Matrices: Reduced Row Echelon Form 3

ผมมี 3 สมการ 4 ตัวแปร

และเหมือนกับในวิดีโอแรก, ผมได้พูดถึงลักษณะขั้นบันไดลดรูป

ตามแถว, และการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

โดยใช้เมทริกซ์ต่อเติม, อย่างน้อยความรู้สึกลึกๆ ของผมบอกว่าล

ดูสิล ผมมีสมการน้อยกว่าตัวแปร, ผมอาจ

กำหนดเงื่อนไขไม่พอ

เรื่องบางทีผมอาจได้จำนวนคำตอบนับไม่ถ้วน

ลองดูว่าผมคิดถูกไหม

ลองสร้างเมทริกซ์แต่งเติมสำหรับ

ระบบสมการนี้กัน

สัมประสิทธิ์ของเทอม x1 คือ 1, 1, และ 2

สัมประสิทธิ์ของเทอม x2 คือ 2, 2, และ 4

สัมประสิทธิ์ของเทอม x3 คือ 1, 2 และ 0

มันไม่มีเทอม x3 อยู่, เราจึงมองมันว่ามีสัมประสิทธิ์

เป็น 0

สัมประสิทธิ์ของเทอม x4 คือ 1, ลบ 1, และ 6

แล้วทางด้านขวามือของเครื่องหมายเท่ากับ, ผม

มี 8, 12 และ 4

มีเมทริกซ์แต่งเติม, ตอนนี้ทำใส่เจ้านี่ให้มี

ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถวดู

อย่างแรกที่ผมอยากทำ คือทำให้สองแถว

นี่ตรงนี้เป็น 0

เราทำอะไรได้?

ผมจะทำให้แถวแรกเหมือนกันก่อนล มันก็คือ 1,

2, 1, 1, 8

เส้นนั้นแทนเครื่องหมายเท่ากับ

สิ่งที่ผมทำได้, ขอผมลบ -- ขอผมแทนที่

แถวที่สอง ด้วยแถวที่สอง ลบ แถวแรก

แล้ว 1 ลบ 1 ได้ 0, 2 ลบ 2 ได้ 0, 2 ลบ 1 ได้ 1, 1 --

ลบ 1 ลบ 1 ได้ ลบ 2, แล้ว 12 ลบ 8 ได้ 4

ได้แล้ว, มันดูดีถึงตอนนี้, มันดูเหมือนคอลัมน์,

หรือ x2 ซึ่งแทนด้วยคอลัมน์ที่สอง, มันดูเหมือนว่า

มันเป็นตัวแปรอิสระ, แต่เรายังไม่แน่ใจ 100%

ลองทำแถวของเราทั้งหมดกัน

ลองหา -- เวลากำจัดเจ้านี่ตรงนี้, ลองแทนที่

สมการทีสามของเรา ด้วยสมการที่สาม ลบ

2 คูณสมการแรกดู

เราจึงได้ 2 ลบ 2 คูณ 1 ได้ 0, 4 ลบ 2 คูณ 2,

นั่นก็คือ 0, 0 ลบ 2 คูณ 1, นั่นก็คือลบ 2

6 ลบ 2 คูณ 1, ทีนี้, นั่นคือ 4, จริงไหม?

6 ลบ 2

แล้ว 4 ลบ 2 คูณ 8, ได้ ลบ 16, 4

ลบ 16 เท่ากับลบ 12

แล้วเราจะทำอะไรได้ตอนนี้?

ทีนี้, ลองดูว่าเราจะกำจัดลบ 2

นี่ตรงนี้ได้ไหม

ขอผมเขียนเมทริกซ์ต่อเติมอันใหม่หน่อยนะ

ผมจะเก็บแถวที่สองให้เหมือนเดิมตรงนี้, ผมจึงได้ 0,

0, 1, ลบ 2, แล้วก็เครื่องหมายเท่ากับ, หรื

ส่วนต่อเติมของเมทริกซ์

ตอนนี้ลองดูว่าเราทำอะไรได้

ขอผมกำหนด 0 นี่บนนี้, เพราะผมอยากได้

ลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

ตำแหน่งจุดหมุนใดๆ ของผม, ต้องมี

สัมประสิทธื์เป็น 1, หรือมีค่าเป็น 1, มันควร

มีเทอมที่ไม่เป็น 0 ตัวเดียวในแถวผม

แล้วผมจะกำจัดตัวนี่ตรงนี้ยังไง?

