สมมุติว่าเรามีฟังก์ชัน
f ที่ต่อเนื่องบนช่วง a ถึง b
ลองดูว่าเรามองภาพมันได้ไหม
นี่คือแกน y ของผม
ค่านี่ตรงนี้ ผมอยากให้มันเป็นแกน t
เราจะเก็บ x ไว้ใช้ทีหลัง
ผมจะเรียกอันนี้ว่าแกน t
แล้วสมมุติว่ารูปนี่ตรงนี้
คือกราฟของ y เท่ากับ f ของ t
และเรากำลังบอกว่ามันต่อเนื่อง
บนช่วงจาก a ถึง b
นี่คือ t เท่ากับ a
นี่คือ t เท่ากับ b
เรากำลังบอกว่า มันต่อเนื่อง
ตลอดช่วงทั้งหมดนี้
เพื่อความสนุก ลองกำหนดฟังก์ชัน
F ใหญ่ของ x
ผมจะใช้สีฟ้าด้วย
ลองกำหนด F ใหญ่ของ x ว่าเท่ากับ
อินทิกรัลจำกัดเขต
จาก a คือขอบล่างถึง x ของ f ของ t --
ขอผมทำ -- ของ f ของ t dt โดย
x อยู่ในช่วงนี้ เมื่อ a น้อยกว่าเท่ากับ x
น้อยกว่าเท่ากับ b
นั่นก็แค่วิธีบอกอีกอย่าง
ว่า x อยู่ในช่วงนี่ตรงนี้
ทีนี้ เมื่อคุณเห็นอันนี้ คุณอาจบอกว่า โอ้
อินทิกรัลจำกัดเขต อันนี้ต้องเกี่ยวกับ
การหาอนุพันธ์
ปฏิยานุพันธ์อะไรพวกนั้น
แต่เราไม่รู้ตอนนี้
ที่เรารู้ตอนนี้คือว่า นี่คือ
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f ระหว่าง a กับ x ระหว่าง a
และสมมุติว่าค่านี่ตรงนี้คือ x
f ของ x ก็แค่พื้นที่นี่ตรงนี้
นั่นคือที่เรารู้
เรายังไม่รู้ว่ามันเกี่ยวอะไรกับปฏิยานุพันธ์
นั่นคือสิ่งที่เราพยายามจะพิสูจน์ในวิดีโอนี้
เพื่อความสนุก ลองหาอนุพันธ์ของ f กัน
และเราจะทำโดยใช้
นิยามของอนุพันธ์แล้ว
สิ่งทีเราได้เวลาเราหาอนุพันธ์โดยใช้
นิยามของอนุพันธ์
อนุพันธ์ F ไพรม์ของ x -- นิยามนี้
ของอนุพันธ์ มันคือลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
0 ของ F ใหญ่ของ x บวกเดลต้า x ลบ F
ของ x ทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
นี่ก็แค่นิยามของอนุพันธ์
แล้ว อันนี้เท่ากับอะไร?
ขอผมเขียนมันใหม่
โดยใช้อินทิกรัลเหล่านี้ตรงนี้นะ
อันนี้จะเท่ากับลิมิต
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 ของ --
f ของ x บวกเดลต้า x คืออะไร?
ใส่ x ในนี้ตรงนี้
คุณจะได้อินทิกรัลจำกัดเขตจาก a
ถึง x บวกเดลต้า
x ของ f ของ t dt
แล้วจากนั้น คุณจะ
ลบตัวนี้ F ของ x ซึ่งเราเขียนไปแล้ว
ว่าเป็นอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก a ถึง x ของ f ของ t dt
แล้วทั้งหมดนั้นส่วนเดลต้า x
ทีนี้ อันนี้แสดงอะไร?
