Minima, maxima and critical points

ผมได้วาดฟังก์ชันเพี้ยนๆ นี่ตรงนี้ด้วยสีเหลือง

และสิ่งที่ผมอยากคิดคือว่า

เมื่อไหร่ฟังก์ชันนี้จึงจะมีค่สูงสุด

และต่ำสุด

และในวิดีโอนี้,

เราสมมติว่ากราฟของฟังก์ชันนี้

ลดลง ลดลง และลดลง

เมื่อ x เป็นลบมากขึ้น มากขึ้น,

และฟังก์ชันลดลง ลดลง และลดลง เมื่อ x

ไปไกลกว่าช่วงที่ผมวาดตรงนี้

แล้วค่าสูงสุดของฟังก์ชันนี้เป็นได้คือเท่าไหร่?

ทีนี้, เราดูด้วยตาก็ได้. มันดูเหมือนว่ามันอยู่ตรงนีี้

มันดูเหมือนว่า มันอยู่ตรงนี้

เราจะเรียกนี่ว่า ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (global maximum)

ฟังก์ชันนี้ไม่มีทางมีค่าสูงกว่านี้

เราจึงบอกได้ว่าเรามีค่าสูงสุดสัมบูรณ์อยู่ที่

จุด x-นอต. เพราะ f(x-นอด) มากกว่า

เท่ากับ f(x) สำหรับ x ใดๆ

ในโดเมน

และมันชัดเจนเวลาคุณดูมันแบบนี้

ทีนี้ เรามีจุดต่ำสุดสัมบูรณ์

จากที่ผมวาดมันหรือเปล่า? ปล่า,

ฟังก์ชันนี้มีค่าลบเท่าไหร่ก็ได้

มันเข้าหาลบอนันต์เมื่อ x เข้าใกล้

ลบอนันต์. มันเข้าหาลบอนันต์เมื่อ x

เข้าใกล้ลบอนันต์

แล้วเราจะได้, ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ, เราจะ

ไม่มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์. ทีนี้ขอผมถามอะไรคุณหน่อย

เรามีจุดต่ำสุดท้องถิ่น, หรือจุดสูงสุดท้องถิ่นหรือเปล่า?

เวลาผมพูดว่า minima, มันคือพหูพจน์ของค่าต่ำสุด (minimum)

maxima, มันคือพหูพจน์ของคำว่าค่าสูงสุด (maximum)

แล้วเรามีจุดต่ำสุดท้องถิ่นในนี้ไหม, หรือว่าจุดสูงสุดท้องถิ่น?

ทีนี้, จุดต่ำสุดท้องถิ่น คุณมองมันได้ว่า

คือค่าของฟังก์ชันที่น้อยกว่าจุดรอบๆ มัน

แล้วตรงนี้ มันดูเหมือนว่าเรามีจุดต่ำสุดท้องถิ่นนะ

เรามีจุดต่ำสุดท้องถิ่น

ผมไม่ได้ให้นิยามชัดเจนนักตรงนี้,

แต่วิธีคิดอย่างหนึ่งคือว่า, เราบอกได้ว่า

เรามีจุดต่ำสุดท้องถิ่นที่ x-1, ถ้าเรามี

เขตแดนรอบๆ x-1 โดย f(x-1) น้อยกว่า f(x)

สำหรับ x ใดๆ ในเขตแดนตรงนี้. และนั่น

ก็ดูด้วยตาได้ง่ายๆ. นี่คือจุดต่ำสำหรับ

ค่า f ใดๆ รอบมัน

ตรงนี้

ทีนี้ เรามีจุดต่ำสุดท้องถิ่นอื่นอีกไหม?

อืม ดูเหมือนเราจะไม่มีแล้ว

แล้วค่าต่ำสุดท้องถิ่นล่ะ?

