1
00:00:00,000 --> 00:00:09,410
Digamos que temos uma função f
contínua no intervalo de a até b

2
00:00:09,410 --> 00:00:12,310
-veremos se conseguimos visualizar isso-

3
00:00:12,310 --> 00:00:17,790
Este é o meu eixo y.

4
00:00:18,970 --> 00:00:20,600
Quero fazer disso o meu eixo t.

5
00:00:20,600 --> 00:00:24,940
Vamos usar x mais tarde,
então quero que este seja o eixo t.

6
00:00:24,940 --> 00:00:29,680
E digamos que isto é o gráfico
de y igual a f de t.

7
00:00:29,690 --> 00:00:31,820
Y igual a f de t.

8
00:00:31,820 --> 00:00:34,760
E dizemos que o gráfico
é contínuo no intervalo de a a b.

9
00:00:34,760 --> 00:00:38,800
Isto é t igual a a,
e isso é t igual a b.

10
00:00:38,810 --> 00:00:41,190
Estamos dizendo que o gráfico é contínuo.

11
00:00:41,190 --> 00:00:45,410
Contínuo em todo o intervalo.

12
00:00:45,410 --> 00:00:53,800
Vamos definir uma função F de x
-farei isso em azul-

13
00:00:53,800 --> 00:01:00,390
Definiremos F de x como sendo igual
a integral definida à partir de a.

14
00:01:00,390 --> 00:01:10,530
Desde o limite inferior a
ao limite superior x de f de t

15
00:01:10,540 --> 00:01:16,360
dt, onde x está no intervalo

16
00:01:16,360 --> 00:01:21,490
a é menor ou igual a x
e x é menor ou igual a b.

17
00:01:21,490 --> 00:01:26,450
É outro jeito de dizer que x
está neste intervalo.

18
00:01:26,450 --> 00:01:30,950
Você pode dizer: "a integral definida
está relacionada com a diferenciação

19
00:01:30,950 --> 00:01:32,030
e anti-derivadas,

20
00:01:32,030 --> 00:01:34,060
mas não aprendemos isso ainda".

21
00:01:34,060 --> 00:01:36,230
O que sabemos até agora,

22
00:01:36,230 --> 00:01:42,180
é que essa é a área embaixo
da curva f entre a e x.

23
00:01:42,180 --> 00:01:47,340
Digamos, entre a e x -

24
00:01:47,340 --> 00:01:53,660
f de x é apenas esta área aqui.

25
00:01:53,670 --> 00:01:55,670
É tudo o que sabemos.

26
00:01:55,670 --> 00:01:59,110
Não sabemos se está relacionado
com as anti-derivadas.

27
00:01:59,110 --> 00:02:02,790
É isso que demonstraremos neste vídeo.

28
00:02:02,790 --> 00:02:06,180
Vamos calcular a derivada de f

29
00:02:06,180 --> 00:02:08,889
e faremos isso usando a definição

30
00:02:08,889 --> 00:02:11,240
de derivadas para ver o que obtemos

31
00:02:11,240 --> 00:02:14,360
quando calculamos a derivada
usando a definição.

32
00:02:14,360 --> 00:02:18,700
A derivada F linha de x -

33
00:02:18,700 --> 00:02:24,180
a definição de derivada
é o limite quando delta x

34
00:02:24,180 --> 00:02:29,178
tende a zero de F de x mais delta x

35
00:02:29,178 --> 00:02:33,720
menos F de x.

36
00:02:33,720 --> 00:02:37,660
Tudo isso dividido por delta x.

37
00:02:37,660 --> 00:02:41,490
Isto é apenas a definição de derivada.

38
00:02:41,490 --> 00:02:43,640
E será igual a que?

39
00:02:43,640 --> 00:02:46,120
Deixe-me reescrever
usando essas integrais.

40
00:02:46,120 --> 00:02:55,700
Isso será igual ao limite
à medida que delta x tende a zero -

41
00:02:55,700 --> 00:02:58,830
o que é f de x mais delta x?

42
00:02:58,830 --> 00:03:00,520
Coloque um x aqui.