ทีนี้ผมสามารถลบ -- ผมสามารถแทนแถวที่หนึ่ง ด้วยแถว 1

ลบ แถว 2

ได้ 1 ลบ 0 เป็น 1, 2 ลบ 0 เป็น 2, 1 ลบ 1 เป็น 0, 1 ลบ

ลบ 2, นั่นคือ 1 บวก 2, ซึ่งก็คือ 3

แล้วก็ 8 ลบ 4 เป็น 4

และตอนนี้ผมจะกำจัดตัวนี้ยังไง?

ขอผมแทนที่แถวที่ 3 ด้วยแถว 3 บวก 2 คูณแถว 1 ดู

ขอโทษที, แถว 3 บวก 2 คูณแถว 2

จริงไหม?

เพราะคุณอยากได้ ลบ 2 บวก 2 คูณเจ้านี่,

พวกมันจะได้หักล้างกัน

ลองดู 0

0 บวก 2 คูณ 0, นั่นคือ 0

0 บวก 2 คูณ 0, นั่นคือ 0, ลบ 2 บวก 2 คูณ 1 ได้ 0

4 บวก 2 คูณลบ 2, นั่นคือ 4 ลบ 4, นั่นคือ 0

แล้วผมมีลบ 12, บวก 2 คูณ 4

นั่นคือลบ 12 บวก 8, นั่นคือลบ 4

ตอนนี้, นี่มันน่าสนใจแล้ว -- นี่น่าสนใจ

ผมทำเจ้านี่ในลักษณะขั้นบันไดลดรูปตามแถว

ผมมีตำแหน่งจุดหมุนสองที่, นั่นคือจุดหมุน

ตรงนั้นและมันมีจุดหมุนจุดหนึ่งตรงนั้น

พวกมันคือเทอมที่ไม่เป็น 0 ในแต่ละคอลัมน์

และนี่เป็นเรื่องรูปแบบที่ชอบ, แต่ตำแหน่ง

จุดหมุนนี้ อยู่ในแถวล่างกว่าอันนั้น

มันอยู่ในคอลัมน์ทางขวาของเจ้านี่ตรงนี้

และผมตรวจดู, มันดูเหมือนว่า -- คอลัมน์ที่ 1 นี่

ดูเหมือนกับตัวแปรอิสระ -- ไม่มีค่า

จุดหมุนตรงนี้, ไม่ใช่ตำแหน่งจุดหมุนตรงนี้

แต่ลองดู, ลองจับมันกลับไป

ยังระบบสมการของเรา

พวกนี้ก็แค่ตัวเลข และผมทำตาม

กลไก, เหมือนกับคอมพิวเตอร์, พยายามทำมันแบบขั้นบันได

ลดรูปตามแถว

ที่จริงแล้วล เกือบเหมือนคอมพิวเตอร์เลย

แต่ขอผมกลับไปยังระบบสมการเชิงเส้นของผม,

เพื่อดูว่าผลลัพธ์ของเราคืออะไร

เราจึงได้ 1 คูณ x1, ขอผมเขียนมันด้วยสีเหลืองนะ

ผมจึงได้ 1 คูณ x1, บวก 2 คูณ x2, บวก 0 คูณ x3

บวก 3 คูณ x4 เท่ากับ 4

แน่นอนผมลืมเทอมนี่ตรงนี้, ผมไม่

ต้องเขียนมันก็ได้

ที่จริงแล้ว

ผมจะไม่เขียนมันแล้วกัน

ได้ผมได้ 0 คูณ x1, บวก 0 คูณ x2, บวก 1 คูณ x3,

ผมเขียนมันแบบนั้นได้

ผมจะเขียน 1 ลงไป

1 คูณ x3, ลบ 2 คูณ x4 เท่ากับ 4

แล้วเทอมสุดท้ายนี้, ผมได้อะไร?

