Minima, maxima and critical points

Ето тук съм начертал една щуро
изглеждаща функция с жълт цвят.

Искам да помисля къде функцията
достига своите максимални

и минимални стойности.

И за целите на настоящия урок,

може да приемем, че
графиката на тази функция

просто продължава да слиза
все по-надолу и по-надолу,

като x приема отрицателни стойности, все
по-големи и по-големи по абсолютна стойност.

А тук графиката слиза все по-надолу, като х излиза извън интервала,

който съм означил тук.

На какво е равна максималната
стойност, която функцията достига?

Можем да преценим това и на око.

Изглежда, че се случва
в ето тази точка
тук.

Може да я наречем
абсолютен максимум.

Абсолютен максимум.

Функцията никога не достига до
по-висока стойност от тази.

Може да кажем, че имаме
абсолютен максимум в точката х0,

защото f от х0 е по-голямo или равно

на f от х за всяка друга стойност
в дефиниционното множество на функцията.

Това е съвсем очевидно,
когато наблюдаваш графиката.

Има ли функцията
абсолютен минимум,

по начина, по който съм я начертал?

Всъщност не.

Функцията може да приема
произволни отрицателни стойности.

Клони към минус безкрайност, когато
х клони към минус безкрайност.

Клони към минус безкрайност, когато
х клони към плюс безкрайност.

Нека да запиша следното.

Функцията няма
абсолютен минимум.

Нека да ти задам един въпрос.

Имаме ли локални минимуми
или максимуми?

Когато казвам "минимуми", това е просто
множествено число на "минимум".

А "максимуми", това е просто
множествено число на "максимум".

Имаме ли локални минимуми или
максимуми на графиката?

Може да си представиш, че
локален минимум означава,

че стойността на функцията
в тази точка

е по-ниска от стойностите
в точките около нея.

Ето тук изглежда, че функцията
има локален минимум.

Имаме локален минимум.

Тук не ти давам строга дефиниция.

Но един начин
да мислиш за това е,

ако кажем, че имаме локален
минимум в точката x1,

то има околност на точката х1,
където f от х1

е по-малка стойност от всяка друга стойност f от х,
за всяко х в тази околност.

Сравнително лесно е да го забележиш.

Тази е по-ниска точка за всяка от стойностите на функцията f

около нея, ето тук.

Имаме ли и други локални минимуми?

Изглежда, че нямаме.

Ами локални максимуми?

Ето един ето тук. Ще го означа с лилаво.

Всъщност, не искам да те обърквам,

затова нека да го направя
с този цвят. Тази точка ето тук

изглежда като локален максимум.

Не е lox (локс)! Това би означавало
пушена сьомга.

Това е локален максимум ето тук.

Може да кажем, че в точката х1,
или по-точно в точката х2,

имаме локален максимум.

f от х2 е по-голяма стойност от f от х,

за всяко друго х в околоността на х2.

Няма да го доказвам строго,

но може да го видиш, като
просто наблюдаваш графиката.

Добре, това е достатъчно.

Открихме всички максимуми и
минимуми, които често са наричани

"екстремуми" за функцията.

Как може да ги идентифицираме,
ако знаехме нещо

за производната на функцията?

Нека да разгледаме производната

във всяка от тези точки.

В тази точка ето тук,

ако се опитаме да начертаем
допирателната...

Нека да използвам по-подходящ
цвят от кафяво.

Ако исках да визуализирам
допирателната,

то тя би изглеждала като нещо такова.

Наклонът в тази точка е равен на 0.

Бихме казали, че f' от х0
е равно на 0.

Наклонът на допирателната
в тази точка е равен на 0.

А на какво е равен наклонът
в тази точка?

Отново допирателната
изглежда като нещо такова.

И отново бихме казали,
че f' от х1 е равно на 0.

А какво се получава
в ето тази точка?

Е, тук допирателната всъщност
не е дефинирана.

Наклонът е положителен, когато
се приближаваме към точката,

а след това внезапно става
отрицателен след нея.

Следователно в тази точка f' от х2
не е дефинирана.

Нека да го запиша като
"не е дефинирана".

Не е дефинирана.

Отново напомням, че в момента
не ти давам строго доказателство.

В настоящия урок просто искам
да придобиеш усещане.

Видяхме какво се случва, ако
имаме някакъв вид екстремум,

но това не е, когато х е крайна
точка от даден интервал.

Нека да изясня за какво
става дума, когато х

е крайна точка от даден интервал.

Нека да кажем, че
функцията се намира

в рамките на този интервал тук.

Нека да кажем, че функцията
започва ето тук,

а след това продължава.

Това ще бъде точка, в която има
максимум, но ще бъде крайна точка.

В момента обаче не става дума
за крайни точки.

Става дума за това, когато имаме
точки в рамките на интервала,

или когато интервалът е безкраен.

Тоест, в момента не говорим
за точки като тази,

или точки като тази.

Говорим за точки, които
се намират в интервала.

Точки в рамките на интервала.

Тоест, ако имаш точка
вътре в даден интервал,

която може да бъде
минимум или максимум.

И разбираме как се случва
на графиката.

Нека една вътрешна за интервала точка,
която е минимум или максимум,

е точката х равно на а.

Тоест, знаеш, че имаш точка
на минимум или максимум

в дадена точка х равно на а,

като х не е крайна точка
от дадения интервал.

Това ни дава интересна
информация.

Или поне усещаме, че е така.

Виждаме, че производната
в точката х равно на а

ще бъде равна на 0.

Или производната в точката х = а
ще бъде недефинирана.

Ще бъде недефинирана.

А във всеки от тези случаи
наблюдаваме, че

тук производната е 0, тук производната е 0, тук производната е недефинирана.

Имаме определен термин за всяка
от тези точки, където производната

е или равна на 0, или не е дефинирана.

Наричаме ги "критични точки".

Критични точки.

За дадената функция

в критичните точки можем
да включим х0,

може да включим и х1.

В точките х0 и х1 производната е 0.

В точката х2 производната
не е дефинирана.

Ако имаме точка на минимум или
максимум, която не е крайна точка,

то тя ще бъде критична точка.

Дали обратното твърдение
обаче ще бъде вярно?

Ако намерим критична точка,
в която производната е 0,

или не е дефинирана, тогава

ще бъде ли тя точка на
минимум или максимум?

За да помислим върху това,
нека да си представим тази точка тук.

Нека да я наречем х3.

Ако наблюдаваме
допирателната ето тук,

т.е. ако разглеждаме наклона ето тук,

изглежда сякаш f'3 е равно на 0.

Тогава като се основаваме на дефиницията,
която дадохме за критични точки,

х3 следва също да бъде
критична точка.

Не изглежда обаче, да е точка
на минимум или максимум.

Следователно, една точка, която е минимум
или максимум, и не е крайна точка,

определено ще бъде критична точка.

Но ако една точка
сама по себе си е критична,

не означава, че тя е
точка на минимум или максимум.

Просто за яснота,
във всички тези точки

се наблюдава минимум
или максимум.

Всички тези точки са
критични точки.

Ето тази обаче не е точка
на минимум или максимум.

В следващия урок ще разглеждаме

как може да ги различиш,
или как може да кажеш,

дали в дадена критична точка
има минимум или максимум.