43
00:03:00,520 --> 00:03:09,140
Você obterá a integral definida
de a a x mais delta x de f de t dt-

44
00:03:09,140 --> 00:03:19,610
e depois irá subtrair f de x,
que já escrevemos na forma de integral

45
00:03:19,620 --> 00:03:24,420
de a a x de f de t dt.

46
00:03:24,420 --> 00:03:32,640
E tudo isso é dividido por delta x.

47
00:03:32,640 --> 00:03:34,760
O que isso representa?

48
00:03:34,760 --> 00:03:37,370
Lembre-se: não sabemos nada
sobre integrais definidas;

49
00:03:37,370 --> 00:03:39,960
estamos lidando com anti-derivadas.

50
00:03:39,960 --> 00:03:41,920
Sabemos que isto é outra forma de dizer

51
00:03:41,920 --> 00:03:53,730
a área abaixo da curva f entre a
e x mais delta x.

52
00:03:53,730 --> 00:04:00,680
É toda esta área.

53
00:04:00,680 --> 00:04:02,480
Isso é essa parte.

54
00:04:02,480 --> 00:04:05,100
Sabemos esta coisa em azul.

55
00:04:05,100 --> 00:04:19,130
É igual a tudo isto aqui.

56
00:04:19,149 --> 00:04:23,840
Se você pegasse toda esta área em verde,
que vai de a a x mais delta x

57
00:04:23,840 --> 00:04:27,710
e subtraísse toda esta área em azul,
-que é o que calculamos-

58
00:04:27,710 --> 00:04:29,490
com o que você ficaria?

59
00:04:29,490 --> 00:04:31,340
Ficaríamos com -

60
00:04:31,340 --> 00:04:34,330
que cor ainda não usei? -

61
00:04:34,330 --> 00:04:36,630
Vou usar rosa.

62
00:04:36,630 --> 00:04:37,700
Não. Já usei essa cor.

63
00:04:37,700 --> 00:04:38,540
Usarei roxo.

64
00:04:38,540 --> 00:04:43,350
Você ficaria com esta área.

65
00:04:43,350 --> 00:04:45,630
Qual é outra forma de escrever isso?

66
00:04:45,630 --> 00:04:48,490
Outra forma de escrever isso

67
00:04:48,490 --> 00:04:54,150
é a integral definida
entre x e x mais delta x

68
00:04:54,150 --> 00:04:58,630
de f de t dt.

69
00:04:58,630 --> 00:05:00,670
Podemos reescrever toda esta expressão.

70
00:05:00,670 --> 00:05:04,970
A derivada de F de x, F linha de x, -

71
00:05:04,970 --> 00:05:11,950
Podemos reescrevê-la como o limite
à medida que delta x tendendo a zero.

72
00:05:11,950 --> 00:05:15,180
Posso escrever isso como um sobre delta x

73
00:05:15,180 --> 00:05:16,750
vezes o numerador,

74
00:05:16,750 --> 00:05:21,770
que já sabemos que é a área em verde
menos a área em azul, que é a área roxa.

75
00:05:21,770 --> 00:05:23,780
Outra maneira de resolver isso

76
00:05:23,780 --> 00:05:26,610
é denotar que a área é esta expressão.

77
00:05:26,610 --> 00:05:29,090
Um sobre delta x vezes a integral definida

78
00:05:29,090 --> 00:05:38,240
de x a x mais delta x de F de t dt.

79
00:05:38,250 --> 00:05:40,610
Esta expressão é interessante.

80
00:05:40,610 --> 00:05:46,300
Parece familiar ao teorema do valor
intermediário de integrais definidas.

81
00:05:46,300 --> 00:05:59,410
O teorema do valor intermediário
de integrais definidas diz

82
00:05:59,410 --> 00:06:11,890
que existe um c no intervalo -

83
00:06:11,890 --> 00:06:13,030
Escreverei deste jeito.

84
00:06:13,030 --> 00:06:18,650
onde a é menor ou igual a c
que é menor ou igual a b.

85
00:06:18,650 --> 00:06:19,840
Deixe-me esclarecer isso.

