Linear Algebra: Parametric Representations of Lines

Kõik, mida me oleme seni lineaaralgebras teinud, sa võid

mõelda, et see on raskem viis teha asju, mida

sa oled varem lihtsamini teinud.

Sa oled juba kokku puutunud vektoritega.

Ma usun, et mõned teist on juba tegelenud ka

vektoritega algebras või eel-algebras või

füüsika tundides.

Aga selles videos loodan ma teile näidata midagi, mida te

saate teha lineaaralgebras, mida te ei ole varem teinud.

Ning seda oleks olnud väga raske teha, kui sa poleks

neid videosi näinud.

Ma alustan sellega, et ma näitan kuidas teile tuntud asja teha teist moodi.

Ma alustan sellega, et ma näitan kuidas teile tuntud asja teha teist moodi.

Las ma defineerin mõne vektori siin, selle asemel et teha nad

paksult, ma joonistan nende otsa noole.

Ma defineerin enda vektori - ma võin teha noole üles või

ma võin teha selle ka väga paksult.

Ma defineerin enda vektorid, see on vektor R2s.

Ma defineerin enda vektorid, see on vektor R2s.

Ütleme, et mu vektor on vektor 2, 1.

Kui ma joonistaksin selle standard postisioonist,

siis see näeks välja selline.

Sa lähed kahe võrra paremale ning ühe võrra üles.

See on minu vektor v.

Nüüd, kui ma küsiksin, millised on kõik võimalused

selle vektori joonistamiseks?

Las ma defineerin hulga.

Las ma defineerin hulga s, ja see on võrdeline--kõikide

vektoritega, mis ma saan teha, kui ma korrutaks v korda mingi

konstant, seega ma korrutan mingi konstandiga, mingi skalaariga, korda

minu vektor v. Selleks et olla natuke formaalsem, ma

ütlen, et c on element reaalarvude hulgast.

Milline näeks välja sellise hulga graafiline kujutamine?

Kui me joonistaks kõik need vektorid standard positsioonist, c võib olla

ükskõik milline reaalarv.

Seega kui ma korrutaks, c võib olla 2.

Kui c on 2, las ma teen selle nii.

Kui ma teen 2 korda meie vektor, siis ma saan

vektori 4, 2.

Las ma joonistan selle standard positsioonist, 4, 2.

See on siin.

See vektor asub siin.

See on kollineaarne meie esimese vektoriga.

See asub sama joone peal, aga see on 2 korda pikem.

Ma oleks võinud teha ka teise.

Ma oleks võinud teha 1,5 korda meie vektor v.

Las ma teen selle teises värvis.

Ja see oleks, mis see oleks?

See oleks 1,5 korda 2, mis on 3, 1,5.

Kus see vektor asuks?

Ma liiguks 3 võrra paremale ja siis 1,5 võrra üles.

See vektor oleks siin.

Ja ma võin selle korrutada ükskõik millega.

Ma võin korrutada 1,4999 korda vektor v, ja

ma saaksin sinna.

Ma võin teha miinus 0,0001 korda vektor v.

Las ma kirjutan selle üles.

Ma võin teha 0,001 korda meie vektor v.

Ja kus see asuks?

See oleks väga väike vektor siin.

Kui ma teeksin miinus 0.01, siis oleks väga väike vektor

täpselt siin, selles suunas.

Kui ma teeksin miinus 10, siis ma saaksin vektori, mis

läheks selles suunas.

Aga sa saad ette kujutada, kui ma joonistaksin kõik

sellised vektorid standard positsioonist, kõik neist tähistaksid

vektoreid mis on läbi korrutatud arvuga c, mis kuulub reaalarvude hulka, siis me saaksime--

--Ma joonistaksin lõpmatult palju vektoreid, mis kõik

asuvad selle joone peal ning kõik neist oleks kollineaarsed

isegi negatiivsed vektorid--las ma teen kindlaks, et

ma joonistan need õieti-- selle joone peal, nagu nii.

Ma usun, et te saate ideele pihta.

See on hulk kolineaarsetest vektoritest.

Las ma kirjutan selle üles.

