< Return to Video

Proof of Fundamental Theorem of Calculus

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:03
    สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน
  • 0:03 - 0:09
    f ที่ต่อเนื่องบนช่วง a ถึง b
  • 0:09 - 0:12
    ลองดูว่าเรามองภาพมันได้ไหม
  • 0:12 - 0:15
    นี่คือแกน y ของผม
  • 0:15 - 0:18
  • 0:18 - 0:21
    ค่านี่ตรงนี้ ผมอยากให้มันเป็นแกน t
  • 0:21 - 0:23
    เราจะเก็บ x ไว้ใช้ทีหลัง
  • 0:23 - 0:25
    ผมจะเรียกอันนี้ว่าแกน t
  • 0:25 - 0:27
    แล้วสมมุติว่ารูปนี่ตรงนี้
  • 0:27 - 0:29
    คือกราฟของ y เท่ากับ f ของ t
  • 0:29 - 0:32
  • 0:32 - 0:35
    และเรากำลังบอกว่ามันต่อเนื่อง
    บนช่วงจาก a ถึง b
  • 0:35 - 0:37
    นี่คือ t เท่ากับ a
  • 0:37 - 0:39
    นี่คือ t เท่ากับ b
  • 0:39 - 0:42
    เรากำลังบอกว่า มันต่อเนื่อง
  • 0:42 - 0:45
    ตลอดช่วงทั้งหมดนี้
  • 0:45 - 0:52
    เพื่อความสนุก ลองกำหนดฟังก์ชัน
    F ใหญ่ของ x
  • 0:52 - 0:54
    ผมจะใช้สีฟ้าด้วย
  • 0:54 - 0:59
    ลองกำหนด F ใหญ่ของ x ว่าเท่ากับ
    อินทิกรัลจำกัดเขต
  • 0:59 - 1:07
    จาก a คือขอบล่างถึง x ของ f ของ t --
  • 1:07 - 1:12
    ขอผมทำ -- ของ f ของ t dt โดย
  • 1:12 - 1:20
    x อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ a น้อยกว่าเท่ากับ x
  • 1:20 - 1:21
    น้อยกว่าเท่ากับ b
  • 1:21 - 1:23
    นั่นก็แค่วิธีบอกอีกอย่าง
  • 1:23 - 1:26
    ว่า x อยู่ในช่วงนี่ตรงนี้
  • 1:26 - 1:28
    ทีนี้ เมื่อคุณเห็นอันนี้ คุณอาจบอกว่า โอ้
  • 1:28 - 1:31
    อินทิกรัลจำกัดเขต อันนี้ต้องเกี่ยวกับ
    การหาอนุพันธ์
  • 1:31 - 1:32
    ปฏิยานุพันธ์อะไรพวกนั้น
  • 1:32 - 1:34
    แต่เราไม่รู้ตอนนี้
  • 1:34 - 1:37
    ที่เรารู้ตอนนี้คือว่า นี่คือ
  • 1:37 - 1:43
    พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f ระหว่าง a กับ x ระหว่าง a
  • 1:43 - 1:47
    และสมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือ x
  • 1:47 - 1:54
    f ของ x ก็แค่พื้นที่นี่ตรงนี้
  • 1:54 - 1:56
    นั่นคือที่เรารู้
  • 1:56 - 1:59
    เรายังไม่รู้ว่ามันเกี่ยวอะไรกับปฏิยานุพันธ์
  • 1:59 - 1:59
  • 1:59 - 2:03
    นั่นคือสิ่งที่เราพยายามจะพิสูจน์ในวิดีโอนี้
  • 2:03 - 2:06
    เพื่อความสนุก ลองหาอนุพันธ์ของ f กัน
  • 2:06 - 2:08
    และเราจะทำโดยใช้
  • 2:08 - 2:10
    นิยามของอนุพันธ์แล้ว
  • 2:10 - 2:13
    สิ่งทีเราได้เวลาเราหาอนุพันธ์โดยใช้
  • 2:13 - 2:16
    นิยามของอนุพันธ์
  • 2:16 - 2:20
    อนุพันธ์ F ไพรม์ของ x -- นิยามนี้
  • 2:20 - 2:25
    ของอนุพันธ์ มันคือลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
  • 2:25 - 2:32
    0 ของ F ใหญ่ของ x บวกเดลต้า x ลบ F
  • 2:32 - 2:38
    ของ x ทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
  • 2:38 - 2:41
    นี่ก็แค่นิยามของอนุพันธ์
  • 2:41 - 2:44
    แล้ว อันนี้เท่ากับอะไร?