86
00:06:19,840 --> 00:06:24,280
O intervalo que nos interessa
é entre x e x mais delta x,

87
00:06:24,280 --> 00:06:30,966
onde x é menor ou igual a c,
que é menor ou igual a x mais delta x,

88
00:06:30,966 --> 00:06:38,210
tal que f de c -

89
00:06:38,210 --> 00:06:40,790
Deixe-me desenhar c.

90
00:06:40,790 --> 00:06:43,190
Há um c por aqui.

91
00:06:43,190 --> 00:06:46,590
Se eu calculasse f de c -

92
00:06:46,590 --> 00:06:49,380
f de c está aqui-

93
00:06:49,380 --> 00:06:51,160
Se eu calculasse f de c,

94
00:06:51,160 --> 00:06:53,420
que seria a altura desta linha,

95
00:06:53,420 --> 00:06:59,720
e multiplicasse pela base
- este intervalo- que é delta x -

96
00:06:59,720 --> 00:07:02,500
x mais delta x menos x é apenas delta x.

97
00:07:02,500 --> 00:07:06,510
Se multiplicarmos a altura vezes a base,

98
00:07:06,510 --> 00:07:10,480
obteremos a área abaixo da curva.

99
00:07:10,480 --> 00:07:14,110
Será igual à área abaixo da curva,

100
00:07:14,110 --> 00:07:21,210
que é a integral definida de x
a x mais delta x,

101
00:07:21,210 --> 00:07:24,080
f de t, dt.

102
00:07:24,080 --> 00:07:27,370
Isso é o que o teorema
do valor intermediário nos diz.

103
00:07:27,370 --> 00:07:30,040
Se f é uma função contínua, existe um c

104
00:07:30,040 --> 00:07:37,140
neste intervalo entre o limite inferior
e o limite superior, onde f de c

105
00:07:37,150 --> 00:07:39,340
é a altura média.

106
00:07:39,340 --> 00:07:41,640
E se você calcular
esse valor médio da função

107
00:07:41,640 --> 00:07:43,250
e multiplicar pela base,

108
00:07:43,250 --> 00:07:44,830
você obterá a área da curva.

109
00:07:44,830 --> 00:07:48,520
Outra maneira de escrever isso
é dizer que existe um c

110
00:07:48,520 --> 00:07:52,880
no intervalo onde f de c
é igual a um sobre delta x.

111
00:07:52,880 --> 00:07:55,660
Estou apenas dividindo
ambos lados por delta x.

112
00:07:55,660 --> 00:08:02,330
Vexes o intervalo definido
de x a x mais delta x f de t dt.

113
00:08:02,330 --> 00:08:06,460
Geralmente, isso é visto como a valor
intermediário da função no intervalo.

114
00:08:06,460 --> 00:08:07,510
Por que?

115
00:08:07,510 --> 00:08:11,040
Esta parte aqui é a área,

116
00:08:11,040 --> 00:08:15,260
e dividindo a área pela base
você obtém a altura média.

117
00:08:15,260 --> 00:08:18,330
Outro jeito de dizer isso é:
se você calculasse a altura aqui

118
00:08:18,330 --> 00:08:20,830
e multiplicasse pela base,
obteria um retângulo

119
00:08:20,830 --> 00:08:24,670
que tem a mesma área
que a área abaixo da curva.

120
00:08:24,670 --> 00:08:27,270
Isto é útil, pois é exatamente

121
00:08:27,270 --> 00:08:30,530
o que obtivemos
como a derivada de F linha de x.

122
00:08:30,530 --> 00:08:34,200
Deve haver um c, tal que f de c

123
00:08:34,200 --> 00:08:37,280
é igual a isso.

124
00:08:37,280 --> 00:08:40,020
Deixe-me reescrever isso em outra cor.

125
00:08:40,020 --> 00:08:45,180
Existe um c

126
00:08:45,180 --> 00:08:50,860
no intervalo x mais x mais delta x

127
00:08:50,860 --> 00:08:56,690
onde F linha de x, que sabemos
que é igual a isso,

128
00:08:56,690 --> 00:09:00,460
é igual ao limite

129
00:09:00,460 --> 00:09:04,940
quando delta x tende a zero - em vez
de escrever isso, sabemos

130
00:09:04,940 --> 00:09:10,480
que há um c que é igual a tudo isso,
de f de c.