Ja kui me vaatame neid vektoreid kui positsiooni vektoreid, et see

vektor kujutab punkti tasadis R2 -- see R2 on lihtsalt

meie Descartesi koordinat tasandil siin igas suunas--

--kui me vaatame seda vektorit positsiooni vektorina--

las ma kirjutan selle üles-- kui me vaatame neid kui

koordinaate R2s, siis see hulk, kui ma visuaalselt kujutame

seda kui positsiooni vektoritena, siis see tähistab

tervet seda joont siin.

Ma tahan, et te sellest aru saaksite, see on põhimõtteliselt

joon, tõusuga 2.

Eks?

Vabandust, tõusuga 1/2.

Tõus on 1.

Tõuseb 1 võrra üles, liikudes 2 võrra edasi.

Aga ma ei taha kasutada Algebra 1

märkemeid väga palju.

Ma tahan öelda, et see joon siin tõusuga 2, mis läheb

nullpunktist läbi, see on siis kui me joonestame kõik

vektorid selles hulgas standard positsioonist, või kui me

joonistame need kõik kui positsiooni vektoritena.

Kui ma ei oleks seda selgitust välja toonud, või seda

kvalifikatsiooni, siis ma oleks võinud joonistada need vektorid ükskõik kuhu.

Eks?

Sest see 4, 2 vektor, ma oleks võinud selle joonistada siia.

Ja siis, kui öelda et need on kollineaarsed ei oleks

visuaalselt eriti välja paistnud.

Aga ma usun, et kollineaarsus paistab rohkem välja, kui

me joonistame need kõik standard vormis.

Kõik neist algavad nullpunktis, ehk nende "saba" on

nullpunktis ja "pead" lähevad põhiliselt

koordinaadi juurde, mida nad kujutavad.

Seda mõtlen ma positsiooni vektorite all.

Nad ei pea olema positsiooni vektorid, aga selle

video jaoks, teeme nad kõik nii.

Ma olin võimeline kujutama midagi mis läheb läbi

nullpunkti sellise tõusuga.

Seega võib põhimõtteliselt vaadata, et see vektor mingil moel

esindas selle tõusu.

Seda võiks vaadelda kui tõusu vektorit, kui sa tahad seda

siduda õpituga Algebra 1st.

Mis siis, kui me tahame esitada teisi jooni

mil on selline tõus?

Mis siis kui me tahama esitada sama joont, või näiteks

paralleelset joont -- mis läheb sellest punktist sealt läbi,

punkt 2, 4?

Või kui me mõtleme positsiooni vektorite kohapealt, siis me võime öelda et

sede punkti esitab vektor, ja me

paneme sellele nimeks x.

Seda esitab vektor x.

Ja vektor x on võrdne 2, 4.

See punkt seal.

Mis siis, kui ma tahan kujutada joont, mis on paralleelne

sellega, mis läheb läbi punktist 2, 4?

Seega ma tahan kujutada seda joont siin.

Ma joonistan selle nii paralleelselt kui ma vähegi saan.

Ma usun et te saate mõttest aru, ja see läheb nii edasi

igas suunas.

Need kaks joont on paralleelsed.

Kuidas ma saan esitada hulka kõikidest vektoritest, mis joonistatakse

standard kujul, või kõik vektorid, kui ma joonistaks

need standard kujul, näitaksid seda joont?

Sellele võib läheneda nii.

Kui iga vektor, mis esindab seda joont, kui

ma alustaks ükskõik millise vektori, mis on sellel joonel, ja ma lisan sellele

enda vektori x, siis see läheb vastavasse punkti

sellel joonel, kuhu mul oligi vaja saada.

Eks?

Ütleme, et ma võtan negatiivne 2 korda minu originaal, seega miinus 2

korda minu vektor v, millega see võrdne on?

Miinu 4, miinus 2, seega see vektor siin.

Aga kui ma lisaks sellele x, kui ma lisaks enda vektor x'i.

Ehk siis miinus 2 korda minu vektor v, aga ma

lisan sellele x, ehk pluss x.

Ma lisan selle vektor 2, 4 sellele, et ma läheks siit

2 võrra paremale ja 4 võrra üles, ehk siia.

Või visuaalselt me võime lihtsalt öelda, peast sabasse, seega

ma läheks siia.

Seega mulle jääks

vastav punkt siin.

Kui ma nüüd defineerin enda hulga s, kui punktidena, kus

ma korrutan v skalaariga läbi, siis ma sain selle

mis läheb nullpunktist läbi.

Aga nüüd las ma defineerin teise hulga.