ผมได้ 0 x1, บวก 0 x2, บวก 0 x3, บวก 0 x4, ทั้งหมด

นั่นเท่ากับ 0, และผมได้เขียนอะไรบางอย่างไว้

ทางซ้ายมือ

ขอผมเขียน 0 และนั่น

เท่ากับลบ 4

นี่มันไม่มีเหตุผลเลย

0 เท่ากับลบ 4

นี่มันเป็นเงื่อนไขที่ไร้เหตุผล, มัน

เป็นไปไม่ได้

0 ไม่มีทางเท่ากับ ลบ 4

มันเป็นไปไม่ได้

ซึ่งหมายความว่า มันเป็นไปไม่ได้ที่จะหา

รอยตัดของระบบสมการ 3 สมการนี้, หรือ

เซตคำตอบที่เป็นไปตามสมการพวกนั้นทั้งหมด

เวลาผมดูอันนี้ตอนแรก, ในตอนเริ่ม

วิดีโอ, เราบอกว่า มีแค่ 3

สมการ, เรามี 4 ตัวแปร, บางทีมันอาจมี

คำตอบจำนวนนับไม่ถ้วน

แต่ปรากฏว่าสามตัวนี้ -- คุณจะเรียกว่า

พื้นที่ผิวสามอันก็ได้ -- พวกมันไม่ตัดกันใน R4

จริงไหม?

พวกนี้เป็น 4 มิติทั้งนั้น, เรากำลัง

ยุ่งกับ R4 ตรงนี้, เพราะเรามี -- ผมบอกได้ว่าเวกเตอร์แต่ละตัว

มีองค์ประกอบ 4 ค่า, หรือคุณมีตัวแปร 4 ตัว, นั่นคือวิธีที่

คุณคิดได้

และมันยากที่จะนึกภาพสิ่งต่างๆ ใน R4

แต่ถ้าเราทำใน R3, เราสามารถจินตนาการ

สถานการณ์ได้, โดยสมมุติว่า เรามีระนาบสองตัวใน R3

นั่นคือระนาบหนึ่งตรงนี้ แล้วผมมี

ระนาบอีกอันที่ขนานกับอันนั้นพอดี

ผมมีระนาบที่ขนานกันสมบูรณ์อีกอัน

กับอันนั้น

แม้ว่าพวกนี้จะเป็นระนาบ 2 ตัวใน R3, ขอผมยกตัวอย่าง

หน่อยนะ

สมมุติว่าระนาบอันแรกนี่ แทนได้ด้วย

สมการ 3x บวก 6y ลบ 9z เท่ากับ 5, และระนาบ

ที่สองแทนได้ด้วยสมการ 3x บวก 6y บวก 9z

เท่ากับ 2

ระนาบสองตัวใน R3 นี้ -- นี่คือกรณีของ R3, นี่ก็คือ

R3 ตรงนี้

ระนาบสองตัวนี้, แน่นอนพวกมันไม่มีทางตัดกัน

เพราะเห็นได้ชัดว่าเจ้านี่มีสัมประสิทธิ์เหมือนกัน รวมกันได้ 5

อันนี้มีสัมประสิทธิ์เหมือนกัน รวมกันได้ 2

แล้วล ถ้าผมดูตอนแรก, มันไม่ชัดเจนนัก

เราบอกว่า, เรามี 2 สมการ

3 ตัวแปร, บางทีนี่อาจมีคำตอบ

จำนวนนับไม่ถ้วน

แต่มันไม่เป็นเช่นนั้น, เพราะคุณลบ

สมการนี้, จากสมการล่าง, จาก

สมการบน

แล้วคุณจะได้อะไร?

