Proof of Fundamental Theorem of Calculus

假设我们有一个函数f

该函数在区间a到b是连续的。

我们试试能不能把它画出来。

这是我的y轴。

这边是我的t轴。

我们待会再用x。

这是我的t轴。

然后这边的

是y=f(t)的图像。

我们说该函数在区间a到b是连续的。

所以这是t=a

这是t=b

所以我们说它在整个区间内

是连续的。

现在，我们来定义一个函数F(x)

用蓝色来表示

我们定义F(x)为函数f(t)

的下界a到x的定积分

换个颜色，f(t)dt，

x介于a和b之间，x大于等于a

小于等于b。

换种说法

x在这段区间内。

当你看到这里，你可能会说，

定积分肯定和微积分

不定积分这些有关。

我们暂时还不知道。

我们只知道，

曲线下方从a到x的面积，

x的值到这里。

所以F(x)就是这块面积。

这些是已知的。

我们目前还不知道

这是否和不定积分相关。

我们将通过视频来证明。

只是为了有趣，我们来求f的导数。

我们只需要通过

导数的定义

看一下通过导数的定义

求导会得出什么结论。

F(x)的导数F'(x)--根据定义，

它是当Δx趋于0时，

F(x+Δx)-F(x)

除以F(x+Δx)的极限。

这就是导数的定义。

那么它等于什么？

让我把这些积分带入，重写该公式。

那它就等于

当Δx趋于0时--F(x+Δx)等于多少？

将x带入。

你将得到从a到f(x+Δx)的

根据这个，

f(x)，

减去a到f(t)的dt定积分，

Δx

那么这个表达了什么？

我们只知道，这是一种表示

曲线f在a到x+Δx之间面积的方法。

所以这里是整个面积。

这个部分。

我们已经知道了蓝色部分的表达式。

我用同样蓝色阴影

这片蓝色区域，

等于所有的

已经涂上了阴影。

和这块部分相等。

如果要算上这整块绿色区域，

从a到x+Δx，然后减去

蓝色区域，

哪个颜色还没用过？

要不就用粉色。

不用过了。

还是用紫色。

还剩下这块面积。

还有其他方式表达吗？

这块区域的另一种写法

是x到x+Δx的

定积分

所以，我们可以重写这个表达式，

F(x)的导数--这个是F'(x)

我们可以把它重写为

我们已经知道分子是什么。

绿色区域减去蓝色区域就是紫色区域，

另一种表达这个面积的方式

就是这个。

所以1比上Δx乘以

x到x+Δx的定积分。

表达式

这个和均值定理

定积分的均值定理

告诉我们

我用这种方式表达

a小于等于c，小于

澄清一下

我们关心的是x到x+Δx的区间

x小于等于c

小于等于

x+Δx，

让我画出c。

这边某个地方是c

所以说，如果我在c点取函数的值

这边是f(c)。

所以如果我在c点取函数的值

实际上

就是线段的高，乘以底，

这段区间，如果乘以区间

就是Δx，

x+Δx减去x，得到x。

如果我直接用高乘以底，

就等于曲线以下的面积，

也就是x到x+Δx的定积分

这也是积分均值定理的内容

如果f是连续函数，

那么区间内存在一个点c

函数在c点的值

就是高的均值。

如果使用函数的均值定理

然后乘以底，

就得到了曲线以下的面积。

另一种方法，

你可以说区间内存在点c

f(c)等于1比上Δx