Defineerin hulga l, mis on võrdne

kõigi vektoritega, kus vektor x on, ma võin selle

teha paksult või joonistada noole selle peale, pluss mingi

skalaar -- ma võin kasutada c, aga las ma kasutan t, sest ma

kutsun selle joone parametriseerimiseks--

seega pluss mingi scalaar, t korda minu vektor v, nii et t kuulub

reaalarvude hulka.

Mis see siis on?

See on see sinine joon.

Kui ma joonistaks kõik need vektorid standard positsioonist,

ma võtan enda sinise joone.

Näiteks, kui ma võtan miinus 2, see on miinus 2, korda minu

vektor v, siis ma saan siia.

Selle lisan x, jõuan siia.

Seega see vektor siin, millel on sama otspunkt siin --

selle otspunkt asub sellel joonel.

Ma võin seda teha ükskõik millega.

Kui ma võtan selle vektori, see on mingi skalaar korda minu vektor v,

ja lisan sellele x, siis ma saan sellise vektori, mille

otspunkt, kui ma vaatan seda positsiooni vektorina, selle otspunkt

määrab mingi koordinaadi xy-tasandil.

Seega see on [ARUSAAMATU]

see punkt.

Seega ma saan kõikide nende vektorite juurde.

See on hulk nendest vektoritest siin, ja kõik nendest vektoritest

osutavad punktile-- nad põhimõtteliselt osutavad

millegile--kui ma joonistan need standard kujul, kui ma joonistan

joonistan need standard kujul--siis nad osutavad

punktile sellel sinisel joonel.

Nüüd sa võid öelda, hey Sal, see oli tõeliselt nüri viis

defineerimaks joont.

Me teeme seda Algebra 1s, kus me lihtsalt ütleme, et

y on võrdne mx pluss b.

Ja me leiame tõusu, kui arvutame välja

erinevuse kahe punkti vahel, ja siis teeme väikse asenduse.

Ja seda sa õppisid seitsmendas või kaheksandas klassis.

See oli väga otsekohene.

Miks ma defineerin selle hulga siin ja proovin teid mõtlema panna

hulkade tasmel ja vektorite ja vektori lisamisest?

Põhjuseks on see, et see on väga üldine.

See töötas väga hästi R2s.

Seega R2s, oli see väga hea.

Me peame ju muretsema ainult x ja y pärast.

Aga mis juhtub situatsioonis, ma mõtlen pane tähele, sinu algebra

klassis, sinu õpetaja ei öelnud sulle väga palju, vähemalt

mitte nendes kus mina õppisin, selle kohta kuidas esitada jooni kolmemõõtmelises ruumis?

mitte nendes kus mina õppisin, selle kohta kuidas esitada jooni kolmemõõtmelises ruumis?

Võibolla mõndades klassides ka räägiti sellest, aga kindlasti ei

õpetatud seda kuidas esitada jooni neljamõõtmelises ruumis või

sajamõõtmelises ruumis.

Ja täpselt seda see meile annab.

Ma defineerisin x ja v vektoritena R2s.

Need on vektorid kahemõõtmelises ruumis, aga me võime neid pikemaks teha

suvaliste numbritega, et saada suvalises mõõtmelises ruumis asuv vektor.

Selleks, et see ikka täiesti arusaadav oleks, teeme veel ühe

näite R2s, kus, see on umbes nagu klassikaline algebra

probleem, kus sa pead leidma joone võrrandi.

Aga siin, me nimetame selle joone

hulga definitsiooniks.

Ütleme, et meil on kaks vektorit.

Ütleme, et meil on vektor a, mille ma defineerin kui -- ütleme

näiteks 2, 1.

Seega kui ma joonistaksin selle standard kujul, see on 2, 1.

See siin on minu vektor a.

Ja ütleme, et mul on vektor b,las ma defineerin vektori b.

Ma defineerin selle kui, ma ei tea, las ma

defineerin selle kui 0, 3.

Seega minu vektor b, 0-- ma ei liigu üldse paremale,

vaid lähen ainult üles.

Seega minu vektor b näeb välja selline.

Nüüd ma ütlen, et need siin on positsiooni vektorid,

mille me joonistame standard kujul.

Kui sa joonistad need standard kujul, siis nende otspunktid

kujutavad mingid positsiooni.