ทีนี้, เจ้านี่ตรงนี้, ขอผมเขียนด้วยสีม่วงนะ

ผมไม่อยากให้คนงง, ที่จริง,

ขอผมใช้สีนี้ดีกว่า

จุดนี่ตรงนี้ ดูเหมือนค่าสูงสุด

ท้องถิ่น. ไม่ใช่ lox, นั่นเป็นเรื่องแซลมอนแล้ว

จุดสูงสุดท้องถิ่น, ตรงนี้

เราบอกได้ว่า ณ จุด x-1, ขอโทษที, ที่จุด

x-2, เรามีจุดสูงสุดท้องถิ่นที่ x-2,

เพราะ f(x-2) มากกว่า f(x) สำหรับค่า x ใดๆ

ที่อยู่ใกล้ๆ x-2

ผมไม่ได้นิยามชัดเจนนัก,

แต่คุณเห็นได้แค่มอง

มันใช้ได้แล้ว. เราได้นิยามคำว่า

ค่าสูงสุด ค่ำต่ำสุด, บางครั้งเรียกว่าค่าสุดขั้ว,

ของฟังก์ชันนี้

ทีนี้เราสามารถระบุได้ไหม ว่าเรารู้อะไร

เกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้บ้าง?

ทีนี้, ลองดูอนุพันธ์ของจุดแต่ละจุด

ณ จุดแรกนี่ตรงนี้, ถ้าเราพยายาม

มองภาพเส้นสัมผัส

ขอผมใช้สีที่สวยกว่าสีน้ำตาลหน่อย

ถ้าผมพยายามมองภาพเส้นสัมผัส, มัน

จะออกมาเป็นแบบนั้น. ความชันตรงนี้เป็น 0

แล้วเราก็บอกว่า f ไพรม์ของ x-นอต เท่ากับ

0

ความชันของเส้นสัมผัสตรงจดุนี้เท่ากับ 0

แล้วตรงนี้ล่ะ? ทีนี้, เหมือนเดิม, เส้นสัมผัส

จะเป็นแบบนั้น

แล้วเหมือนเดิม เราบอกได้ว่า f-ไพรม์ ที่ x-1 เท่ากับ

0

แล้วตรงนี้ล่ะ? ทีนี้, ตรงนี้, เส้นสัมผัส

มันนิยามไม่ได้. เรามีความชันเป็นบวก

แล้วมันก็กระโดด

ไปเป็นความชันลบ

ตรงนี้, f ไพรม์ของ x-2 นั้นนิยามไม่ได้

ขอผมเขียนว่า "ไม่นิยาม" นะ

เราได้ผลที่น่าสนใจ, และย้ำอีกที, ผมไม่ได้พิสูจน์

อะไรรัดกุมให้คุณดูตรงนี้. ผมแค่อยากให้คุณได้

สัญชาตญาณตรงนี้ไป. เราเห็นว่าถ้าเรามีค่าสุดขั้ว,

และเราไม่ได้พูดถึงกรณีที่ x อยู่ตรงจุดปลาย

ของช่วง, แต่อยากพูดให้ชัดว่าผมหมายถึงอะไรบ้าง

เวลาผมพูดถึง x ว่าเป็นจุดปลายของช่วง

เรากำลังบอกว่า, สมมุติว่าฟังก์ชันนั้น,

สมมุติว่าเรามีช่วงตรงนี้

สมมุติว่าฟังก์ชันเริ่มตรงนี้ แล้วไปต่อเรื่อยๆ

นี่ก็คือจุดสูงสุด, แต่มันเป็นจุดปลาย

เราไม่ได้พูดถึงจุดปลายในตอนนี้

เรากำลังพูดถึงจุดที่อยู่ระหว่างกลาง

หรือกรณีที่ช่วงของเราเป็นอนันต์

เราไม่ได้พูดถึงจุดแบบนั้น, หรือจุด

แบบนี้

เรากำลังพูดถึงจุดที่อยู่ตรงกลาง

แล้ว ถ้าคุณมีจุดภายในช่วง

มันจะมีค่าต่ำสุดหรือสูงสุด, แล้วเราจะ

ได้สัญชาตญาณตรงนี้ไป

ดังนั้นค่าสูงสุด หรือต่ำสุดที่ x เท่ากับ a โดยไม่ใช่จุดปลาย,

คุณก็รู้, ถ้าคุณมีจุดต่ำสุดหรือสูงสุด

ที่ x เท่ากับ a ค่าหนึ่ง, และ x อยู่ที่จุดปลาย