Linear Algebra: Parametric Representations of Lines

Vše, co jsme zatím
dělali v lineární algebře,

vám může připadat
jako složitější způsob toho,

co už jste uměli dělat dřív.

S vektory už jste setkali.

Hádám, že někteří z vás již pracovali

s vektory v hodinách matematiky

nebo fyziky.

Ale v tomto video vám,
doufám, ukážu,

co budete dělat v lineární algebře
a co jste předtím nikdy nedělali.

A co by bylo bývalo velice náročné,

kdybyste se nedostali k těmto videím.

Zkrátka začnu,
jak už jsem řekl, s jiným způsobem

přístupu k věcem,
s kterými už jste uměli nakládat.

Definujme si zde nějaký vektor.
Místo toho, abych ho udělal tučně,

nakreslím nad něj pouze šipku.

Definuji svůj vektor…
Buď může mít nahoře šipku,

nebo jej jen udělám extra tučným.

Definuji svůj vektor,
jenž bude prostě

vektor v prostoru R2.

Vyberu si třeba vektor 2, 1.

Kdybych ho měl nakreslit běžným způsobem,

tak by vypadal následovně.

Stačí jít 2 vpravo
a o 1 dílek nahoru, takto.

Toto je tedy můj vektor ‚v‘.

Teď, kdybych se vás měl zeptat,
jaké jsou všechny

možné vektory,
které mohu vytvořit?

Vytvořím si množinu.

Vytvořím si množinu
a ta bude obsahovat všechny

vektory, které dokážu vytvořit tím,
že vynásobím vektor ‚v‘

nějakou konstantou.
Tedy násobím určitou konstantou, skalárem,

svůj vektor ‚v‘
a pro formálnost řekněme,

že ta konstanta ‚c‘
je z množiny reálných čísel.

Jak by vypadala
grafická podoba této množiny?

Nakreslíme-li je všechny
do soustavy souřadnic…

‚c‘ může být libovolné reálné číslo.

Násobím-li, ‚c‘ může být třeba 2.

Je-li ‚c‘ 2...
uděláme to takto.

Když vezmu dvakrát náš vektor,
výsledkem bude

vektor 4, 2.

Zaznačím jej
do soustavy souřadnic -4 a 2.

Přesně tam.

Je to tento vektor na tomto místě.

Leží na stejné přímce jako první vektor.

Náleží stejné přímce,
jen je dvakrát delší.

Mohl bych vyrobit další.

Mohl bych udělat
1,5 krát náš vektor v.

Nakreslíme si jej jinou barvou.

A ten bude vypadat jak?

Ten bude 1,5 krát 2,
což vyjde 3 a pak 1,5.

Kam se dostaneme s tímto vektorem?

Půjdu 1,5 a pak 3, poté 1,5.

Dostanu se sem.

Můžu násobit čímkoli.

Můžu násobit vektor ‚v‘ 1,4999 krát

a dostat se sem.

Můžu třeba vzít -0.0001 krát vektor v.

Napíšu to.

Můžu vzít 0.001 krát náš vektor v.

A kam mě to dostane?

Můj extrémně malý
vektor mě dostane sem.

Když bych vzal 0,01,
dostal bych super malý vektor,

který míří tímto směrem.

Kdybych vzal -10,
vyšel by mi vektor mířící

tímhle směrem, který jde tudy.

Ale můžete si přestavit,
že kdybych měl vykreslit

všechny vektory do soustavy
souřadnic, všechny,

které mohou reprezentovat
jakékoli reálné číslo ‚c‘,

kreslil bych velké množství vektorů,

jejichž šipky jsou
jedna za druhou na této přímce

a mohou vést i v opačném směru...
pokusím se,

aby to bylo pořádně...
takto po čáře.

Myslím, že už tušíte.

Jedná se o množinu
vektorů na jedné přímce.

Zapišme si to.

Je to množina vektorů na jedné přímce.

Pokud si je zobrazíme
jako polohové vektory,

to znamená vektory,
znázorňují body v R2,

v naší kartézské soustavě souřadnic,

vedoucí do všech směrů. Znázorníme-li
si tento vektor jako polohový...