Seega neid võib vaadelda kui punkti koordinaate R2s.

See on R2.

Kõik need koordinaat teljestikud, mis ma joonistanon R2s.

Nüüd, mis siis kui ma küsin sult, anna mulle joone

parametriseerimine, mis läheb nendest kahest punktist läbi.

Seega põhiliselt, ma tahan võrrandit -- kui sa mõtled

Algebra 1 tasmel--ma tahan võrrandit joonest, mis

läheb läbi nende kahe punkti.

Seega klassikaline viis selle lahendamiseks oleks, kui ma arvutaks välja tõusu ja

kõik selle ning siis sa saaksid

selle tagasi asendada.

Aga selle asemel, mis me saame teha, me võime öelda, hey vaata, see

joon mis läheb läbi mõlema nende punktid -- sa võid

põhimõtteliselt öelda, et mõlemad need vektorid asuvad-- ma arvan

et see on parem--mõlemad need

vektorid asuvad sellel joonel.

Nüüd, mis vektor esitab seda joont?

Tegelikult isegi parem, mis vektor, kui ma võtan suvalise

skalaari-- võib esitada kõiki teisi vektoreid sellel joonel?

Las ma lahendan selle nii.

Mis siis, kui ma võtaks -- see on vektor b siin-- mis

juhtub siis, kui ma lahutaks b'st a?

Me õppisime, ma usun et eelmises videos, et b

miinus a, siis sa saad selle vektori siin.

Sa saad nende kahe vektori erinevuse.

See on vektor b miinus vektor a.

Mõtle selle peale.

Mis ma pean lisama vektorile a, et saada b?

Ma pean lisama b miinus a.

Seega kui ma saan vektor b miinus a-- me teame, kuidas

seda teha.

Me lahutame need vektorid ja siis korrutame need mingi

suvalise skalaaria läbi, siis me saame ükskõik millise punkti sellel joonel.

Me peame olema ettevaatlikud.

Mis juhtub, kuime võtame t, ehk mingi skalaar, korda meie

vektor, korda vektor b miinus a?

Mis me siis saame?

Seega b miinus a näeb välja selline.

Aga kui me joonistaksime selle standard kujul-- jäta meelde,

standard kujul b miinu a näeb välja selline.

Eks?

See algaks nullpunktist, see oleks sellega paralleelne ja siis

punktist 0 me joonistame selle otspunkti.

Ehk kui me korrutaks b miinus a läbi mingi skalaariga, siis me

saaksime tegelikult punktid või vektorid

mis asuvad sellel joonel.

Vektorid, mis asuvad sellel joonel siin.

See ei olnud, mida me tahtsime teha.

Me otsisime võrrandit või parametriseerimist,

sellest joonest või sellest hulgast.

Paneme selle hulga nimeks l.

Nüüd me tahame teada, millega see hulk on võrdeline.

Selleks et sinna jõuda, peame alustama sellega, mis on

see joon siin, ja seda natuke liigutama.

Me võime seda liigutada näiteks otse üles, me võime

sellele lisada vektori b.

Seega me võime võtta selle joone siit ja

liita sellele vektor b.

Seega ükskõik millise punkti me võtame siit, sellele

vastab punkt seal.

Seega kui lisada vektor b, see põhimõtteliselt liigub üles poole.

See töötaks.

Me võime öelda, et me võime sellele liita vektori b.

Ja nüüd kõik need punktid suvalise-- t kuulub

reaalarvude hulka, asub sellel rohelisel joonel.

Või teine võimalus, mida me oleks võinud teha on

liita vektor a.

Vektor a oleks võtnud suvalise punkti siit ja

liigutanud seda selles suunas.

Eks?

Sa liidaksid sellele vektori a.

Aga igal juhul, saad sa sellele rohelisele joonele, mida

me tahtsime teha, seega oleksid võinud seda defineerida kui ka

hulka, kus on vektor a pluss see joon, põhimõtteliselt, t korda

vektor b miinus a, kus t kuulub reaalarvude hulka.

Seega minu definitsioon minu joonest võib olla

ükskõik kumb nendest.

Definitsioon minu joonest võib olla see hulk, või see võib olla

see hulk.

Kõik see tundub üpris abstraktne, aga kui sa

hakkad tõeliselt numbritega tegelema, siis see tegelikult

muutub väga lihtsaks.