นึกดู เราไม่รู้อะไรเกี่ยวกับอินทิกรัลจำกัดเขต
หรือการจัดการกับ
ปฏิยานุพันธ์อะไรพวกนั้นเลย
เราแค่รู้ว่า นี่คือวิธีบอก
พื้นที่ใต้เส้นโค้ง f ระหว่าง a กับ x บวกเดลต้า x
มันก็คือพื้นที่นี่ทั้งหมดนี้
มันคือส่วนนี้
เรารู้ว่าส่วนสีฟ้าคืออะไร
ขอผมเขียนด้วยสีฟ้าเฉดเดิมนะ
ตัวสีฟ้านี่ตรงนี้
อันนี้เท่ากับทั้งหมดนี้
เราแรเงามันไปแล้ว
มันเท่ากับทั้งหมดนี่ตรงนี้
ถ้าคุณนำพื้นที่สีเขียวทั้งหมดมา
ซึ่งก็คือจาก a ถึง x บวกเดลต้า x แล้วลบ
พื้นที่สีฟ้าซึ่งก็คือสิ่งที่เรา
มีในตัวเศษพอดี แล้วคุณจะเหลืออะไร?
คุณจะเหลือ --
ผมยังไม่ได้ใช้สีอะไร?
บางที ผมจะใช้สีชมพูนี้
ไม่ ผมใช้ไปแล้ว
ผมจะใช้สีบานเย็นนี่แล้วกัน
คุณจะเหลือพื้นที่นี่ตรงนี้
วิธีเขียนมันอีกอย่างคืออะไร?
วิธีเขียนพื้นที่นี่ตรงนี้อีกอย่าง
คืออินทิกรัลจำกัดเขตระหว่าง x กับ x
บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
เราเขียนพจน์ทั้งหมดนี้ใหม่ได้ อนุพันธ์
ของ F ใหญ่ของ x -- นี่คือ F ใหญ่
ไพรม์ของ x -- เราเขียนมันใหม่
ได้ว่าเท่ากับลิมิต
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 --
อันนี้ผมเขียนได้เป็น 1
ส่วนเดลต้า x คูณตัวเศษ
และเราหาตัวเศษไปแล้ว
พื้นที่สีเขียวลบพื้นที่สีฟ้า ก็แค่พื้นที่สีม่วง
หรือวิธีเขียนพื้นที่นั้นอีกอย่าง
คือพจน์นี่ตรงนี้
1 ส่วนเดลต้า x คูณอินทิกรัลจำกัดเขต
จาก x ถึง x บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
ทีนี้ พจน์นี้น่าสนใจ
มันอาจดูคุ้นๆ จากทฤษฏีบท
ค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต
ทฤษฏีบทค่าเฉลี่ยของอินทิกรัลจำกัดเขต
บอกเราว่ามี c ในช่วง
-- ผมจะเขียนแบบนี้นะ --
เมื่อ a น้อยกว่าเท่ากับ c ซึ่งน้อยกว่า --
ที่จริง ขอผมบอกให้ชัด
ช่วงที่เราสนใจคือระหว่าง x กับ x
บวกเดลต้า x -- โดย x น้อยกว่า
เท่ากับ c ซึ่งน้อยกว่า
เท่ากับ x บวกเดลต้า x โดยที่ฟังก์ชันหาค่า
ที่ c -- ขอผมเขียน c นี่นะ
มันมี c สักแห่งในนี้ --
ถ้าผมหาค่าฟังก์ชันที่ c นี้ --
นั่นคีอ f ของ c ตรงนี้
ถ้าผมหาค่าฟังก์ชันที่
c นี้ ซึ่งก็คือ
ความสูงของเส้นนี้ แล้วผมคูณด้วยฐาน
ช่วงนี้ ถ้าผมคูณมันด้วยช่วง --
และช่วงนี้ก็แค่เดลต้า x
x บวกเดลต้า x ลบ x ก็แค่เดลต้า x
ถ้าเราคูณความสูงด้วยฐาน
อันนี้จะเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
ซึ่งก็คืออินทิกรัลจำกัดเขตจาก x บวกเดลต้า x
ของ f ของ t dt
นี่คือสิ่งที่ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
ของอินทิกรัลบอกเรา
ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
จะมี c ในช่วงนี้ระหว่างจุดปลายสองจุด
ที่ฟังก์ชันหาค่าที่ c
คุณมองมันเป็นความสูงเฉลี่ยก็ได้
ถ้าคุณหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน
และคุณคูณมันด้วยฐาน
คุณจะได้พื้นที่ของเส้นโค้ง
หรือวิธีเขียนอีกอย่าง
คุณบอกได้ว่า มี c ในช่วงนั้น
ที่ f ของ c เท่ากับ 1 ส่วนเดลต้า x -- ผมแค่
หารทั้งสองข้างด้วยเดลต้า x --
คูณอินทิกรัลจำกัดเขตจาก x
ถึง x บวกเดลต้า x ของ f ของ t dt
และอันนี้มักถูกมองว่าเป็นค่าเฉลี่ย
ของฟังก์ชันบนช่วงนั้น
ทำไมล่ะ?
