Proof of Fundamental Theorem of Calculus

Digamos que temos uma função f
contínua no intervalo de a até b

-veremos se conseguimos visualizar isso-

Este é o meu eixo y.

Quero fazer disso o meu eixo t.

Vamos usar x mais tarde,
então quero que este seja o eixo t.

E digamos que isto é o gráfico
de y igual a f de t.

Y igual a f de t.

E dizemos que o gráfico
é contínuo no intervalo de a a b.

Isto é t igual a a,
e isso é t igual a b.

Estamos dizendo que o gráfico é contínuo.

Contínuo em todo o intervalo.

Vamos definir uma função F de x
-farei isso em azul-

Definiremos F de x como sendo igual
a integral definida à partir de a.

Desde o limite inferior a
ao limite superior x de f de t

dt, onde x está no intervalo

a é menor ou igual a x
e x é menor ou igual a b.

É outro jeito de dizer que x
está neste intervalo.

Você pode dizer: "a integral definida
está relacionada com a diferenciação

e anti-derivadas,

mas não aprendemos isso ainda".

O que sabemos até agora,

é que essa é a área embaixo
da curva f entre a e x.

Digamos, entre a e x -

f de x é apenas esta área aqui.

É tudo o que sabemos.

Não sabemos se está relacionado
com as anti-derivadas.

É isso que demonstraremos neste vídeo.

Vamos calcular a derivada de f

e faremos isso usando a definição

de derivadas para ver o que obtemos

quando calculamos a derivada
usando a definição.

A derivada F linha de x -

a definição de derivada
é o limite quando delta x

tende a zero de F de x mais delta x

menos F de x.

Tudo isso dividido por delta x.

Isto é apenas a definição de derivada.

E será igual a que?

Deixe-me reescrever
usando essas integrais.

Isso será igual ao limite
à medida que delta x tende a zero -

o que é f de x mais delta x?

Coloque um x aqui.

Você obterá a integral definida
de a a x mais delta x de f de t dt-

e depois irá subtrair f de x,
que já escrevemos na forma de integral

de a a x de f de t dt.

E tudo isso é dividido por delta x.

O que isso representa?

Lembre-se: não sabemos nada
sobre integrais definidas;

estamos lidando com anti-derivadas.

Sabemos que isto é outra forma de dizer

a área abaixo da curva f entre a
e x mais delta x.

É toda esta área.

Isso é essa parte.

Sabemos esta coisa em azul.

É igual a tudo isto aqui.

Se você pegasse toda esta área em verde,
que vai de a a x mais delta x

e subtraísse toda esta área em azul,
-que é o que calculamos-

com o que você ficaria?

Ficaríamos com -

que cor ainda não usei? -

Vou usar rosa.

Não. Já usei essa cor.

Usarei roxo.

Você ficaria com esta área.

Qual é outra forma de escrever isso?

Outra forma de escrever isso

é a integral definida
entre x e x mais delta x

de f de t dt.

Podemos reescrever toda esta expressão.

A derivada de F de x, F linha de x, -

Podemos reescrevê-la como o limite
à medida que delta x tendendo a zero.

Posso escrever isso como um sobre delta x

vezes o numerador,

que já sabemos que é a área em verde
menos a área em azul, que é a área roxa.

Outra maneira de resolver isso

é denotar que a área é esta expressão.

Um sobre delta x vezes a integral definida

de x a x mais delta x de F de t dt.

Esta expressão é interessante.

Parece familiar ao teorema do valor
intermediário de integrais definidas.

O teorema do valor intermediário
de integrais definidas diz

que existe um c no intervalo -

Escreverei deste jeito.

onde a é menor ou igual a c
que é menor ou igual a b.

Deixe-me esclarecer isso.

O intervalo que nos interessa
é entre x e x mais delta x,

onde x é menor ou igual a c,
que é menor ou igual a x mais delta x,

tal que f de c -

Deixe-me desenhar c.

Há um c por aqui.

Se eu calculasse f de c -

f de c está aqui-

Se eu calculasse f de c,

que seria a altura desta linha,

e multiplicasse pela base
- este intervalo- que é delta x -

x mais delta x menos x é apenas delta x.

Se multiplicarmos a altura vezes a base,

obteremos a área abaixo da curva.

Será igual à área abaixo da curva,

que é a integral definida de x
a x mais delta x,

f de t, dt.

Isso é o que o teorema
do valor intermediário nos diz.

Se f é uma função contínua, existe um c

neste intervalo entre o limite inferior
e o limite superior, onde f de c

é a altura média.

E se você calcular
esse valor médio da função

e multiplicar pela base,

você obterá a área da curva.

Outra maneira de escrever isso
é dizer que existe um c

no intervalo onde f de c
é igual a um sobre delta x.