See muutub kindlasti lihtsamaks kui see, mida me tegime Algebra 1s.

Seega see l, nende konkreetsete a ja b korral,

mõtleme selle välja.

Minu joon on võrdne--las ma kasutan esimest näidet.

See on vektor b, seega see on vektor 0, 3 pluss t, korda

vektor b miinus a.

Mis on b miinus a?

0 miinus 2 on miinus 2, 3, miinus 1 on 2, kus t kuulub

reaalarvude hulka.

Kui see tundub natuke keeruline hulga

definitsioon, siis ma võin selle kirja panna ka liikmetega mille

sa võid lihtsamini ära tunda

Kui me tahame joonestada punkte, kui me nimetame selle y-teljeks ja

selle x-teljeks, jamenimetame selle

x-koordinaadiks või võibolla natuke korralikumalt x-koordinaadiks

ja selle y-koordinaadiks, siis me võime siin

võrrandi üles seada.

See on tegelikult x-tõus.

See on x-koordinaat, see on y-koordinaat.

Või tegelikult, isegi paremini, mida iganes-- tegelikult las ma

olen siin väga ettevaatlik.

Sellest tuleb alati mingi vektor, l1, l2.

Eks?

See on hulk vektoritest, ja iga selle hulga liige näeb

välja midagi selle sarnast.

Seega see võib olla li.

Seega see on x-koordinaat ja see on y-koordinaat.

Ja selleks et saada see kujule mille sa ära tunned, seega me

ütleme, et l on hulk see vektor x pluss t korda

see vektor b miinus a siin.

Kui me tahame seda kirja panna parameetrilisel kujul, me

võime öelda, kuna see tähitsab meie x-koordinaati,

siis me võime öeldaet x on võrdne 0 plus t korda miinus 2, või

miinus 2 korda t.

Ja siis me võime öelda, et y, kuna see tähstab

meie y-koordinaati, y on võrdne 3 pluss t korda 2 pluss 2t.

Seega me võime selle esimese võrrandi uuesti kirjutada lihtsalt kui x

on võrdne miinus 2t ja y on võrdne 2t pluss 3.

Seega kui sa vaatad videosi parameetrilistest võrranditest, siis see

on lihtsalt tavaline viis parameetrilisest definitsioonist sellest

joonest täpselt siin.

Nüüd, sa võisid seda vaadata kui, Sal, see oli

aja raiskamine, see oli keeruline.

Tuleb defineerida neid hulki jne.

Aga nüüd ma näitan sulle midagi, mida sa arvatavasti--

v.a. juhul kui sa oled seda varem teinud,aga ma usun

et see on tõene kõige puhul.

Aga sa arvatavasti ei ole näinud seda

enda tavalises algebra klassis.

Ütleme, et mul on kaks punkti, ja nüüd ma tegelen

kolmemõõtmelises ruumis.

Ütleme, et mul on üks vektor.

Ma nimetan selle punkt 1, sest need on

positsiooni vektorid.

Me nimetame selle positsiooniks 1.

See on kolmemõõtmeline.

Võtan mingid numbris, negatiivne 1, 2, 7.

Ütleme, et mul on Punkt 2.

Taaskord, see on kolmemõõtmeline, seega tuleb

anda kolm koordinaati.

Need võivad olla x, y ja z koordinaadid.

Punkt 2, ma ei tea.

Ütleme 0, 3 ja 4.

Nüüd, mis siis kui ma otsin võrrandit, mis läheb läbi

nendekahe punkti R3s?

See on R3.

Ma just ütlesin, et selle joone võrrand -- seega

ma nimetan selle või selle joone hulga, las ma

tähistan selle tähega l.

See on võrdeline-- me võime valida ühe neist,

see võib olla P1, vektor P1, need on kõik

vektorid, ole siin ettevaatlik.

Vektor P1 pluss mingi suvaline parameeter t, see t võib

olla näiteks aeg, nagu sa arusaad kui sa esimest korda õpid parameetrilisi

võrrandeid, korda kahe vektori vahe,

korda P1 ja sel ei ole vahet mis järjekorras sa seda teed.

Seega ka see on tore.

P1 miinus P2.

See võib olla ka P2 miinus P1-- Sest see võib võtta iga

positiivse või negatiivse väärtuse-- kus t kuulub reaalarvude

hulka.