  • 2:44 - 2:46
    ขอผมเขียนมันใหม่
    โดยใช้อินทิกรัลเหล่านี้ตรงนี้นะ
  • 2:46 - 2:52
    อันนี้จะเท่ากับลิมิต
  • 2:52 - 2:59
    เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของ --
    f ของ x บวกเดลต้า x คืออะไร?
  • 2:59 - 3:01
    ใส่ x ในนี้ตรงนี้
  • 3:01 - 3:05
    คุณจะได้อินทิกรัลจำกัดเขตจาก a
    ถึง x บวกเดลต้า
  • 3:05 - 3:09
    x ของ f ของ t dt
  • 3:09 - 3:11
    แล้วจากนั้น คุณจะ
  • 3:11 - 3:17
    ลบตัวนี้ F ของ x ซึ่งเราเขียนไปแล้ว
  • 3:17 - 3:25
    ว่าเป็นอินทิกรัลจำกัดเขต
    จาก a ถึง x ของ f ของ t dt
  • 3:25 - 3:27
    แล้วทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
  • 3:27 - 3:33
  • 3:33 - 3:35
    ทีนี้ อันนี้แสดงอะไร?
  • 3:35 - 3:37
    นึกดู เราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับอินทิกรัลจำกัดเขต
  • 3:37 - 3:39
    หรือการจัดการกับ
  • 3:39 - 3:40
    ปฏิยานุพันธ์อะไรพวกนั้นเลย
  • 3:40 - 3:42
    เราแค่รู้ว่า นี่คือวิธีบอก
  • 3:42 - 3:46
    พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f ระหว่าง a กับ x บวกเดลต้า x
  • 3:46 - 3:54
  • 3:54 - 4:01
    มันก็คือพื้นที่นี่ทั้งหมดนี้
  • 4:01 - 4:02
    มันคือส่วนนี้
  • 4:02 - 4:06
    เรารู้ว่าส่วนสีฟ้าคืออะไร
  • 4:06 - 4:09
    ขอผมเขียนด้วยสีฟ้าเฉดเดิมนะ
  • 4:09 - 4:11
    ตัวสีฟ้านี่ตรงนี้
  • 4:11 - 4:15
    อันนี้เท่ากับทั้งหมดนี้
  • 4:15 - 4:16
    เราแรเงามันไปแล้ว
  • 4:16 - 4:19
    มันเท่ากับทั้งหมดนี่ตรงนี้
  • 4:19 - 4:22
    ถ้าคุณนำพื้นที่สีเขียวทั้งหมดมา
  • 4:22 - 4:25
    ซึ่งก็คือจาก a ถึง x บวกเดลต้า x แล้วลบ
  • 4:25 - 4:26
    พื้นที่สีฟ้าซึ่งก็คือสิ่งที่เรา
  • 4:26 - 4:29
    มีในตัวเศษพอดี แล้วคุณจะเหลืออะไร?
  • 4:29 - 4:32
    คุณจะเหลือ --
  • 4:32 - 4:34
    ผมยังไม่ได้ใช้สีอะไร?
  • 4:34 - 4:36
    บางที ผมจะใช้สีชมพูนี้
  • 4:36 - 4:38
    ไม่ ผมใช้ไปแล้ว
  • 4:38 - 4:39
    ผมจะใช้สีบานเย็นนี่แล้วกัน
  • 4:39 - 4:43
    คุณจะเหลือพื้นที่นี่ตรงนี้
  • 4:43 - 4:45
    วิธีเขียนมันอีกอย่างคืออะไร?
