Calculating dot and cross products with unit vector notation

Đến nay, khi nói về tích vô hướng

và có hướng, tôi đã giới thiệu định nghĩa

một tích nhân với cosin hoặc sin của góc

giữa hai vector.

Nếu không có hình ảnh các vector thì sao?

Không biết góc giữa chúng thì sao?

Sao tính tích vô hướng và tích có hướng?

Vâng, để tôi giải thích lại

cho bạn nha.

Nếu tôi có tích vô hướng của a và b.

Đó là tích của độ lớn a và độ b

nhân với cosin của góc giữa chúng.

a chéo b bằng tích của độ lớn a và b

nhân với sin của góc giữa chúng-

hình chiếu vuông góc của chúng--nhân với

vector vuông góc của cả hai.

Vector đơn vị giáp tuyến, bạn xác định xem

vector vuông góc bằng cách sử dụng

quy tắc bàn tay phải.

Nhưng nếu chúng ta không có các góc theta,

góc giữa chúng thì sao?

Ví dụ, tôi nói rằng vector a,

nếu cung cấp cho bạn dưới dạng kỹ thuật.

Trong kỹ thuật, bạn chỉ đơn giản

phân rã vector thành các phần x, y, z

Vậy, hãy nói rằng vector a là 5i--i chỉ là

vector đơn vị hướng x, - 6j và + 3k.

i, i và k chỉ là các vector đơn vị hướng

x, y và z.

Và 5 là lượng đi theo hướng x.

- 6 là lượng đi theo hướng y.

Và 3 là lượng đi theo hướng z.

Bạn có thể vẽ biểu đồ.

Thực ra tôi đang tìm máy tính đồ thị hóa

để tôi có thể hiển thị tất cả trong video

để bạn hiểu rõ hơn.

Thử coi đây là tất cả bạn có

Và giả sử b, tôi chỉ đang tạo ra chúng

giả sử nó là - 2i, và tất nhiên, ta

làm việc trong ba chiều, + 7j, + 4k.

Có thể vẽ biểu đồ

Nhưng nếu bạn gặp một bài toán và thực sự

thử mô phỏng các vector trong một ứng dụng

máy tính, đây sẽ là cách.

Bạn phân rã thành các thành phần x, y, z

rồi thêm các vector.

Bạn chỉ thêm các thành phần tương ứng

Nhưng làm sao để nhân bằng tích vô hướng

hay tích có hướng?

Thực ra, tôi sẽ không chứng minh nó ở đây

Chỉ nói cách làm.

Tích vô hướng rất dễ tính khi sử dụng

cách biểu diễn này.

Cách khác để viết ký hiệu này,

đôi khi nó ở dạng ngoặc.

Đôi khi họ sẽ viết điều này như 5, - 6, 3

Hay chỉ là độ lớn của các hướng x, y, z.

Tôi chỉ muốn đảm bảo bạn sẽ thoải mái với

các dạng ký hiệu này.

Bạn có thể viết b dưới dạng - 2, 7, 4.

Đều tương tự.

Đừng nản nếu thấy dạng này hay dạng khác

Nhưng dù sao, làm thế nào để lấy a nhân b?

Tôi nghĩ bạn sẽ thấy nó khá dễ dàng.

Bạn chỉ cần nhân các thành phần i, cộng

các thành phần j sau khi nhân, và sau đó

cộng thành phần k sau khi đã nhân.

Vậy sẽ là 5 nhân - 2 cộng - 6 nhân 7 cộng

3 nhân 4, vậy bằng - 10 - 42 + 12.

Sau đó - 52 + 12 bằng - 40.

Là xong.

Đây chỉ là một con số.

Tôi thật sự muốn thử vẽ biểu đồ này trên

đồ thị ba chiều để biết tại sao là - 40

Chúng phải đang đi theo hướng ngược nhau.

Hình chiếu chúng chồng lên nhau và theo

hướng ngược nhau.

Dó là lý do vì sao nhận được số âm.

Mục đích của điều này, tôi không muốn

phụ thuộc trực giác, chỉ là tính toán

khá đơn giản.

Bạn nhân các thành phần x với nhau.

cộng các thành phần y nhân với nhau và

cộng các z nhân với nhau.

Mỗi khi tôi được cho ký hiệu kỹ thuật

hoặc ngoặc, tôi phải tìm tích vô hướng

nó gần như đơn giản hơn và khó mắc lỗi.

Như bạn sẽ thấy, việc lấy tích có hướng

của các vector này khi được cho ký hiệu sẽ

không đơn giản như vậy.