131
00:09:10,480 --> 00:09:12,490
Já estamos acabando.

132
00:09:12,490 --> 00:09:15,740
Apenas temos que calcular o limite
à medida que delta x tende a zero

133
00:09:15,740 --> 00:09:20,540
de f de c,
e a maior realização é isto daqui.

134
00:09:20,540 --> 00:09:24,250
Sabemos que c está sempre entre x

135
00:09:24,250 --> 00:09:27,350
e x mais delta x.
Intuitivamente você pode dizer

136
00:09:27,350 --> 00:09:30,570
que à medida que delta x
se aproxima de zero,

137
00:09:30,570 --> 00:09:35,570
a linha verde se move mais
e mais para a esquerda.

138
00:09:35,570 --> 00:09:41,850
E à medida que se aproxima da linha azul,

139
00:09:41,850 --> 00:09:46,340
c tem que estar no meio,
então c se aproxima de x.

140
00:09:46,340 --> 00:09:47,950
Sabemos isso intuitivamente.

141
00:09:47,950 --> 00:09:52,070
Sabemos intuitivamente que c
se aproxima de x

142
00:09:52,070 --> 00:10:00,300
à medida que delta x se aproxima de zero,
ou podemos dizer que f de c

143
00:10:00,300 --> 00:10:07,300
se aproxima de f de x
quando delta x tende a zero.

144
00:10:07,300 --> 00:10:09,320
Podemos dizer, intuitivamente,

145
00:10:09,320 --> 00:10:14,360
que isso é igual a f de x.

146
00:10:14,360 --> 00:10:16,320
Você pode dizer: "isso é intuitivo,

147
00:10:16,320 --> 00:10:18,530
mas estamos trabalhando com demonstrações.

148
00:10:18,530 --> 00:10:21,320
Diga como posso saber
que x se aproxima de c.

149
00:10:21,320 --> 00:10:24,200
Não faça apenas este diagrama

150
00:10:24,200 --> 00:10:27,070
onde c tem que se aproximar
cada vez mais de x".

151
00:10:27,070 --> 00:10:30,630
Se quiser, podemos usar
o teorema do confronto.

152
00:10:30,630 --> 00:10:32,230
Para usar o teorema do confronto,

153
00:10:32,230 --> 00:10:34,640
você deve ver c
como uma função de delta x.

154
00:10:34,640 --> 00:10:35,360
E realmente é.

155
00:10:35,360 --> 00:10:37,420
Dependendo do delta x, c se aproximará

156
00:10:37,420 --> 00:10:41,480
da esquerda ou da direita,
então posso reescrever a expressão

157
00:10:41,480 --> 00:10:46,830
como x menor ou igual a c,
c sendo uma função de delta x,

158
00:10:46,830 --> 00:10:50,120
que é menor ou igual a x mais delta x.

159
00:10:50,120 --> 00:10:54,420
Agora você vê que c
está sempre entre x e x mais delta x.

160
00:10:54,420 --> 00:10:58,890
Mas qual o limite de x
à medida que delta x tende a zero?

161
00:10:58,890 --> 00:11:00,916
x não depende de delta x,

162
00:11:00,916 --> 00:11:03,600
então será igual a x.

163
00:11:03,600 --> 00:11:10,680
Qual o limite de x mais delta x,
à medida que delta x tende a zero?

164
00:11:10,680 --> 00:11:14,210
À medida que delta x se aproxima
de zero, isto será igual a x.

165
00:11:14,210 --> 00:11:18,460
Se delta x se aproxima de zero
e é menor que essa função,

166
00:11:18,460 --> 00:11:22,340
e se isso se aproxima de x
à medida que delta x se aproxima de zero,

167
00:11:22,340 --> 00:11:24,030
e é sempre maior do que isso,

168
00:11:24,030 --> 00:11:27,080
então sabemos pelo teorema do confronto,

169
00:11:27,080 --> 00:11:33,890
que o limite com delta x tendendo a zero
de c como uma função de delta x

170
00:11:33,890 --> 00:11:38,500
é igual a x.