  • 4:45 - 4:48
    วิธีเขียนพื้นที่นี่ตรงนี้อีกอย่าง
  • 4:48 - 4:52
    คืออินทิกรัลจำกัดเขตระหว่าง x กับ x
  • 4:52 - 4:59
    บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
  • 4:59 - 5:01
    เราเขียนพจน์ทั้งหมดนี้ใหม่ได้ อนุพันธ์
  • 5:01 - 5:04
    ของ F ใหญ่ของ x -- นี่คือ F ใหญ่
  • 5:04 - 5:09
    ไพรม์ของ x -- เราเขียนมันใหม่
    ได้ว่าเท่ากับลิมิต
  • 5:09 - 5:14
    เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 --
    อันนี้ผมเขียนได้เป็น 1
  • 5:14 - 5:17
    ส่วนเดลต้า x คูณตัวเศษ
  • 5:17 - 5:19
    และเราหาตัวเศษไปแล้ว
  • 5:19 - 5:22
    พื้นที่สีเขียวลบพื้นที่สีฟ้า ก็แค่พื้นที่สีม่วง
  • 5:22 - 5:25
    หรือวิธีเขียนพื้นที่นั้นอีกอย่าง
  • 5:25 - 5:27
    คือพจน์นี่ตรงนี้
  • 5:27 - 5:29
    1 ส่วนเดลต้า x คูณอินทิกรัลจำกัดเขต
  • 5:29 - 5:38
    จาก x ถึง x บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
  • 5:38 - 5:41
    ทีนี้ พจน์นี้น่าสนใจ
  • 5:41 - 5:44
    มันอาจดูคุ้นๆ จากทฤษฏีบท
  • 5:44 - 5:46
    ค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต
  • 5:46 - 5:49
    ทฤษฏีบทค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต
  • 5:49 - 6:10
    บอกเราว่ามี c ในช่วง
  • 6:10 - 6:13
    -- ผมจะเขียนแบบนี้นะ --
  • 6:13 - 6:18
    เมื่อ a น้อยกว่าเท่ากับ c ซึ่งน้อยกว่า --
  • 6:18 - 6:20
    ที่จริง ขอผมบอกให้ชัด
  • 6:20 - 6:22
    ช่วงที่เราสนใจคือระหว่าง x กับ x
  • 6:22 - 6:27
    บวกเดลต้า x -- โดย x น้อยกว่า
  • 6:27 - 6:28
    เท่ากับ c ซึ่งน้อยกว่า
  • 6:28 - 6:37
    เท่ากับ x บวกเดลต้า x โดยที่ฟังก์ชันหาค่า
  • 6:37 - 6:41
    ที่ c -- ขอผมเขียน c นี่นะ
  • 6:41 - 6:43
    มันมี c สักแห่งในนี้ --
  • 6:43 - 6:46
    ถ้าผมหาค่าฟังก์ชันที่ c นี้ --
  • 6:46 - 6:49
    นั่นคีอ f ของ c ตรงนี้
  • 6:49 - 6:51
    ถ้าผมหาค่าฟังก์ชันที่
  • 6:51 - 6:52
    c นี้ ซึ่งก็คือ
  • 6:52 - 6:56
    ความสูงของเส้นนี้ แล้วผมคูณด้วยฐาน
  • 6:56 - 6:58
    ช่วงนี้ ถ้าผมคูณมันด้วยช่วง --
  • 6:58 - 7:00
    และช่วงนี้ก็แค่เดลต้า x
  • 7:00 - 7:02
    x บวกเดลต้า x ลบ x ก็แค่เดลต้า x
  • 7:02 - 7:07
    ถ้าเราคูณความสูงด้วยฐาน
  • 7:07 - 7:14
    อันนี้จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
  • 7:14 - 7:24
    ซึ่งก็คืออินทิกรัลจำกัดเขตจาก x บวกเดลต้า x
    ของ f ของ t dt
  • 7:24 - 7:27
    นี่คือสิ่งที่ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
    ของอินทิกรัลบอกเรา
  • 7:27 - 7:29
    ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
  • 7:29 - 7:34
    จะมี c ในช่วงนี้ระหว่างจุดปลายสองจุด
  • 7:34 - 7:38
    ที่ฟังก์ชันหาค่าที่ c
  • 7:38 - 7:40
    คุณมองมันเป็นความสูงเฉลี่ยก็ได้
  • 7:40 - 7:42
    ถ้าคุณหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
  • 7:42 - 7:43
    และคุณคูณมันด้วยฐาน
  • 7:43 - 7:45
    คุณจะได้พื้นที่ของเส้นโค้ง
  • 7:45 - 7:46
    หรือวิธีเขียนอีกอย่าง
  • 7:46 - 7:50
    คุณบอกได้ว่า มี c ในช่วงนั้น
  • 7:50 - 7:53
    ที่ f ของ c เท่ากับ 1 ส่วนเดลต้า x -- ผมแค่
  • 7:53 - 7:58
    หารทั้งสองข้างด้วยเดลต้า x --
    คูณอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x
  • 7:58 - 8:03
    ถึง x บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
  • 8:03 - 8:05
    และอันนี้มักถูกมองว่าเป็นค่าเฉลี่ย
  • 8:05 - 8:06
    ของฟังก์ชันบนช่วงนั้น
  • 8:06 - 8:07
    ทำไมล่ะ?