Napíšu to. Znázorníme-li
si je jako souřadnice

v dvou-dimenzionálním prostoru,
pak celá množina tvoří

(celá skupina polohových vektorů),
znázorňují

kompletní přímku zde.

Budou tvořit kompletní přímku.

Rád bych to celé vyjasnil.
Je to v zásadě

přímá úměrnost
stoupající dvojnásobně rychle.

Správně?

Ne, promiňte, stoupá poloviční rychlostí.

Chcete-li se dostat do jedničky…

Chcete-li se dostat do jedničky,
musíte jít přes 2 dílky.

Nechci se příliš vracet k notaci

z Algebry 1.

Chci se pozastavit u toho,
že naše přímka

jde přes počátek soustavy,
vyjde, pokud naneseme

všechny vektory v množině (vázaně)

jako polohové vektory.

Pokud by jsme si to neujasnili,

nezpřesnili, mohl bych
své vektory nakreslit kdekoli.

Jasné?

Protože například vektor
4, 2 bych mohl nanést sem.

A pak by to, že leží
s ostatními na jedné přímce,

nebylo z obrázku tak zřejmé.

Domnívám se, že vám to
bude takto připadat smysluplnější.

Naneseme-li je všechny
na přímku procházející počátkem.

Všechny budou začíná v bodě nula,

v počátku a jejich konce se šipkou půjdou

do souřadnice,
kterou vektor reprezentuje.

To, abychom si ujasnili,
co myslím polohovým vektorem.

Nemusí být nutně polohové vektory,

ale pro ukázku se jich
zde ve videu budeme držet.

Byl jsem schopen
znázornit pouze něco jdoucí

přes počátek s nějakým sklonem.

Můžete skoro jistě vidět,
že vektor vlastně

znázorňuje svůj sklon.

Chcete-li, můžeme se na něj dívat
jako na vektor ukazující sklon,

pokud se přidržíme toho,
co jsme se naučili v lekcích Algebra 1.

A kdybych chtěli znázornit ostatní přímky,

se stejným sklonem?

Chceme-li znázornit tu
stejnou přímku, možná lépe

přímku s ní rovnoběžnou,
která jde jiným bodem,

bodem 2, 4?

Vidíme-li jej jako polohový
vektor, můžeme říci,

že bod je reprezentován vektorem,

nazvěme si jej ‚x‘.

Je znázorněn vektorem ‚x‘.

A vektor ‚x‘ je roven 2, 4.

Končí v našem bodě.

A pokud bychom chtěli
znázoznit přímku rovnoběžnou

s druhou procházející bodem 2, 4?

Chtěl bych znázornit tuto přímku.

Chtěl bych znázornit tuto přímku.

Pokusím se o rovnoběžku
s již existující přímku.

Už jistě tušíte,
že povede, jak kreslím,

oběma směry.

Naše dvě přímky jsou rovnoběžky.

Jak můžu znázornit množinu
všech podobných vektorů,

které zaneseny do soustavy souřadnic,

aby tvořili tuto modrou přímku?

Můžeme o tom uvažovat následovně.

Vezmu všechny vektory,
které jsou součástí přímky...

Začnu-li s kterýmkoli
vektorem z mé původní přímky

a přidám k němu vektor ‚x‘,
dostanu se do odpovídajícího bodu

na modré přímce, kde chci být.

Chápete?

Vezměme minus 2 krát můj původní vektor,

můj původní vektor ‚v‘ krát -2, co vyjde?

-4 a -2, tedy takto
vypadá výsledný vektor.

Ale když k němu připočtu vektor ‚x‘...

Připočtu-li k vektoru ‚v‘ krát minus 2

náš vektor ‚x‘, tedy plus ‚x‘.

Přičítám vektor 2, 4. Dostanu se odsud

vpravo o 2 a nahoru o 4, jsem zde.

Nebo vizuálně znázorněno
to dopadne zkrátka začátek jednoho

přidáme na konec druhého.

Dostaneme se

do odpovídajícího bodu na modré lince.

Dostaneme se do
odpovídajícího bodu na modré lince.

