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Matrices: Reduced Row Echelon Form 3

  • 0:01 - 0:04
    这里我有三个四元一次方程
  • 0:04 - 0:06
    就像第一个视频一样
  • 0:06 - 0:08
    在那里我讲了行简化阶梯形
  • 0:06 - 0:20
    更多课程尽在网易公开课频道 http://open.163.com/
  • 0:08 - 0:11
    而解线性方程组
  • 0:11 - 0:12
    要用到增广矩阵
  • 0:12 - 0:14
    至少从本质上来讲的话
  • 0:14 - 0:16
    看 我的方程数比变量数少
  • 0:16 - 0:18
    所以我可能不会得到足够的限制
  • 0:18 - 0:20
    或许可能会有无限个解
  • 0:20 - 0:22
    但来看看我是不是正确的
  • 0:22 - 0:24
    我们来构造增广矩阵
  • 0:22 - 0:30
    加入网易翻译小组 请发邮件至 163open@vip.163.com
  • 0:24 - 0:26
    是这个方程组的
  • 0:26 - 0:33
    在x1前的系数是1 1 和2
  • 0:33 - 0:35
    在x2前的系数是2 2 和4
  • 0:35 - 0:41
    在x3前的系数是1 2 和0
  • 0:41 - 0:45
    这里当然没有x3项
  • 0:45 - 0:47
    所以我们可以把它看做是系数是0
  • 0:47 - 0:50
    而x4前的系数是1 -1 和6
  • 0:53 - 0:56
    然后在等号右边
  • 0:56 - 0:58
    是8 12 和4
  • 1:01 - 1:02
    这就是增广矩阵
  • 1:02 - 1:07
    现在将这个化成行简化阶梯形
  • 1:07 - 1:10
    首先我要做的是
  • 1:10 - 1:12
    我要将这两行的这些东西化成0
  • 1:12 - 1:14
    我能怎么做呢？
  • 1:14 - 1:17
    我要保持第一行不变
  • 1:17 - 1:22
    就是1 2 1 1 8
  • 1:22 - 1:26
    这条线就表示等号
  • 1:26 - 1:30
    我能做的就是 我要消去――
  • 1:30 - 1:31
    我把第二行换成
  • 1:31 - 1:34
    第二行减去第一行
  • 1:34 - 1:45
    就是1-1=0 2-2=0 2-1=1 1――
  • 1:45 - 1:54
    这里-1减去1是-2 然后12减去8是4
  • 1:54 - 1:56
    就这样 这看起来很好
  • 1:56 - 1:57
    看起来像列
  • 1:57 - 2:01
    或x2由第二列表示的
  • 2:01 - 2:02
    看起来像是自由变量
  • 2:02 - 2:04
    但我不是100%的确定
  • 2:04 - 2:06
    我们对所有行来作运算
  • 2:06 - 2:12
    那么我们来取――先不管这个东西
  • 2:12 - 2:13
    我们将第三行换成
  • 2:13 - 2:16
    第三个方程
  • 2:16 - 2:18
    减去2乘以第一个方程
  • 2:18 - 2:27
    就得到2减去2乘以1等于0 4减去2乘以2
  • 2:27 - 2:35
    好 也是0 0减去2乘以1 是-2
  • 2:35 - 2:41
    而6减去2乘以1 是4 对吧？
  • 2:41 - 2:42
    是6减2
  • 2:42 - 2:47
    然后4减去2乘以8 是-16
  • 2:47 - 2:49
    而4减去16是-12
  • 2:49 - 2:54
    现在做什么？
  • 2:54 - 2:56
    好 我们来看看我们能不能不管
  • 2:56 - 2:58
    这里的这个-2项
  • 2:58 - 3:03
    我重新写一下这个增广矩阵
  • 3:03 - 3:06
    我要使第二行不变
  • 3:06 - 3:10
    所以就是0 0 1 -2
  • 3:10 - 3:12
    然后是等号
  • 3:12 - 3:14
    就是矩阵的增广部分
  • 3:14 - 3:17
    现在我们看看能做什么
  • 3:17 - 3:19
    我先不管上面的0
  • 3:19 - 3:22
    因为我要得到行简化阶梯形
  • 3:22 - 3:24
    所以任何主元
  • 3:24 - 3:25
    一般来说总是系数1
  • 3:25 - 3:26
    或项1
  • 3:26 - 3:28
    它是行中的唯一非零项
  • 3:28 - 3:31
    我怎么摆脱这个？
  • 3:31 - 3:33
    好 我可以消去――
  • 3:33 - 3:37
