Digamos que temos uma função f contínua no intervalo de a até b
-veremos se conseguimos visualizar isso-
Este é o meu eixo y.
Quero fazer disso o meu eixo t.
Vamos usar x mais tarde, então quero que este seja o eixo t.
E digamos que isto é o gráfico de y igual a f de t.
Y igual a f de t.
E dizemos que o gráfico é contínuo no intervalo de a a b.
Isto é t igual a a, e isso é t igual a b.
Estamos dizendo que o gráfico é contínuo.
Contínuo em todo o intervalo.
Vamos definir uma função F de x -farei isso em azul-
Definiremos F de x como sendo igual a integral definida à partir de a.
Desde o limite inferior a ao limite superior x de f de t
dt, onde x está no intervalo
a é menor ou igual a x e x é menor ou igual a b.
É outro jeito de dizer que x está neste intervalo.
Você pode dizer: "a integral definida está relacionada com a diferenciação
e anti-derivadas,
mas não aprendemos isso ainda".
O que sabemos até agora,
é que essa é a área embaixo da curva f entre a e x.
Digamos, entre a e x -
f de x é apenas esta área aqui.
É tudo o que sabemos.
Não sabemos se está relacionado com as anti-derivadas.
É isso que demonstraremos neste vídeo.
Vamos calcular a derivada de f
e faremos isso usando a definição
de derivadas para ver o que obtemos
quando calculamos a derivada usando a definição.
A derivada F linha de x -
a definição de derivada é o limite quando delta x
tende a zero de F de x mais delta x
menos F de x.
Tudo isso dividido por delta x.
Isto é apenas a definição de derivada.
E será igual a que?
Deixe-me reescrever usando essas integrais.
Isso será igual ao limite à medida que delta x tende a zero -
o que é f de x mais delta x?
Coloque um x aqui.
Você obterá a integral definida de a a x mais delta x de f de t dt-
e depois irá subtrair f de x, que já escrevemos na forma de integral
de a a x de f de t dt.
E tudo isso é dividido por delta x.
O que isso representa?
Lembre-se: não sabemos nada sobre integrais definidas;
estamos lidando com anti-derivadas.
Sabemos que isto é outra forma de dizer
a área abaixo da curva f entre a e x mais delta x.
É toda esta área.
Isso é essa parte.
Sabemos esta coisa em azul.
É igual a tudo isto aqui.
Se você pegasse toda esta área em verde, que vai de a a x mais delta x
e subtraísse toda esta área em azul, -que é o que calculamos-
com o que você ficaria?
Ficaríamos com -
que cor ainda não usei? -
Vou usar rosa.
Não. Já usei essa cor.
Usarei roxo.
Você ficaria com esta área.
Qual é outra forma de escrever isso?
Outra forma de escrever isso
é a integral definida entre x e x mais delta x
de f de t dt.
Podemos reescrever toda esta expressão.
A derivada de F de x, F linha de x, -
Podemos reescrevê-la como o limite à medida que delta x tendendo a zero.
Posso escrever isso como um sobre delta x
vezes o numerador,
que já sabemos que é a área em verde menos a área em azul, que é a área roxa.
Outra maneira de resolver isso
é denotar que a área é esta expressão.
Um sobre delta x vezes a integral definida
de x a x mais delta x de F de t dt.
Esta expressão é interessante.
Parece familiar ao teorema do valor intermediário de integrais definidas.
O teorema do valor intermediário de integrais definidas diz
que existe um c no intervalo -
Escreverei deste jeito.
onde a é menor ou igual a c que é menor ou igual a b.
Deixe-me esclarecer isso.
O intervalo que nos interessa é entre x e x mais delta x,
onde x é menor ou igual a c, que é menor ou igual a x mais delta x,
tal que f de c -
Deixe-me desenhar c.
Há um c por aqui.
Se eu calculasse f de c -
f de c está aqui-
Se eu calculasse f de c,
que seria a altura desta linha,
e multiplicasse pela base - este intervalo- que é delta x -
x mais delta x menos x é apenas delta x.
Se multiplicarmos a altura vezes a base,
obteremos a área abaixo da curva.
Será igual à área abaixo da curva,
que é a integral definida de x a x mais delta x,
f de t, dt.
Isso é o que o teorema do valor intermediário nos diz.
Se f é uma função contínua, existe um c
neste intervalo entre o limite inferior e o limite superior, onde f de c
é a altura média.
E se você calcular esse valor médio da função
e multiplicar pela base,
você obterá a área da curva.
Outra maneira de escrever isso é dizer que existe um c
no intervalo onde f de c é igual a um sobre delta x.