Když definujme množinu ‚s‘
jako množinu všech bodů,

které vznikly vynásobením
vektoru ‚v‘ skalárem

mám tuto přímku vedoucí počátkem.

Nyní zadefinujeme další množinu.

Vytvoříme novou
množinu ‚L‘ (‚L‘ jako linka)

odpovídající všem vektorům,
kde vektor ‚x‘, můžu jej

udělat tučný nebo nakreslit nad něj šipku,

plus nějaký skalár, možná ‚c‘,
ale radši použijeme ‚t‘

protože jej budeme
nazývat parametrem přímky...

‚x‘ plus skalár ‚t‘ krát vektor ‚v‘,

kde ‚t‘ náleží množině reálných čísel.

Co nám z toho vyjde?

Bude to naše modrá přímka.

Pokud nanesu všechny
mé vektory do soustavy,

dostanu tuto modrou přímku.

Například vezměme -2 krát vektor ‚v‘

a dostaneme se sem.

Pak přičtu ‚x‘ a jsem zde.

Tento vektor má svůj
koncový bod přímo zde,

koncový bod náleží modré přímce.

Obdobně můžu postupovat i dál.

Vezmu-li tento vektor odpovídající vektoru
‚v‘ přenásobenému nějakým skalárem

a přičtu k němu ‚x‘,
vyjde mi tento vektor,

jehož koncový bod (dívejme se
na něj jako na polohový vektor)

značí souřadnice x a y této roviny.

Dostaneme

se sem.

Podobně můžu vypočítat
ostatní vektory přímky.

"L" je množina vektorů,

vedoucích do bodu,

zanesu-li je do soustavy souřadnic

s počátkem v bodě nula,
nula budou končit

v bodech na modré přímce.

Teď mi možná řeknete,
tohle není moc dobrý způsob,

jak vyjádřit přímku.

Dělali jsme to v Algebře 1,
kde jsme pouze řekli,

že y je rovno m krát x plus b.

A vypočítáme sklon prostým odečtením

dvou bodů a uděláme
jednoduchou substituci.

Rovnice o jedné proměnné
znáte zkrátka ze školy.

To je velice přímočaré.

Proč tedy tvoříme nyní množiny
a snažíme se uvažovat

v termínech množin,
vektorů a vektorových součtů?

A pravý důvod je, že snažíme
uvažovat trochu abstraktně.

Je to obecnější.

S tímhle se nám pracovalo
velmi dobře v dvou dimenzích.

Pro dvě dimenze je to fajn.

Tam se pouze staráme o ‚x‘ a ‚y‘.

Ale zvažme situaci...
Tím myslím, v hodinách algebry

učitelé nikdy moc nezmiňují,
nebo v těch hodinách,

kde jsem byl já, se nezmiňují,
jak znázornit přímku v 3D.

Třídimenzionálně.

Možná se tam někdo dostane,

ale určitě neříkají, jak pracovat
s přímkou ve 4 dimenzích

nebo ve 100 dimenzích.

A tohle to pro nás dělá.

Zde jsem definoval ‚x‘ a ‚v‘
jako vektory ve dvou dimenzích.

Jsou to dvou-dimenzionální vektory,
ale mohu to rozšířit

na prostor s libovolným počtem dimenzí.

Pro jistotu se vrhneme ještě jednou

na příklad ve 2D,
kde si představíme jeden z klasických

problémů algebry
a to hledání rovnice přímky.

Avšak budeme to nazývat
množinové vyjádření přímky.

Množinové vyjádření přímky.

Dejme tomu, že máme dva vektory.

Řekněme, vektor ‚a‘, který vytvoříme

jako vektor 2, 1.

Zaneseme si jej do soustavy: 2, 1.

To je můj vektor ‚a‘.

Mějme také vektor ‚b‘,
přiřadíme mu nějakou hodnotu.

Definujeme si ho jako,

řekněme, vektor 0, 3.

Vektor ‚b‘, 0,
a tedy se na pravo nepohnu

a jdu pouze nahoru.

Vidíte, jak můj vektor ‚b‘ vypadá.

