Minima, maxima and critical points

Narysowałem żółtym kolorem wykres zwariowanie wyglądającej funkcji,

to czego chciałbym się dowiedzieć o tej funkcji

to kiedy osiąga ona wartości maksymalne

a kiedy minimalne.

Na potrzeby tego filmu,

możemy założyć, że wykres tej funkcji

osiąga coraz mniejsze i mniejsze wartości

kiedy x staje się coraz bardziej ujemny,

oraz wykres osiąga coraz mniejsze wartości również kiedy x zmierza

do końca przedziału, który tutaj przedstawiłem.

Więc co jest maksymalną wartością jaką przyjmuje ta funkcja?

Możemy zaznaczyć sobie pewien punkt na tym wykresie

będzie to dokładnie ten punkt.

I możemy nazwać go globalnym maksimum.

Funkcja nigdy nie osiągnie wartości większej niż ta

możemy więc powiedzieć, że mamy maksimum globalne

w punkcie x zero, ponieważ f(x0) jest większe lub

równe od f(x) dla każdego innego x

z dziedziny.

Jest to dość oczywiste kiedy teraz na to patrzymy.

Czy mamy minimum globalne

w wykresie funkcji, którą narysowałem? Nie.

Przypomnijmy, że wartości dążą do minus nieskończoności

kiedy x dąży do minus nieskończoności,

oraz wartości dążą do minus nieskończoności również kiedy

x dąży do plus nieskończoności.

Więc pozwólcie mi to napisać, nie mamy

globalnego minimum. Teraz pozwól mi zadać pytanie.

Czy mamy tutaj lokalne minima lub lokalne maksima?

Kiedy mówię minima mam na myśli liczbę mnogą od minimum.

Natomiast maksima to liczba mnoga od maksiumum.

Więc, czy mamy tutaj lokalne minima lub minimum?

Minimum lokalne oznacza, że

wartość tej funkcji w danym punkcie jest mniejsza od wartości w punktach dokoła niego.

Więc wygląda na to, że w tym punkcie mamy lokalne minimum.

Mamy lokalne minimum.

Nie będę podawał dokładnej definicji,

ale jedno o czym musimy wiedzieć, możemy powiedzieć, że

mamy minimum lokalne w punkcie x jeden, jeśli

mamy otoczenie x jeden gdzie f(x1) jest mniejsze niż f(x)

dla dowolnego x z tego otoczenia. Jest też

łatwo zuważyć to na wykresie. Jest to punkt położony najniżej

w danym otoczeniu.

Dokładnie tam.

Mamy jakiekolwiek inne lokalne minima?

Nie wygląda na to żebyśmy mieli.

Co z lokalnymi maksimami?

Ten jeden punkt, dokładnie tam, pozwólcie mi zrobić to na fioletowo.

Nie chcę żebyście byli zdezorientowani,

więc pozwólcie, że zrobię to w tym kolorze.

Ten punkt tutaj wygląda jak lokalne

maksimum.

Lokalne maksimum, dokładnie tutaj.

Możemy więc powiedzieć, że w punkcie x jeden, przepraszam

w punkcie x dwa, mamy lokalne maksimum w punkcie x dwa,

ponieważ f(x2) jest większe niż f(x) dla dowolnego x

z okolicy x dwa.

Nie jestem za bardzo dokładny,

ale widać to po prostu patrząc na to.

Tak to jest wystarczające. Udało nam się zidentyfikować wszystkie

maksima i minima, często nazywane ekstremami,

dla tej funkcji.

Teraz jak możemy zidentyfikować ekstrema jeśli wiemy coś

o pochodnej funkcji?

No cóż, spójrzmy na pochodną w każdym z tych punktów.

Więc w pierwszym punkcie, jeśli spróbuję

przedstawić linię styczną,

pozwól mi zrobić to w kolorze lepszym niż brązowy.

Jeśli spóbuję narysować styczną, to

będzie ona wyglądać mniej więcej tak. Nachylenie tutaj jest zerowe.

Tak więc można powiedzieć, że pochodna w punkcie x zero jest równa

zero.

Nachylenie linii stycznej w tym punkcie wynosi zero.