171
00:11:38,500 --> 00:11:40,980
Tem que se aproximar da mesma coisa

172
00:11:40,980 --> 00:11:42,600
na qual está no meio.

173
00:11:42,600 --> 00:11:45,410
Por isso usamos o teorema do confronto.

174
00:11:45,410 --> 00:11:46,830
É um pouco mais rigoroso

175
00:11:46,830 --> 00:11:48,680
de obter este resultado.

176
00:11:48,680 --> 00:11:52,890
À medida que delta x se aproxima
de zero, c se aproxima de x.

177
00:11:52,890 --> 00:11:55,790
Se c se aproxima de x, então f de c

178
00:11:55,790 --> 00:12:00,920
se aproxima de f de x.
E temos a nossa demonstração.

179
00:12:00,920 --> 00:12:02,270
F é uma função contínua.

180
00:12:02,270 --> 00:12:06,510
Definimos F deste jeito,

181
00:12:06,510 --> 00:12:10,600
e conseguimos usar a definição de derivada

182
00:12:10,600 --> 00:12:14,350
para calcular a derivada de F de x,

183
00:12:14,350 --> 00:12:21,600
que é igual a f de x.

184
00:12:21,600 --> 00:12:25,100
Mais uma vez, por que isso é importante?

185
00:12:25,100 --> 00:12:28,490
Isso noz diz que se você tem
qualquer função contínua f -

186
00:12:28,490 --> 00:12:30,150
assumimos que f

187
00:12:30,150 --> 00:12:32,790
é contínua no intervalo-

188
00:12:32,790 --> 00:12:35,230
existe uma função-

189
00:12:35,230 --> 00:12:37,840
você pode definir a função
como a área embaixo da curva

190
00:12:37,840 --> 00:12:42,890
entre o começo do intervalo e um delta x-

191
00:12:42,890 --> 00:12:44,660
Se você definir a função dessa forma,

192
00:12:44,660 --> 00:12:49,320
a derivada da função será igual
a sua função contínua.

193
00:12:49,320 --> 00:12:53,320
Ou você pode dizer
que sempre terá uma anti-derivada.

194
00:12:53,320 --> 00:13:00,360
Qualquer função contínua
tem uma anti-derivada.

195
00:13:00,360 --> 00:13:04,180
Será F de x.

196
00:13:04,180 --> 00:13:07,160
Por isso é chamado
de Teorema Fundamental do Cálculo.

197
00:13:07,160 --> 00:13:09,530
Junta essas duas ideias.

198
00:13:09,530 --> 00:13:11,290
E você tem o Cálculo Diferencial.

199
00:13:11,290 --> 00:13:14,870
Você tem a ideia de derivada

200
00:13:14,870 --> 00:13:17,950
e no cálculo integral
você tem a ideia de integral.

201
00:13:17,950 --> 00:13:22,540
Antes desta demonstração, vimos a integral
como a área embaixo da curva.

202
00:13:22,540 --> 00:13:26,440
Era apenas uma notação
para dizer "área embaixo da curva".

203
00:13:26,440 --> 00:13:28,800
Mas agora fizemos uma relação.

204
00:13:28,800 --> 00:13:31,710
Existe uma relação
entre a integral e a derivada.

205
00:13:31,710 --> 00:13:34,740
Ou uma relação entre a integral
e a anti-derivada.

206
00:13:34,740 --> 00:13:40,690
Isso conecta todo o Cálculo.

207
00:13:40,690 --> 00:13:42,740
E estamos tão acostumados agora,

208
00:13:42,740 --> 00:13:45,790
que podemos dizer isso de maneira óbvia,
mas antes não era assim.

209
00:13:45,790 --> 00:13:47,180
Lembre-se, vemos as integrais

210
00:13:47,180 --> 00:13:49,620
como uma anti-derivada,
mas isso não estava claro.

211
00:13:49,620 --> 00:13:51,670
Se você visse a integral
apenas como a área,

212
00:13:51,670 --> 00:13:55,110
você iria por este processo e diria:
"isso está relacionado".

213
00:13:55,110 --> 00:13:58,409
Está relacionado com a derivação.

214
00:13:58,419 --> 00:13:59,239
Legendado por: [Pilar Dib]