Těmto vektorům říkáme polohové vektory,

které jsme zakreslili do soustavy.

Když polohové vektory
zakreslíme do soustavy souřadnic,

koncové body reprezentují
pozici nějakého bodu.

Můžete si je tedy představit téměř
jako souřadnice ve dvou dimenzích.

Tohle je 2D prostor.

Všechny osy, které nakreslím, budou ve 2D.

Kdybych se vás nyní zeptal na parametr

přímky vedoucí našimi dvěma body.

Vlastně se mi jedná o rovnici,
budeme-li se držet

notace z lekcí Algebra 1.
Chci rovnici přímky

procházející těmito dvěma body.

Mohli bychom určit sklon klasickou cestou

a posléze jej

dosadit zpátky.

Místo toho si můžeme říci,

že přímka procházející oběma body...

Dalo by se říci,
že oba vektory leží... Lépe...

Oba vektory

leží na hledané přímce.

Jaký vektor je reprezentován
celou přímkou?

Jinak taky, jaký vektor,
vezeme-li libovolný skalár,

bude představovat
všechny vektory té přímky?

Uděláme to následovně.

Vezmeme...
Tohle je náš vektor ‚b‘,

a co když od něj odečteme minus a?

Naučili jsme se,
myslím v předchozím videu,

že b minus a dá vektor, ležící zde.

Výsledkem je rozdíl obou vektorů.

Toto je výsledný vektor b minus a.

Zamysleme se nad tím.

Co musím přičíst k ‚a‘,
abych dostal ‚b‘?

Musím přičíst b minus a.

Kdybych měl dostat vektor b minus a,

víme, jak na to.

Odečteme vektory a pak je vynásobíme

jakýmkoli skalárem,
dostaneme takto celou přímku.

Musíme být opatrní.

Co se stane, vezmeme-li
nějaký skalár ‚t‘,

a t krát náš vektor b minus a?

Co bude výsledkem?

Minus b vypadá následovně.

Kdybychom jej nanesli
od počátku soustavy,

bude minus b vypadat takto.

Správně?

Začal by v počátku
a byl by rovnoběžný s tímto,

a pak bychom zakreslili
jeho koncový bod.

Vynásobíme-li nějaký
skalár krát b minus a,

dostaneme vlastně body či vektory,

ležící na této přímce.

Vektory ležící na přímce zde.

Ale to přece není, co jsme chtěli.

Hledáme rovnici, parametrické vyjádření,

této zelené přímky, této množiny.

Nazvěme si ji ‚L‘.

Přejeme si zjistit, čemu se ‚L‘ rovná.

Abychom našli odpověď, začneme

s touto přímkou a posuneme ji.

Můžeme ji posunout buď přímo nahoru

přičtením vektoru ‚b‘...

Vezmeme naši žlutou přímku

a přičteme vektor ‚b‘.

A poté každý bod tady bude mít

odpovídající bod zde.

Když přičteme vektor ‚b‘,
vlastně posouváme přímku nahoru.

To by šlo.

Můžeme říci,
přičtěte k tomu vektor ‚b‘.

A pak všechny body
pro libovolný parametr ‚t‘,

který náleží reálným číslům,
budou ležet na zelené přímce.

Druhou možností,
kterou můžeme zvolit,

je přičíst vektor ‚a‘.

Vektor ‚a‘ by libovolný bod odsud

posunul takto sem.

Ano?

Přičetli byste zkrátka vektor ‚a‘.

Oba způsoby nám dají
ve výsledku stejnou zelenou přímku,

o níž nám šlo, tím pádem
postup můžeme definovat taky

jako množinu, kdy k vektoru ‚a‘
přičteme naši žlutou přímku.

‚t‘ krát vektor b minus a,
kde ‚t‘ náleží reálným číslům.

Moje definice přímky by mohla být

jedna z těchto dvou rovnic.

Můžu si zadefinovat mou
přímku jako tuto množinu

nebo jako tuto.

Vypadá to velice abstraktně,

ale jakmile dosadíme čísla, stane se to

skutečně jednoduché.

Bude to jistě jednodušší,
než co jsme dělali v lekcích Algebra 1.