  • 8:07 - 8:11
    ส่วนนี่ตรงนี้ให้พื้นที่
  • 8:11 - 8:13
    แล้วคุณหารพื้นที่ด้วยฐาน
  • 8:13 - 8:15
    คุณจึงได้ความสูงเฉลี่ย
  • 8:15 - 8:16
    หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า
  • 8:16 - 8:19
    ถ้าคุณหาความสูงนี่ตรงนี้ แล้วคูณมัน
  • 8:19 - 8:21
    ด้วยฐาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากที่
  • 8:21 - 8:25
    มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งพอดี
  • 8:25 - 8:26
    อันนี้มีประโยชน์ เพราะมัน
  • 8:26 - 8:30
    คือสิ่งที่เราได้เป็นอนุพันธ์ของ, F ไพรม์ของ x
  • 8:30 - 8:34
    มันจึงต้องมี c โดยที่ f ของ c
  • 8:34 - 8:35
    เท่ากับตัวนี้
  • 8:35 - 8:39
    หรือเราบอกได้ว่าลิมิต --
    ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ใหม่
  • 8:39 - 8:40
    ด้วยสีใหม่นะ
  • 8:40 - 8:48
    มันจะมี c ในช่วง
  • 8:48 - 8:56
    x ถึง x บวกเดลต้า x เมื่อ f ไพรม์ของ x
    ซึ่งเรารู้
  • 8:56 - 9:00
    ว่าเท่ากับอันนี้ เราบอกได้แล้วว่า เท่ากับลิมิต
  • 9:00 - 9:03
    เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
  • 9:03 - 9:04
    และแทนที่จะเขียนอันนี้ เรารู้
  • 9:04 - 9:08
    ว่ามันมี c ที่เท่ากับทั้งหมดนี้
  • 9:08 - 9:10
    f ของ c
  • 9:10 - 9:12
    เรามาถึงเส้นชัยแล้ว
  • 9:12 - 9:15
    เราต้องหาว่าลิมิตเมื่อเดลต้า x
  • 9:15 - 9:18
    เข้าใกล้ 0 ของ f ของ c คืออะไร
  • 9:18 - 9:21
    ข้อสังเกตสำคัญคือส่วนนี่ตรงนี้
  • 9:21 - 9:25
    เรารู้ว่า c ถูกประกบระหว่าง x กับ x
  • 9:25 - 9:26
    บวกเดลต้า x
  • 9:26 - 9:28
    โดยสัญชาตญาณแล้ว คุณบอกได้ว่า ดูสิ
  • 9:28 - 9:33
    เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 เส้นสีเขียวนี่ตรงนี้
  • 9:33 - 9:37
    เลื่อนไปทางซ้ายมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อมันเข้าใกล้
  • 9:37 - 9:44
    เส้นสีฟ้านี้ c ต้องอยู่ระหว่างกลาง
  • 9:44 - 9:46
    c จึงเข้าหา x
  • 9:46 - 9:51
    เรารู้โดยสัญชาตญาณว่า c เข้าใกล้
  • 9:51 - 9:57
    x เมื่อ x เข้าใกล้ 0
  • 9:57 - 10:00
    หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า f ของ c
  • 10:00 - 10:07
    เข้าใกล้ f ของ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
  • 10:07 - 10:09
    โดยสัญชาตญาณแล้ว เราบอกได้ว่า
  • 10:09 - 10:14
    อันนี้จะเท่ากับ f ของ x
  • 10:14 - 10:16
    ทีนี้ คุณอาจบอกว่า โอเค มันคือสัญชาตญาณ
  • 10:16 - 10:18
    แต่เรากำลังพิสูจน์อยู่นะซาล
  • 10:18 - 10:19
  • 10:19 - 10:21
    ฉันอยากรู้ให้แน่ชัดว่า x จะเข้าใกล้ c
  • 10:21 - 10:24
    ไม่ใช่ทำแค่วาดแผนภาพนี้
  • 10:24 - 10:25
    และบอกว่า c จะ
  • 10:25 - 10:27
    ต้องเข้าใกล้ x มากขึ้นเรื่อยๆ
  • 10:27 - 10:29
    และถ้าคุณต้องการอย่างนั้น คุณก็แค่