คุณจะได้อะไรคุ้นๆ -- ถ้าคุณ

หักสมการล่าง จากสมการบน, คุณจะ

ได้ 3x ลบ 3x, 6y ลบ 6y, 9z ลบ 9z -- ที่จริง, ขอผม

ทำตรงนี้ดีกว่า

แล้ส นั่นลบนั่น, คุณจะได้ 0 เท่ากับ 5 ลบ

2, ได้ 3

ซึ่งคล้ายกับผลที่เราได้ตรงนี้

แล้วเมื่อคุณมีระนาบขนานกัน 2 ตัว, ในกรณีนี้คือใน R3, หรือ

สำหรับสมการขนานสองตัวใดๆ, หรือเซต

ของสมการที่ขนานกัน, พวกมันจะไม่ตัดกัน

แล้วคุณจะได้, เมื่อคุณเขียนมันในลักษณะขั้นบันไดลดรูป

ตามแถว, หรือคุณทำการหักล้างธรรมดา, หรือ

คุณแก้ระบบสมการ, คุณจะได้ประโยคว่า

0 เท่ากับอะไรสักอย่าง, และนั่นหมายความว่ามัน

ไม่มีคำถาม

แล้วบทเรียนทั่วไปนี้คือว่า, ถ้าคุณมี 0 เท่ากับ

อะไรสักอย่าง, มันจะไม่มีคำตอบ

ถ้าคุณมีจำนวนตัวแปรจุดหมุนเท่ากับ, จำนวน

ค่าจุดหมุนเท่ากับจำนวนคอลัมน์, ถ้าคุณ

อยู่ในกรณีนี้ -- ขอผมเขียมันลงไปนะ, มันมีประโยชน์ที่รู้ไว้

ถ้าคุณมี เท่ากับอะไรก็ตามล

มันหมายความว่าไม่มีคำตอบ

ถ้าคุณคิดใน R3, คุณอาจ

ได้ระนาบขนาน, ใน R2 คุณอาจยุ่งกับเส้นขนานอยู่

ถ้าคุณได้กรณีที่คคุณมีจำนวนค่า

จุดหมุนเท่ากับจำนวนคอลัมน์, นั่กน็คือ 1, 1, 1, 1

นี่คือกรณีของ R4 ตรงนี้

ผมว่าคุณคงเข้าใจนะ

มันเท่ากับ a, b, c, d

แล้วคุณก็ได้คำตอบเฉพาะมา

ตอนนนี้, ถ้าคุณมีตัวแปรอิสระ -- ดัวแปรอิสระ

เป็นแบบนี้, สมมุติว่าเรามี 1, 0, 1, 0 แล้วผม

มีค่า 1, 1 ขอผมระวังหน่อย

0, ขอผมทำแบบนี้นะ

1, 0, 0, แล้วผมมีค่า 1, 2 แล้วผมมี

0 หลายตัวตรงนี้

แล้วนี่ต้องเท่ากับ 0 -- จำไว้, ถ้านี่

เป็น 0 หลายๆ ตัวเท่ากับตัวแปรอื่น, ผมจะ

ไม่มีคำตอบ, หรือเท่ากับค่าคงที่สักค่าล สมมุติว่านี่คือ

5, นี่คือ 2

ถ้านี่คือลักษณะขั้นบันได้ลดรูปตามแถวที่เรา

มาหาได้, เราจะได้ตัวแปรอิสระมา

นี่คืออิสระ, เราจะเรียกคอลัมน์นี้ว่า คอลัมน์

อิสระก็ได้, มันก็คือคอลัมน์อิสระ

เพราะมันม่มีค่าจุดหมุน

พวกนี้คือค่าจุดหมุน

นี่คือตัวแปร x2 และนั่นคือตัวแปร x4

พวกนี้เป็นอิสระ, เราสามารถจับมัน

เท่ากับอะไรก็ได้

แล้วตรงนี้ เรามีคำตอบไม่จำกัด,

ไม่ได้มีคำตอบเพียงอย่างเดียว

แล้วนั่นคือตัวอย่างแรกที่เราเจอ

พวกนี้ก็คือกรณีสามอย่าง ที่่คุณจะเห็น

ทุกครั้งล และมันดีที่จะคุ้นเคยกับพวกมัน

คุณจะได้ไม่สะดุดเวลาคุณมี

อะไรอย่างเช่น 0 เท่ากับลบ 4, หรือ 0 เท่ากับ 3

หรือถ้าคุณมี 0 หลายๆ ตัวหลายๆ แถว

ผมอยากบอกให้ชัดเจน

บางครั้ง, คุณเห็น 0 เป็นแถวตรงนี้, ทางซ้ายมือ

ของด้านนนั้น, แล้วคุณบอกว่า, โอ้ บางทีฉันอาจ

ไม่ได้มีคำตอบเพียงตัวเดียว, ฉันมี

คำตอบจำนวนนับไม่ถ้วน

แต่คุณต้องดูที่ค่านี่ตรงนี้

เมื่อทั้งหมดนี่เป็น 0 และคุณมี

ตัวแปรอิสระ, คุณจะได้คำตอบจำนวนนับไม่ถ้วน

ถ้าคุณมีประโยคอย่างเช่น, 0 เท่ากับ a, ถ้า

นี่เท่ากับ 7 ตรงนี้, แล้วทันใดนั้น คุณจะ

ไม่ได้คำตอบแบบนี้

คุณจะได้พื้นผิวที่ขนานกัน

เอาล่ะ, หวังว่าคุณคงได้ประโยชน์ไปบ้างนะ