Pro tento konkrétní případ ‚a‘ a ‚b‘

můžeme najít řešení.

Moje přímka je rovna...
Použijme prostě můj první příklad.

Vektor ‚b‘ je vektor 0, 3
a přičteme ‚t‘ krát

vektor b minus a.

Kolik je b minus a?

0 minus 2 je -2, 3 minus 1 je 2...
Pro ‚t‘, které náleží

reálným číslům.

Pokud vám to stále připadá
jako příliš komplikované

definování množiny,
napíšu to v notaci,

která vám snad bude bližší.

Chceme vykreslit body.
Nazveme toto osou y

a tohle osou x. A toto
pro nás bude x-ová souřadnice,

x-ová souřadnice a tohle pro přesnost

taky nazveme y-ová souřadnice,
pak můžeme

zapsat sem rovnici.

Tohle nám udává sklon.

Tohle je x-ová souřadnice, tohle y-ová.

Nebo lépe...

Snažím se být preciznější.

Zde nám pokaždé vyjde
nějaký vektor ‚L1‘, ‚L2‘.

Správně?

Jedná se o množinu vektorů,
kde každý člen

bude vypadat podobně jako tento.

Mohl bych to pojmenovat ‚Li‘.

Toto je souřadnice ‚x‘ a toto ‚y‘

Přepíšu to do podoby,
která vám bude bližší

Míníme, že ‚L‘ je množina,
kterou dostaneme z vektoru ‚x‘,

k němuž přičteme vektor b minus a.

Pokud bych to chtěl napsat
do parametrického tvaru,

můžeme říci, že pokud toto
určuje naši x-ovou souřadnici,

pak ‚x‘ se rovná 0 plus t krát -2.

x je rovno 0 minus 2 krát t,

Rovněž můžeme tvrdit, že ‚y‘,
které je určeno tímto předpisem,

y je rovno 3 plus 2 krát t.

Můžeme tedy jednoduše
přepsat první rovnici

jako x rovná se -2 krát t,
y rovná se 2 krát t plus 3.

Z lekce o parametrických
rovnicích poznáváme,

že se jedná o běžné
parametrické vyjádření

této přímky.

Stále byste mohli namítat,

že tohle byla ztráta času,
zbytečně složité.

Musíš nejdřív definovat
tyhle množiny a vše k tomu.

Nyní vám však chci ukázat něco,
co jste pravděpodobně...

Tedy, pokud jste tohle neděli už dřív...

Ale to platí u všeho...

Ale tohle jste nejspíš nepotkali

ve tradičních hodinách algebry.

Určeme si dva body
a budeme s nimi pracovat

ve třech dimenzích.

Určíme si tedy první vektor.

Budu ho nazývat ‚P1‘

jako polohový vektor.

Budeme mu říkat ‚P1‘.

Jsme ve tří-dimenzionálním prostoru.

Vymyslím si nějaká čísla: -1, 2, 7.

Určeme ještě bod ‚P2‘.

Znovu opakuji, ve 3 dimenzích,

tím pádem má 3 souřadnice.

Mohla by to být souřadnice ‚x‘, ‚y‘ a ‚z‘.

Bod ‚P2‘.

Bude 0, 3 a 4.

Nyní se můžeme ptát,
jak by vypadala přímka

jdoucí přes tyto dva
body ve 3 dimenzích?

Ve 3 dimenzích.

Před chvíli jsem zmínil,
že rovnice této přímky...

nazvěme si tu množinu tvořící přímku

například ‚L‘.

Může být rovna...
Vezměme si jedno z našich ‚P‘,

třeba vektor ‚P1‘, oba dva

jsou vektory, na to pozor.

Vektor ‚P1‘ a k němu
přičteme parametr ‚t‘,

který může představovat čas,
jak jsme si ukázali poprvé.

‚t‘ může být násoben
rozdílem našich dvou vektorů.

t krát P1 minus P2, nezáleží na tom,
v jakém je vezmete pořadí.

To je také pěkná vlatnost.

P1 minus P2.

Mohlo by to být P2 minus P1,
protože nezáleží na tom,

jestli je výsledek kladný či záporný.