A co tutaj? Cóż, po raz kolejny, styczna

będzie wyglądać mniej więcej tak.

Więc po raz kolejny możemy powiedzieć, że pochodna w punkcie x jeden jest równa

zero.

A co tutaj? Cóż, tutaj, styczna

jest faktycznie nie zdefiniowana. Nachylenie jest dodatnie

wchodząc w ten punkt i od razu zmienia się

na ujemne.

Więc pochodna w punkcie x dwa nie jest zdefiniowana.

Napiszę to: "niezdefiniowana."

Więc mamy tu coś interesującego, ale nie będę wam tego dokładnie udowadniał.

Chcę abyście jedynie użyli to swojej intuicji,

bo jak możemy zauważyć mamy tutaj do czynienia z pewnego rodzaju ekstremum,

ale nie mówimy o sytuacji, w której x jest krańcowym punktem danego przedziału.

Żeby było jasne, co mam na myśli mówiąc, że x nie jest punktem krańcowym danego przedziału, spójrzmy tutaj.

Powiedzmy, że mam funkcję i, że początek naszego przedziału znajduje się tutaj.

Powiedzmy, że funkcja zaczyna się tutaj i biegnie sobie dalej.

To mogłoby być maksimum, ale jest to początek naszego przedziału.

Nie mówimy teraz o punktach krańcowych danego przedziału,

mówimy o sytuacji, gdy mamy punkty znajdujące się pomiędzy punktami krańcowymi

lub o sytuacji, w której dziedzina nie jest określona,

więc nie mówimy o punktach takich jak tamte, czy jak te, mówimy o punktach znajdujących się pomiędzy nimi.

Więc jeśli masz inny punkt niż punkt krańcowy dziedziny i jest to minimum lub maksimum

Jeśli masz punkt ze środka dziedziny, nie krańcowy

minimum albo maksimum

i niech x równa się a

powtórzę: więc jeśli wiesz, że masz do czynienia z minimum lub maksimum i pewien punkt x równa się a i x nie jest punktem krańcowym tego przedziału

to mówi ci to coś interesującego, coś co mówiła nam nasza intuicja.

Widzimy, że pochodna w punkcie x równym a będzie równa zero, albo pochodna w punkcie x równym a nie będzie istnieć.

Tutaj widzimy oba te przypadki: pochodna równa zero, pochodna równa zero, pochodna nie istnieje.

Wiemy jak nazwać takie punkty, których pochodna równa się zero, albo pochodna nie istnieje.

Nazywamy je punktami krytycznymi.

Nazywamy je punktami krytycznymi.

więc dla wykresu naszej funkcji punktami krytycznymi będzie: możemy wypisać x zero, także możemy wypisać x jeden

i pochodna w punkcie x zero jak i pochodna w punkcie x jeden będzie wynosić zero

oraz możemy jeszcze wypisać x dwa, w którym pochodna nie istnieje.

więc jeśli mamy do czynienia z innym punktem niż punkt krańcowy i jest to minimum lub maksimum, to będzie to punkt krytyczny.

Zobaczmy teraz w drugą stronę.

Jeśli najpierw znajdziemy punkt krytyczny, w którym pochodna równa się zero, albo pochodna nie istnieje, to będzie to maksimum lub minimum,

mając to w pamięci wyobraźmy sobie, że mamy punkt w tym miejscu, nazwijmy go sobie x trzy.

Jeżeli spojrzymy na styczną w tym miejscu, to widzimy, że wygląda na to, że pochodna w punkcie x trzy jest równa zero

więc na podstawie definicji punktów krytycznych x trzy jest również punktem krytycznym,

ale to nie znaczy, że jest to minimum lub maksimum,

a więc minimum lub maksimum, które nie jest punktem krańcowym, na pewno będzie punktem krytycznym,

ale samo bycie punktem krytycznym nie jest równoznaczne z tym, że jest to minimum lub maksimum,

więc żeby było jasne: wszystkie z tych punktów krytycznych były punktami minimalnymi lub maksymalnymi.

Ten punkt również jest punktem krytycznym, ale nie jest to ani minimum, ani maksimum.