Rakendame seda nüüd nende numbritega.

Rakendame seda siin.

Mis on P1 miinus P2?

P1 miinus P2 on võrdne-- las ma teen natuke ruumi siia.

P1 miinus P2 on võrdne, miinus 1 miinus 0 on miinus 1.

2 miinus 3 on miinus 1.

7 miinus 4 on 3.

Seega too on see vektor.

Seega meie joone võib kujutada kui hulk vektoritest,

kui sa joonestaksid need standard positsioonist, siis see oleks

see hulk positsiooni vektoritest.

See oleks P1, see oleks-- las ma teen selle roheliselt-- see

oleks miinus 1, 2,7.

Ma oleks võinud panna P2 sinna, sama lihtsalt -- plus t korda miinus

1, miinus 1, 3, kus või nii et t kuulub reaalarvude hulka.

1, miinus 1, 3, kus või nii et t kuulub reaalarvude hulka.

Nüüd ka see ei rahulda võibolla teid.

Sa oled nagu..kuidas ma selle kolmemõõtmelises ruumis joonestan?

Kus on minu x, y ja z?

Ja kui sa tõesti hoolid x, y ja z, siis ütleme

et see on z-telg.

See on x-telg ja see on y-telg.

See läheb mingis mõttes meie tahvli sisse, niiet y-telg tuleb

nö tahvlist "välja".

Mida sa võid teha, ma ise arvatavasti ei

joonesta, x-koordinaadi determinant, nagu

tavaliselt, on see liige siin.

Seega me võime kirjutada, et x--las ma kirjutan selle üles

Seega too liige määrab meie x-koordinaadi.

Seega me võime kirjutada, et x on võrdne miinu 1-- ole ettevaatlik

värvidega-- miinus 1, pluss miinus 1 korda t.

See on meie x-koordinaat.

Nüüd meie y-koordinaat on määratud selle vektori

liitmise osa poolt, sest need on y-koordinaadid.

Niiet me võime öelda, et y-koordinaadid on võrdelised--ma kirjutan

selle nii-- 2 pluss miinus 1 korda t.

Ja lõpuks meie z-koordinaat on määratud selle

poolt seal, t ilmub siin sest t korda 3-- või ma võin

lihstalt selle t siia sisse panna.

Seega see z-koordinaat on võrdeline 7 pluss t korda 3 või

ma võin öelda pluss 3t.

Ja nii lihtsalt see käib, meil on kolm parameetrilist võrrandit.

Ja kui me tegime selle R2s, tegin ma parameetrilise võrrandi, aga

me õppisime Algebra ühes, et võib kasutada

tavalisi y, x-liigete asemel.

Sul ei pea olema parameetriline võrrand.

Aga kui sa tegeled R3ga, siis ainuke viis joont defineerida

on teha parameetriline võrrand.

Kui sul oleks lihtsalt võrrand, kus on x, y ja z, kui

mul oleks x pluss y pluss z on võrdeline mingi numbriga, siis see

ei ole joon.

Ja me räägime sellest R3s rohkem.

See on tasand.

Ainuke viis meie joont või kaart defineerida kolmemõõtmelises

ruumis, kui ma tahaks kirjeldada kärbse lennu trajektoori

kolmemõõtmelises ruumis, siis see peab olema parameetriline võrrand.

Või kui ma tulistan kuuli kolmemõõtmelises ruumis ja see liigub

sirgjooneliselt, siis see peab olema parameetriline võrrand.

Seega need--ma arvan et sa võid neid kutsuda--need on

võrrandid joonte jaoks kolmemõõtmelises ruumis.

Loodetavasti sa leidsid, et see oli huvitav.

Ma arvan, et see on esimene video kus sul võib

tekkida arusaam, et lineaaralgebra lahendab probleeme või

pöördub küsimustele mida as varem ei teadnud.

Pole mingit põhjust, miks me peaks lõpetama kolme,

kolme koordinaadiga.

Me oleksime võinud selle teha ka viiekümnemõõtmelises ruumis.

Me oleks võinud defineerida joone viiekümnemõõtmelises ruumis- või

vektorite hulga viiekümne mõõtmelises ruumis, mis defineerib sellist joont, nii et kaks punkti asuvad sellel-- seda

on väga raske ettekujutada aga me saame sellele

matemaatiliselt läheneda.