    我可以将第一行替换成第一行减去第二行
  • 3:37 - 3:46
    所以1减去0是1 2减去0是2 1减去1是0
  • 3:46 - 3:52
    而1减-2 就是1加2 是3
  • 3:52 - 3:56
    然后8减4是4
  • 3:56 - 3:59
    现在怎么去掉这个？
  • 3:59 - 4:07
    好 我把第三行换成第三行加上2乘以第一行
  • 4:07 - 4:09
    对不起 是换成第三行加上2乘以第二行
  • 4:09 - 4:10
    对吧？
  • 4:10 - 4:13
    因为得到的是-2 加上2乘以这个
  • 4:13 - 4:14
    它们就消去了
  • 4:14 - 4:15
    我们来看这些0
  • 4:15 - 4:17
    就是0加上2乘以0 是0
  • 4:17 - 4:25
    而0加上2乘以0 是0 -2加上2乘以1是0
  • 4:25 - 4:35
    而4加上2乘以-2 就是4减去4 结果是0
  • 4:35 - 4:40
    然后就是-12 加上2乘以4
  • 4:40 - 4:45
    就是-12加上8 结果是-4
  • 4:47 - 4:49
    现在 现在这儿很有趣――
  • 4:49 - 4:50
    这很有趣
  • 4:50 - 4:53
    我把这个化成了行简化阶梯形
  • 4:53 - 4:57
    我有两个主元 这就是一个主元
  • 4:57 - 4:59
    这也是一个主元
  • 4:59 - 5:01
    它们是唯一的非零项
  • 5:01 - 5:03
    在它们所在列中
  • 5:03 - 5:05
    而这只是一种形式
  • 5:05 - 5:08
    但这个主元是比这个低一行
  • 5:08 - 5:12
    所以这是在这个向右一列
  • 5:12 - 5:14
    我检查过了
  • 5:14 - 5:17
    这个看起来像是――第二列
  • 5:17 - 5:19
    看起来像是自由变量――
  • 5:19 - 5:21
    这里没有主元 没有主元
  • 5:21 - 5:22
    但我来看看
  • 5:22 - 5:25
    我们回到我们的方程组来
  • 5:25 - 5:26
    这些对于我来数就是数
  • 5:26 - 5:28
    我有一点儿机械化地
  • 5:28 - 5:29
    几乎像是一台计算机
  • 5:29 - 5:31
    将这个化成行简化阶梯形
  • 5:31 - 5:33
    实际上 几乎就像一台计算机
  • 5:33 - 5:35
    但我回到线性方程组来
  • 5:35 - 5:37
    来看看结果是什么
  • 5:37 - 5:41
    得到1乘以x1 我把它写成黄色
  • 5:41 - 5:50
    得到1乘以x1 加上2乘以x2 加上0乘以x3
  • 5:50 - 5:55
    加上3乘以x4等于4
  • 5:55 - 5:57
    很明显地我可以忽略这里的这一项
  • 5:57 - 5:58
    我甚至不用写下它来
  • 5:58 - 6:00
    实际上 我不打算写下它来
  • 6:00 - 6:03
    然后我得到0乘以x1 加上0乘以x2
  • 6:03 - 6:05
    加上1乘以x3
  • 6:05 - 6:06
    所以我可以写成这样
  • 6:06 - 6:07
    我只写下这一项
  • 6:07 - 6:12
    即1乘以x3 减去2乘以x4 等于4
  • 6:12 - 6:15
    然后这个最后一项 我得到了什么？
  • 6:15 - 6:19
    我得到了0x1+0x2+0x3+0x4
  • 6:19 - 6:20
    好 这些都是0
  • 6:20 - 6:22
    左边要写一些什么东西
  • 6:22 - 6:24
    就写0吧
  • 6:24 - 6:27
    这个等于-4
  • 6:27 - 6:30
    好吧 这个没有任何意义
  • 6:31 - 6:33
    结果是0=-4
  • 6:33 - 6:36
    这是一个没有意义的限制
  • 6:36 - 6:37
    这个不可能
  • 6:37 - 6:39
    因为0不能等于-4
  • 6:39 - 6:43
    这个不可能
  • 6:43 - 6:47
    这就意味着
  • 6:47 - 6:49
    这样做是不可能的
  • 6:49 - 6:53
    即要找到这三个方程的交集
  • 6:54 - 6:56
    或同时满足它们的解集
  • 6:56 - 6:58
    当我们最初看这个的时候
  • 6:58 - 6:59
    在这个视频开始的时候
  • 6:59 - 7:01
    我们说只有三个方程
  • 7:01 - 7:02
    我们有四个未知量
  • 7:02 - 7:04
    或许有无穷个解的解集
  • 7:04 - 7:06
    但事实证明这三个――