ส่วนนี่ตรงนี้ให้พื้นที่
แล้วคุณหารพื้นที่ด้วยฐาน
คุณจึงได้ความสูงเฉลี่ย
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า
ถ้าคุณหาความสูงนี่ตรงนี้ แล้วคูณมัน
ด้วยฐาน คุณจะได้สี่เหลี่ยมมุมฉากที่
มีพื้นที่เท่ากับพื้นที่ใต้เส้นโค้งพอดี
อันนี้มีประโยชน์ เพราะมัน
คือสิ่งที่เราได้เป็นอนุพันธ์ของ, F ไพรม์ของ x
มันจึงต้องมี c โดยที่ f ของ c
เท่ากับตัวนี้
หรือเราบอกได้ว่าลิมิต --
ขอผมเขียนทั้งหมดนี้ใหม่
ด้วยสีใหม่นะ
มันจะมี c ในช่วง
x ถึง x บวกเดลต้า x เมื่อ f ไพรม์ของ x
ซึ่งเรารู้
ว่าเท่ากับอันนี้ เราบอกได้แล้วว่า เท่ากับลิมิต
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
และแทนที่จะเขียนอันนี้ เรารู้
ว่ามันมี c ที่เท่ากับทั้งหมดนี้
f ของ c
เรามาถึงเส้นชัยแล้ว
เราต้องหาว่าลิมิตเมื่อเดลต้า x
เข้าใกล้ 0 ของ f ของ c คืออะไร
ข้อสังเกตสำคัญคือส่วนนี่ตรงนี้
เรารู้ว่า c ถูกประกบระหว่าง x กับ x
บวกเดลต้า x
โดยสัญชาตญาณแล้ว คุณบอกได้ว่า ดูสิ
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0 เส้นสีเขียวนี่ตรงนี้
เลื่อนไปทางซ้ายมากขึ้นเรื่อยๆ เมื่อมันเข้าใกล้
เส้นสีฟ้านี้ c ต้องอยู่ระหว่างกลาง
c จึงเข้าหา x
เรารู้โดยสัญชาตญาณว่า c เข้าใกล้
x เมื่อ x เข้าใกล้ 0
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า f ของ c
เข้าใกล้ f ของ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
โดยสัญชาตญาณแล้ว เราบอกได้ว่า
อันนี้จะเท่ากับ f ของ x
ทีนี้ คุณอาจบอกว่า โอเค มันคือสัญชาตญาณ
แต่เรากำลังพิสูจน์อยู่นะซาล
ฉันอยากรู้ให้แน่ชัดว่า x จะเข้าใกล้ c
ไม่ใช่ทำแค่วาดแผนภาพนี้
และบอกว่า c จะ
ต้องเข้าใกล้ x มากขึ้นเรื่อยๆ
และถ้าคุณต้องการอย่างนั้น คุณก็แค่
อ้างทฤษฏีบทประกบ
และเวลาใช้ทฤษฎีบทประกบ
คุณแค่ต้องมอง c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
และมันเป็นจริงๆ
ขึ้นอยู่กับเดลต้า x, c จะห่างไปทางซ้าย
หรือทางขวาก็ได้
และผมเขียนอันนี้ใหม่ได้เป็น
x น้อยกว่าเท่ากับ c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
ซึ่งน้อยกว่าเท่ากับ x บวกเดลต้า x
ตอนนี้คุณเห็นว่า c ถูกประกบระหว่าง x กับ
x บวกเดลต้า x เสมอ
แต่ลิมิตของ x เมื่อ x เข้าใกล้ 0 เป็นเท่าใด?
x ไม่ขึ้นอยู่กับเดลต้า x อยู่แล้ว
อันนี้จึงเท่ากับ x
แล้วลิมิตของ x บวกเดลต้า x
เมื่อ x เข้าใกล้ 0 ล่ะ?