  • 10:29 - 10:30
    อ้างทฤษฏีบทประกบ
  • 10:30 - 10:32
    และเวลาใช้ทฤษฎีบทประกบ
  • 10:32 - 10:35
    คุณแค่ต้องมอง c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
  • 10:35 - 10:35
    และมันเป็นจริงๆ
  • 10:35 - 10:38
    ขึ้นอยู่กับเดลต้า x, c จะห่างไปทางซ้าย
  • 10:38 - 10:39
    หรือทางขวาก็ได้
  • 10:39 - 10:41
    และผมเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น
  • 10:41 - 10:47
    x น้อยกว่าเท่ากับ c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
  • 10:47 - 10:50
    ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ x บวกเดลต้า x
  • 10:50 - 10:53
    ตอนนี้คุณเห็นว่า c ถูกประกบระหว่าง x กับ
  • 10:53 - 10:54
    x บวกเดลต้า x เสมอ
  • 10:54 - 10:59
    แต่ลิมิตของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 เป็นเท่าใด?
  • 10:59 - 11:01
    x ไม่ขึ้นอยู่กับเดลต้า x อยู่แล้ว
  • 11:01 - 11:04
    อันนี้จึงเท่ากับ x
  • 11:04 - 11:11
    แล้วลิมิตของ x บวกเดลต้า x
    เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ล่ะ?
  • 11:11 - 11:12
    เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
  • 11:12 - 11:14
    อันนี้จะเท่ากับ x
  • 11:14 - 11:17
    ถ้าอันนี้เข้าใกล้ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
  • 11:17 - 11:19
    และมันน้อยกว่าฟังก์ชันนี้
  • 11:19 - 11:22
    และถ้าอันนี้เข้าใกล้ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
  • 11:22 - 11:24
    และมันมากกว่าตัวนี้เสมอ
  • 11:24 - 11:27
    เราก็จะรู้จากทฤษฎีประกบ หรือทฤษฎีแซนด์วิช
  • 11:27 - 11:30
    ว่าลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
  • 11:30 - 11:34
    0 ของ c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
  • 11:34 - 11:38
    จะเท่ากับ x เช่นกัน
  • 11:38 - 11:41
    มันต้องเข้าใกล้ค่าเดียวกันกับตัวนั้นและตัวนั้น
  • 11:41 - 11:43
    มันถูกประกบอยู่ตรงกลาง
  • 11:43 - 11:45
    และนั่นคือ -- เราใช้ทฤษฎีประกบ
  • 11:45 - 11:47
    -- มันจะรัดกุมขึ้น --
  • 11:47 - 11:49
    เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้
  • 11:49 - 11:53
    เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0, c จะเข้าใกล้ x
  • 11:53 - 11:58
    ถ้า c เข้าใกล้ x, แล้ว f ของ c
    จะเข้าใกล้ f ของ x
  • 11:58 - 12:01
    แล้วเราก็พิสูจน์เสร็จแล้ว
  • 12:01 - 12:02
    F เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
  • 12:02 - 12:07
    เรานิยาม F ใหญ่แบบนี้
  • 12:07 - 12:10
    และเราสามารถใช้นิยามของอนุพันธ์
  • 12:10 - 12:14
    เพื่อหาได้ว่าอนุพันธ์ของ F ใหญ่ของ x
  • 12:14 - 12:22
    เท่ากับ f ของ x
  • 12:22 - 12:25
    ย้ำอีกครั้ง ทำไมมันถึงสำคัญ?