‚t‘ je reálné číslo.

Ukažme si to na našich číslech.

Použijeme to zde.

Jaký je výsledek P1 minus P2?

P1 minus P2 se rovná...
Udělejme si trochu prostoru...

P1 minus P2 se rovná:
-1 minus 0 je -1.

2 minus 3 je -1.

7 minus 4 je 3.

A máme náš hledaný vektor.

Naše přímka může být
popsána jako množina vektorů,

které vykresleny
od počátku soustavy souřadnic,

by vypadaly jako množina
těchto pozičních vektorů.

Bylo by to ‚P1‘...
Obarvím to na zeleno...

Tedy 1, 2, 7.

Mohl bych tak klidně dát ‚P2‘...
Přičteme t krát

-1, -1 a 3, kde ‚t‘ náleží množině

reálných čísel.

Tohle by vás ještě nemuselo uspokojit.

Ptáte, jak mám tohle
vykreslit ve 3 dimenzích?

Kde jsou mé ‚x‘, ‚y‘ a ‚z‘?

Pokud vám na nich záleží, řekněme,

že tohle je osa ‚z‘.

Zde máme osu ‚x‘ a osu ‚y‘.

Na naší tabuli to vypadá takto,

osa ‚y‘ prochází tudy.

Co byste mohli udělat, ale já asi
neudělám, je zakreslit to do grafu.

Určující pro naši souřadnici ‚x‘ bude,

podle naší dohody, tento výraz.

Můžeme psát... Radši to poznačím.

Tento výraz bude určovat
naši souřadnici ‚x‘.

Můžeme psát, že x je rovno -1,

opatrně s barvami, -1 plus -1 krát t.

Naše souřadnice ‚x‘.

Naše y-ová souřadnice
bude moci být spočtena

z této části našeho vektorového součtu.
Naše souřadnice ‚y‘.

y se rovná... Napíšu to...

-2 plus -1 krát t.

A nakonec určeme souřadnici ‚z‘

odsud, ‚t‘ se ukáže...
Nebo bych mohl

dát tohle ‚t‘ jako do ostatních rovnic.

Souřadnice z je rovna 7 plus t krát 3,

neboli 7 plus 3 krát t.

Takto jednoduše dostáváme
3 parametrické rovnice.

Ve dvou dimenzích jsem
udělal parametrickou rovnici.

Ale jak jsme se naučili
v Algebře 1, můžete mít

zkrátka ‚y‘ závislé na ‚x‘.

Nemusíte mít parametrické vyjádření.

Avšak pohybujeme-li se ve
3 dimenzích, jediným způsobem,

jak vyjádřit přímku,
jsou parametrické rovnice.

Pokud budeme mít
rovnici s ‚x‘, ‚y‘ a ‚z‘,

třeba x plus y plus z
a položil to rovno nějakému číslu,

nebude to vyjádření přímky.

Budeme o tom mluvit
ve 3 dimenzích o něco víc.

Byla by to rovina.

Jediným způsobem,
jak vyjádřit přímku nebo křívku

ve třech dimenzích,
například chci-li popsat let mouchy

ve třech dimenzích,
musím použit parametrické rovnice.

Nebo když vystřelím
kulku ve třech dimenzích

a jde-li přímo rovně, musím to
vyjádřit parametrickými rovnicemi.

Tedy toto, můžete to nazývat...

Toto jsou rovnice určující
přímku ve třech dimenzích.

Doufám, že vás to zaujalo.

A myslím, že tohle je první
video, při kterém oceníte

lineární algebru jako
způsob řešení problémů,

jako cestu k nalezení řešení u věcí,
které jste ještě neviděli.

Není důvod, abychom se omezovali pouze

na 3 souřadnice jako zde.

Proč to nezkusit s 50 dimenzemi.

Můžeme definovat
přímku v 50 dimenzích.

Množinu vektorů určujících přímku,
kde jsou tyto 2 body.

Ty jsou umístěny v 50 dimenzích,
což je těžké si ukázat.

Avšak můžeme s tím
pracovat díky matematice.