Estou apenas dividindo
ambos lados por delta x.

Vexes o intervalo definido
de x a x mais delta x f de t dt.

Geralmente, isso é visto como a valor
intermediário da função no intervalo.

Por que?

Esta parte aqui é a área,

e dividindo a área pela base
você obtém a altura média.

Outro jeito de dizer isso é:
se você calculasse a altura aqui

e multiplicasse pela base,
obteria um retângulo

que tem a mesma área
que a área abaixo da curva.

Isto é útil, pois é exatamente

o que obtivemos
como a derivada de F linha de x.

Deve haver um c, tal que f de c

é igual a isso.

Deixe-me reescrever isso em outra cor.

Existe um c

no intervalo x mais x mais delta x

onde F linha de x, que sabemos
que é igual a isso,

é igual ao limite

quando delta x tende a zero - em vez
de escrever isso, sabemos

que há um c que é igual a tudo isso,
de f de c.

Já estamos acabando.

Apenas temos que calcular o limite
à medida que delta x tende a zero

de f de c,
e a maior realização é isto daqui.

Sabemos que c está sempre entre x

e x mais delta x.
Intuitivamente você pode dizer

que à medida que delta x
se aproxima de zero,

a linha verde se move mais
e mais para a esquerda.

E à medida que se aproxima da linha azul,

c tem que estar no meio,
então c se aproxima de x.

Sabemos isso intuitivamente.

Sabemos intuitivamente que c
se aproxima de x

à medida que delta x se aproxima de zero,
ou podemos dizer que f de c

se aproxima de f de x
quando delta x tende a zero.

Podemos dizer, intuitivamente,

que isso é igual a f de x.

Você pode dizer: "isso é intuitivo,

mas estamos trabalhando com demonstrações.

Diga como posso saber
que x se aproxima de c.

Não faça apenas este diagrama

onde c tem que se aproximar
cada vez mais de x".

Se quiser, podemos usar
o teorema do confronto.

Para usar o teorema do confronto,

você deve ver c
como uma função de delta x.

E realmente é.

Dependendo do delta x, c se aproximará

da esquerda ou da direita,
então posso reescrever a expressão

como x menor ou igual a c,
c sendo uma função de delta x,

que é menor ou igual a x mais delta x.

Agora você vê que c
está sempre entre x e x mais delta x.

Mas qual o limite de x
à medida que delta x tende a zero?

x não depende de delta x,

então será igual a x.

Qual o limite de x mais delta x,
à medida que delta x tende a zero?

À medida que delta x se aproxima
de zero, isto será igual a x.

Se delta x se aproxima de zero
e é menor que essa função,

e se isso se aproxima de x
à medida que delta x se aproxima de zero,

e é sempre maior do que isso,

então sabemos pelo teorema do confronto,

que o limite com delta x tendendo a zero
de c como uma função de delta x

é igual a x.

Tem que se aproximar da mesma coisa

na qual está no meio.

Por isso usamos o teorema do confronto.

É um pouco mais rigoroso

de obter este resultado.

À medida que delta x se aproxima
de zero, c se aproxima de x.

Se c se aproxima de x, então f de c

se aproxima de f de x.
E temos a nossa demonstração.

F é uma função contínua.

Definimos F deste jeito,

e conseguimos usar a definição de derivada

para calcular a derivada de F de x,

que é igual a f de x.

Mais uma vez, por que isso é importante?

Isso noz diz que se você tem
qualquer função contínua f -

assumimos que f

é contínua no intervalo-

existe uma função-

você pode definir a função
como a área embaixo da curva

entre o começo do intervalo e um delta x-

Se você definir a função dessa forma,

a derivada da função será igual
a sua função contínua.

Ou você pode dizer
que sempre terá uma anti-derivada.

Qualquer função contínua
tem uma anti-derivada.

Será F de x.

Por isso é chamado
de Teorema Fundamental do Cálculo.

Junta essas duas ideias.

E você tem o Cálculo Diferencial.

Você tem a ideia de derivada

e no cálculo integral
você tem a ideia de integral.

Antes desta demonstração, vimos a integral
como a área embaixo da curva.

Era apenas uma notação
para dizer "área embaixo da curva".

Mas agora fizemos uma relação.

Existe uma relação
entre a integral e a derivada.

Ou uma relação entre a integral
e a anti-derivada.

Isso conecta todo o Cálculo.

E estamos tão acostumados agora,

que podemos dizer isso de maneira óbvia,
mas antes não era assim.

Lembre-se, vemos as integrais

como uma anti-derivada,
mas isso não estava claro.

Se você visse a integral
apenas como a área,

você iria por este processo e diria:
"isso está relacionado".

Está relacionado com a derivação.

Legendado por: [Pilar Dib]