  • 12:25 - 12:28
    มันบอกเราว่า ถ้าคุณมีฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
  • 12:28 - 12:29
    f -- นั่นคือสิ่งที่เราสมมุติ
  • 12:29 - 12:33
    เราสมมุติว่า f ต่อเนื่องสำหรับช่วงนั้น --
  • 12:33 - 12:35
    มันจะมีฟังก์ชัน -- คุณแค่
  • 12:35 - 12:37
    นิยามฟังก์ชันแบบนี้ ว่าเป็นพื้นที่
  • 12:37 - 12:41
    ใต้เส้นโค้งระหว่างจุดปลายจุดหนึ่ง
    หรือจุดเริ่มต้น
  • 12:41 - 12:43
    ของช่วงกับ x ค่าหนึ่ง -- ถ้าคุณนิยาม
  • 12:43 - 12:46
    ฟังก์ชันแบบนั้น แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้
  • 12:46 - 12:49
    จะเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นของคุณ
  • 12:49 - 12:52
    หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า คุณจะ
  • 12:52 - 12:55
    ได้ปฏิยานุพันธ์เสมอ ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
  • 12:55 - 12:56
    มีปฏิยานุพันธ์
  • 12:56 - 12:58
    และมันเป็นสิ่งที่เจ๋งทีเดียว
  • 12:58 - 13:00
    ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ มีปฏิยานุพันธ์
  • 13:00 - 13:04
    มันจะเท่ากับ F ใหญ่ของ x
  • 13:04 - 13:06
    และนี่คือสาเหตุที่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐาน
  • 13:06 - 13:07
    ของแคลคูลัส
  • 13:07 - 13:10
    มันเชื่อมโยงแนวคิดสองอย่างนี้เข้าด้วยกัน
  • 13:10 - 13:11
    คุณมีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
  • 13:11 - 13:15
    คุณมีแนวคิดเรื่องอนุพันธ์
  • 13:15 - 13:16
    แล้วในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์
  • 13:16 - 13:18
    คุณมีแนวคิดเรื่องอินทิกรัล
  • 13:18 - 13:21
    ก่อนบทพิสูจน์นี้ เรามองอินทิกรัล
  • 13:21 - 13:23
    เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
  • 13:23 - 13:24
    มันคือสัญลักษณ์เพื่อบอกว่า
  • 13:24 - 13:26
    พื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นเท่าใด
  • 13:26 - 13:29
    แต่ตอนนี้เราได้หาความเชื่อมโยงว่า
  • 13:29 - 13:32
    มันมีความเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัลกับอนุพันธ์
  • 13:32 - 13:35
    หรือพูดให้เจาะจงคือ
    ความเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัล
  • 13:35 - 13:36
    กับปฏิยานุพันธ์
  • 13:36 - 13:40
    มันเชื่อมโยงแคลคูลัสทั้งหมดอย่าง
  • 13:40 - 13:42
    แน่นหนา -- และเราคุ้นเคยกับมัน
  • 13:42 - 13:45
    จนตอนนี้เราบอกได้ว่ามันก็ใช่อยู่แล้ว
  • 13:45 - 13:46
    แต่มันไม่ได้ชัดเจนแต่แรก
  • 13:46 - 13:47
    นึกดู เรามักคิดถึงอินทิกรัล
  • 13:47 - 13:49
    ว่าคือการหาปฏิยานุพันธ์
  • 13:49 - 13:50
    แต่มันไม่ชัดเจน
  • 13:50 - 13:52
    ถ้าคุณมองอินทิกรัลเป็นแต่พื้นที่
  • 13:52 - 13:53
    คุณจะต้องคิดผ่านกระบวนการนี้
  • 13:53 - 13:58
    แล้วบอกว่า โอ้ มันไม่ง่ายเลย
    การเชื่อมโยงกับการ
  • 13:58 - 13:59
    หาอนุพันธ์นี้
Title:
Proof of Fundamental Theorem of Calculus
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
14:00

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.