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
อันนี้จะเท่ากับ x
ถ้าอันนี้เข้าใกล้ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
และมันน้อยกว่าฟังก์ชันนี้
และถ้าอันนี้เข้าใกล้ x เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0
และมันมากกว่าตัวนี้เสมอ
เราก็จะรู้จากทฤษฎีประกบ หรือทฤษฎีแซนด์วิช
ว่าลิมิตเมื่อเดลต้า x เข้าใกล้
0 ของ c เป็นฟังก์ชันของเดลต้า x
จะเท่ากับ x เช่นกัน
มันต้องเข้าใกล้ค่าเดียวกันกับตัวนั้นและตัวนั้น
มันถูกประกบอยู่ตรงกลาง
และนั่นคือ -- เราใช้ทฤษฎีประกบ
-- มันจะรัดกุมขึ้น --
เพื่อให้ได้ผลลัพธ์นี้
เมื่อเดลต้า x เข้าใกล้ 0, c จะเข้าใกล้ x
ถ้า c เข้าใกล้ x, แล้ว f ของ c
จะเข้าใกล้ f ของ x
แล้วเราก็พิสูจน์เสร็จแล้ว
F เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
เรานิยาม F ใหญ่แบบนี้
และเราสามารถใช้นิยามของอนุพันธ์
เพื่อหาได้ว่าอนุพันธ์ของ F ใหญ่ของ x
เท่ากับ f ของ x
ย้ำอีกครั้ง ทำไมมันถึงสำคัญ?
มันบอกเราว่า ถ้าคุณมีฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
f -- นั่นคือสิ่งที่เราสมมุติ
เราสมมุติว่า f ต่อเนื่องสำหรับช่วงนั้น --
มันจะมีฟังก์ชัน -- คุณแค่
นิยามฟังก์ชันแบบนี้ ว่าเป็นพื้นที่
ใต้เส้นโค้งระหว่างจุดปลายจุดหนึ่ง
หรือจุดเริ่มต้น
ของช่วงกับ x ค่าหนึ่ง -- ถ้าคุณนิยาม
ฟังก์ชันแบบนั้น แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้
จะเท่ากับฟังก์ชันต่อเนื่องนั้นของคุณ
หรือวิธีบอกอีกอย่างคือว่า คุณจะ
ได้ปฏิยานุพันธ์เสมอ ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ
มีปฏิยานุพันธ์
และมันเป็นสิ่งที่เจ๋งทีเดียว
ฟังก์ชันต่อเนื่องใดๆ มีปฏิยานุพันธ์
มันจะเท่ากับ F ใหญ่ของ x
และนี่คือสาเหตุที่มันเรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐาน
ของแคลคูลัส
มันเชื่อมโยงแนวคิดสองอย่างนี้เข้าด้วยกัน
คุณมีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์
คุณมีแนวคิดเรื่องอนุพันธ์
แล้วในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์
คุณมีแนวคิดเรื่องอินทิกรัล
ก่อนบทพิสูจน์นี้ เรามองอินทิกรัล
เป็นพื้นที่ใต้เส้นโค้ง
มันคือสัญลักษณ์เพื่อบอกว่า
พื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นเท่าใด
แต่ตอนนี้เราได้หาความเชื่อมโยงว่า
มันมีความเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัลกับอนุพันธ์
หรือพูดให้เจาะจงคือ
ความเชื่อมโยงระหว่างอินทิกรัล
กับปฏิยานุพันธ์
มันเชื่อมโยงแคลคูลัสทั้งหมดอย่าง
แน่นหนา -- และเราคุ้นเคยกับมัน
จนตอนนี้เราบอกได้ว่ามันก็ใช่อยู่แล้ว
แต่มันไม่ได้ชัดเจนแต่แรก
นึกดู เรามักคิดถึงอินทิกรัล
ว่าคือการหาปฏิยานุพันธ์
แต่มันไม่ชัดเจน
ถ้าคุณมองอินทิกรัลเป็นแต่พื้นที่
คุณจะต้องคิดผ่านกระบวนการนี้
แล้วบอกว่า โอ้ มันไม่ง่ายเลย
การเชื่อมโยงกับการ
หาอนุพันธ์นี้