Nhớ rằng, một cách khác có thể

bạn đã làm, bạn có đã tính độ lớn

từng vector này, sau đó có khi đã sử dụng

lượng giác để tìm ra các góc theta và

dùng định nghĩa này

Nhưng tôi nghĩ bạn sẽ đánh giá cách này

đơn giản hơn để làm.

Vậy nên tích vô hướng là rất thú vị.

Bây giờ thử tính tích có hướng được không

Một lần nữa, tôi sẽ không chứng minh nó

Tôi chỉ cho bạn thấy cách làm.

Sau này, chắc sẽ có nhiều yêu cầu

làm điều đó và tôi sẽ chứng minh nó.

Nhưng tích có hướng phức tạp hơn nhiều.

Tôi chưa bao giờ muốn tính tích có hướng

của hai vector trong ký hiệu kỹ thuật.

a chéo b.

Nó bằng nhau.

Vì vậy, đây là một ứng dụng của ma trận.

Khi thực hiện tính định thức, tôi sẽ vẽ

dòng định thức, dòng trên của định thức.

Đây chỉ là cách để bạn

ghi nhớ cách làm.

Nó không giúp bạn hiểu thêm nhưng có thể

hiểu được định nghĩa thực sự.

Số lượng các vector vuông góc với nhau

nhân chúng lại.

Quy tắc bàn tay phải xác định hướng

bạn đang chỉ vào.

Nhưng trong trường hợp kỹ thuật

bạn viết vector đơn vị i, j, k hàng đầu

i, j, k.

Viết vector đầu tiên trong tích có hướng

vì thứ tự rất quan trọng.

Vậy nó là 5, - 6, 3

Sau đó viết vector thứ hai, b là

- 2, 7, 4.

Vậy bạn tính định thức của ma trận 3x3,

làm sao để tính định thức đó?

Vậy đó tương đương với phụ định cho i.

Vậy phụ định cho i, nếu loại bỏ cột này

và hàng này, định thức còn lại, tức là

- 6, 3, 7, 4 nhân i, bạn có thể xem lại

định thức nếu không nhớ cách làm,

nhưng việc tôi làm có thể sẽ giúp bạn nhớ.

Và sau đó, hãy nhớ, cộng, trừ, cộng.

Vậy sau đó trừ phụ định cho j.

Phụ định cho j là gì?

Bạn loại bỏ hàng và cột của j.

Bạn có 5, 3, - 2, 4.

Chúng ta vừa loại bỏ hàng và cột của j.

Và những gì còn lại, đó là các số trong

phụ định của nó.

Đó là cách tôi gọi nó.

j cộng, tôi muốn làm tất cả trên

một dòng để gọn gàng hơn, cộng với

phụ định cho k.

Loại bỏ hàng và cột của k.

Còn lại với 5, - 6, - 2 và 7 nhân k.

Và bây giờ chúng ta tính toán chúng.

Và để tôi tạo ra một chút không gian,

vì tôi đã viết nó quá lớn.

Tôi nghĩ chúng ta không cần nữa.

Vậy chúng ta thu được gì?

Hãy đưa nó lên đây.

Những phụ định 2x2 này khá dễ dàng.

Đây là - 6 nhân 4 và - 7 nhân 3.

Tôi hay hơi ẩu ở đây.

- 24 - 21 nhân i trừ 5 nhân 4 là 20, -

- 2 nhân 3 là -- 6 j, cộng 5 nhân 7 là 35

trừ- 2 nhân - 6

Vậy là ra - 12 k.

Có thể đơn giản điều này là - 24 - 21.

Nó là - 35i, không cần đặt dấu ngoặc

sau đó 20 -- 6?

Đúng vậy, là 20 + 6 là 26

Có dấu trừ ở ngoài.

Vậy là - 26j.

Và đó là 35 - 12, tức là 23.

+ 23k.

Vậy đó là tích có hướng.

Nếu vẽ biểu đồ trong ba chiều, bạn sẽ thấy

Thú vị đấy, bạn sẽ thấy vector,

nếu bài toán tôi đúng, - 35i, - 26j,

+ 23j, vuông góc với cả hai vector này.

Tôi nghĩ tôi sẽ dừng ở đây, và sẽ gặp lại

trong video tiếp theo.

Hy vọng tìm ra chương trình đồ họa vector.

Sẽ thú vị lắm nếu tính tích vô hướng

và có hướng sử dụng các cách tôi vừa chỉ

rồi vẽ biểu đồ

Và chỉ ra nó thực sự hoạt động.

Vector này thực sự vuông góc với cả hai

và chỉ vào hướng bạn dự đoán bằng

quy tắc bàn tay phải.

Gặp lại bạn vào video sau nhé.