ここに入れます。

P１−P２は何ですか？

P１−P２は

−１−０＝ー１、

２−３＝ー１、

７−４＝３です。

これが差のベクトルです。

求める線は、ベクトル群で

これらの位置ベクトルを使用して

表現すると

まず、P１、

つまり、（−１、２、７）

ここで、P２を使用しても同じです。

P１かP２のどちらかに、t＊（−１、ー１、３）を

加えます。

いいですか？

これは複雑に見えます。

x、y、z、の座標は何でしょう？

x、y、z座標を得ましょう。

これがz軸です。

これが、x軸で、これがy軸です。

y軸は、この面から

出てくるように置かれます。

いいですか？

実際、プロットしませんが、

x座標は

この項を書き換えて得られます。

まず、xを書きます。

これがx座標になります。

x＝−１＋（ー１）tです。

x＝−１＋（ー１）tです。

これが、x座標です。

これが、x座標です。

y座標はここ部分で、

得られます。

y＝２＋（ー１）tです。

y＝２＋（ー１）tです。

最後にz座標を求めます。

z＝７＋t＊３です。

tをこれらのすべての式に入れれば、得られます。

z座標は、７＋t＊３、

つまり、７＋３tです。

これで、３つのパラメトリック方程式が得られました。

R２で行うと、代数学のように

パラメトリック方程式は

xとyの２式です。

パラメトリック方程式を使用しなくてもいいです。

しかし、３次元では、

線を定義する唯一の方法はパラメトリック方程式です。

たとえば、x、y、zの方程式があるとします。

x＋y＋zがある値とします。

これは、線ではありません。

この式はR３では、

平面を定義します。

平面を定義します。

３次元で、直線や曲線を定義できるのは、

３次元での行程を定義できるのは、

パラメトリック方程式のみです。

３次元の空間を飛ぶ弾の軌道は

パラメトリック方程式です。

これが、３次元での

線の方程式と言えます。

面白いですね。

これが、線形方程式の

便利な点で

みたことの無いような問題が解けます。

ここでは、３次元に

限られません。

５０次元でも使用できます。

５０次元で２つの点を通る線の定義が

その位置ベクトルを使用し

定義することができ、

直感的には理解しづらくても、数学的に扱えます。

直感的には理解しづらくても、数学的に扱えます。