  • 7:06 - 7:09
    我猜你可以称这三个为三个曲面
  • 7:09 - 7:12
    在R^4中不相交 对吧？
  • 7:12 - 7:14
    这些都是四维的
  • 7:14 - 7:17
    我们在R^4中处理问题 因为我们有――
  • 7:17 - 7:20
    我想每一个向量都有四个分量
  • 7:20 - 7:21
    或有四个变量
  • 7:21 - 7:23
    是你可以考虑它的方式
  • 7:23 - 7:26
    并且要想象在R^4中的东西是很困难的
  • 7:26 - 7:28
    但如果我们在R3中处理问题
  • 7:28 - 7:31
    我们就可以想象这种情况
  • 7:31 - 7:34
    就比如在R3中有两个平面吧
  • 7:34 - 7:36
    这就是一个平面
  • 7:36 - 7:37
    然后还有另一个
  • 7:37 - 7:39
    与它完全平行的平面
  • 7:39 - 7:42
    我有另一个完全平行的平面
  • 7:42 - 7:43
    与第一个
  • 7:43 - 7:47
    即使这些是在R3中的两个平面
  • 7:47 - 7:48
    我举一个例子吧
  • 7:48 - 7:51
    比如说第一个平面
  • 7:51 - 8:01
    是由方程3x+6y+9z=5来表示的
  • 8:01 - 8:04
    第二个平面是由
  • 8:04 - 8:10
    方程3x+6y+9z=2来表示的
  • 8:10 - 8:15
    这两个在R3中的平面――这是在R3中的情形
  • 8:15 - 8:17
    这就是R3
  • 8:17 - 8:20
    这两个平面 很明显它们不相交
  • 8:20 - 8:21
    因为很明显地
  • 8:21 - 8:24
    这个有相同的系数加上5
  • 8:24 - 8:26
    这个有相同的系数加上2
  • 8:26 - 8:28
    并且 如果我们看一看开始
  • 8:28 - 8:30
    如果它不那么明显的话 我们就说
  • 8:30 - 8:33
    我们只有两个有三个未知量的方程
  • 8:33 - 8:34
    或许这个有无限个解
  • 8:34 - 8:36
    但它不会这样
  • 8:36 - 8:40
    因为你可以消去这个方程
  • 8:40 - 8:41
    从下面这个方程 从上面这个方程
  • 8:41 - 8:42
    你会得到什么？
  • 8:42 - 8:44
    你会得到一个非常熟悉的――如果你仅仅
  • 8:44 - 8:46
    从上面消去下面的方程
  • 8:46 - 8:48
    就会得到3x-3x 6yj-6y 9z-9z――
  • 8:48 - 8:51
    其实 我来在这儿算一下
  • 8:51 - 8:54
    对于这个减去这个
  • 8:54 - 8:56
    就会得到0=5-2 就是3
  • 8:57 - 8:59
    这个是和上面得到的非常相似的结果
  • 8:59 - 9:02
    所以当你有两个平行平面时
  • 9:02 - 9:03
    在R3中
  • 9:03 - 9:06
    或对于任何两个平行的方程
  • 9:06 - 9:08
    或一个平行方程的集合
  • 9:08 - 9:09
    它们不相交
  • 9:09 - 9:10
    你会得到
  • 9:10 - 9:13
    当你把它化成行简化阶梯形时
  • 9:13 - 9:14
    或你仅仅做一些基本的消去
  • 9:14 - 9:16
    或你解出这个方程组
  • 9:16 - 9:18
    你就会得到一个这样的结果
  • 9:18 - 9:19
    即0对于什么东西
  • 9:19 - 9:21
    这就意味着它无解
  • 9:21 - 9:25
    所以对于一般的情况
  • 9:25 - 9:28
    如果你得到0对于什么东西 就无解
  • 9:28 - 9:31
    如果你得到相同数量的主元
  • 9:31 - 9:35
    和列数相同数目的主元
  • 9:35 - 9:37
    如果是这样――
  • 9:37 - 9:38
    我写下来 最好知道这一点
  • 9:38 - 9:41
    如果你得到0等于什么东西
  • 9:41 - 9:44
    那么这就意味着无解
  • 9:44 - 9:46
    如果是在R3中
  • 9:46 - 9:48
    那么可能是两个平行平面
  • 9:48 - 9:49
    在R2中就是平行直线
  • 9:49 - 9:56
    如果你遇到这种情况
  • 9:56 - 9:57
    即主元个数和列数相同
  • 9:57 - 10:01
    就像1 1 1 1
  • 10:01 - 10:15
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  • 10:01 - 10:05