Estou apenas dividindo ambos lados por delta x.
Vexes o intervalo definido de x a x mais delta x f de t dt.
Geralmente, isso é visto como a valor intermediário da função no intervalo.
Por que?
Esta parte aqui é a área,
e dividindo a área pela base você obtém a altura média.
Outro jeito de dizer isso é: se você calculasse a altura aqui
e multiplicasse pela base, obteria um retângulo
que tem a mesma área que a área abaixo da curva.
Isto é útil, pois é exatamente
o que obtivemos como a derivada de F linha de x.
Deve haver um c, tal que f de c
é igual a isso.
Deixe-me reescrever isso em outra cor.
Existe um c
no intervalo x mais x mais delta x
onde F linha de x, que sabemos que é igual a isso,
é igual ao limite
quando delta x tende a zero - em vez de escrever isso, sabemos
que há um c que é igual a tudo isso, de f de c.
Já estamos acabando.
Apenas temos que calcular o limite à medida que delta x tende a zero
de f de c, e a maior realização é isto daqui.
Sabemos que c está sempre entre x
e x mais delta x. Intuitivamente você pode dizer
que à medida que delta x se aproxima de zero,
a linha verde se move mais e mais para a esquerda.
E à medida que se aproxima da linha azul,
c tem que estar no meio, então c se aproxima de x.
Sabemos isso intuitivamente.
Sabemos intuitivamente que c se aproxima de x
à medida que delta x se aproxima de zero, ou podemos dizer que f de c
se aproxima de f de x quando delta x tende a zero.
Podemos dizer, intuitivamente,
que isso é igual a f de x.
Você pode dizer: "isso é intuitivo,
mas estamos trabalhando com demonstrações.
Diga como posso saber que x se aproxima de c.
Não faça apenas este diagrama
onde c tem que se aproximar cada vez mais de x".
Se quiser, podemos usar o teorema do confronto.
Para usar o teorema do confronto,
você deve ver c como uma função de delta x.
E realmente é.
Dependendo do delta x, c se aproximará
da esquerda ou da direita, então posso reescrever a expressão
como x menor ou igual a c, c sendo uma função de delta x,
que é menor ou igual a x mais delta x.
Agora você vê que c está sempre entre x e x mais delta x.
Mas qual o limite de x à medida que delta x tende a zero?
x não depende de delta x,
então será igual a x.
Qual o limite de x mais delta x, à medida que delta x tende a zero?
À medida que delta x se aproxima de zero, isto será igual a x.
Se delta x se aproxima de zero e é menor que essa função,
e se isso se aproxima de x à medida que delta x se aproxima de zero,
e é sempre maior do que isso,
então sabemos pelo teorema do confronto,
que o limite com delta x tendendo a zero de c como uma função de delta x
é igual a x.
Tem que se aproximar da mesma coisa
na qual está no meio.
Por isso usamos o teorema do confronto.
É um pouco mais rigoroso
de obter este resultado.
À medida que delta x se aproxima de zero, c se aproxima de x.
Se c se aproxima de x, então f de c
se aproxima de f de x. E temos a nossa demonstração.
F é uma função contínua.
Definimos F deste jeito,
e conseguimos usar a definição de derivada
para calcular a derivada de F de x,
que é igual a f de x.
Mais uma vez, por que isso é importante?
Isso noz diz que se você tem qualquer função contínua f -
assumimos que f
é contínua no intervalo-
existe uma função-
você pode definir a função como a área embaixo da curva
entre o começo do intervalo e um delta x-
Se você definir a função dessa forma,
a derivada da função será igual a sua função contínua.
Ou você pode dizer que sempre terá uma anti-derivada.
Qualquer função contínua tem uma anti-derivada.
Será F de x.
Por isso é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo.
Junta essas duas ideias.
E você tem o Cálculo Diferencial.
Você tem a ideia de derivada
e no cálculo integral você tem a ideia de integral.
Antes desta demonstração, vimos a integral como a área embaixo da curva.
Era apenas uma notação para dizer "área embaixo da curva".
Mas agora fizemos uma relação.
Existe uma relação entre a integral e a derivada.
Ou uma relação entre a integral e a anti-derivada.
Isso conecta todo o Cálculo.
E estamos tão acostumados agora,
que podemos dizer isso de maneira óbvia, mas antes não era assim.
Lembre-se, vemos as integrais
como uma anti-derivada, mas isso não estava claro.
Se você visse a integral apenas como a área,
você iria por este processo e diria: "isso está relacionado".
Está relacionado com a derivação.
Legendado por: [Pilar Dib]