    这就是R^4的情形
  • 10:05 - 10:07
    我想你们明白了
  • 10:07 - 10:09
    这个等于a b c d
  • 10:09 - 10:12
    就有唯一解
  • 10:16 - 10:17
    现在 如果有任何自由变量――
  • 10:17 - 10:25
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  • 10:17 - 10:20
    自由变量看起来就像这样
  • 10:20 - 10:22
    比如说我们有1 0 1 0
  • 10:22 - 10:29
    然后得到元素1 1 我细心一点儿
  • 10:29 - 10:33
    还有0 我这样来写
  • 10:33 - 10:36
    还有1 0 0 然后还有元素1 2
  • 10:36 - 10:43
    然后在这里有一串0
  • 10:43 - 10:45
    然后这个等于0――记住
  • 10:45 - 10:47
    如果这个是一串0等于某个变量
  • 10:47 - 10:48
    那么就无解
  • 10:48 - 10:50
    或等于某一个常数
  • 10:50 - 10:51
    比如说等于5
  • 10:51 - 10:53
    这个等于2
  • 10:53 - 10:55
    如果这就是行简化阶梯形
  • 10:55 - 10:56
    我们最后就得到
  • 10:56 - 10:59
    我们就得到了一些自由变量
  • 10:59 - 11:01
    这是一个自由
  • 11:01 - 11:03
    或我想我们可以称这一列为自由列
  • 11:03 - 11:05
    某种程度上来讲这个也是
  • 11:05 - 11:07
    因为它没有主元
  • 11:07 - 11:09
    这些是主元
  • 11:09 - 11:13
    这是变量x2而这是变量x4
  • 11:13 - 11:15
    那么这些就是自由的
  • 11:15 - 11:16
    我们可以令它们等于任何东西
  • 11:16 - 11:19
    那么然后我们就有无限组解
  • 11:19 - 11:22
    就是说没有唯一解
  • 11:22 - 11:23
    这实际上就是我们看到的第一个例子
  • 11:23 - 11:25
    这些就是三种情况
  • 11:25 - 11:27
    它们是你们每次都会见到的
  • 11:27 - 11:28
    熟悉它们会很有好好处
  • 11:28 - 11:29
    所以你们以后就不会对于
  • 11:29 - 11:31
    当你们看到诸如
  • 11:31 - 11:33
    像0=-4 或0=3
  • 11:33 - 11:34
    或遇到
  • 11:34 - 11:36
    一串0和一串行的时侯感到困惑
  • 11:36 - 11:37
    我要把这一点讲得非常清楚
  • 11:37 - 11:38
    有时
  • 11:38 - 11:39
    你们看到一串0时
  • 11:39 - 11:42
    在增广矩阵左边时
  • 11:42 - 11:44
    你们可能会说
  • 11:44 - 11:46
    哦 或许没有唯一解
  • 11:46 - 11:47
    我可以得到无限个解
  • 11:47 - 11:50
    但你必须看这里的这个元素
  • 11:50 - 11:52
    只有当这整个是0的时候
  • 11:52 - 11:54
    并且有自由变量的时候
  • 11:54 - 11:56
    那么才会有无穷个解
  • 11:56 - 11:58
    如果有像这样的情形 0=a
  • 11:58 - 12:00
    如果这个等于7
  • 12:00 - 12:02
    那么就很惊人地
  • 12:02 - 12:03
    这个就没有解
  • 12:03 - 12:05
    这就是平行平面的情况
  • 12:05 - 12:07
    无论如何 幸运的是你们明白了这很有用
  • 20:01 - 20:15
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  • 20:17 - 20:25
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Title:
Matrices: Reduced Row Echelon Form 3
Description:
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Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
12:08

Chinese, Simplified subtitles

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