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[RKA22] Olá, tudo bem com você?
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Você vai assistir agora à mais uma aula de matemática
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e, nessa aula, vamos resolver um exercício
sobre o sinal da taxa de variação média de um polinômio.
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Então, vamos ver o que o exercício está falando.
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Nós temos inicialmente uma função h(x), que é igual a ⅛,
vezes x ao cubo, menos x ao quadrado.
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Então é feito um questionamento sobre o intervalo dessa função
que tem uma taxa de variação média positiva.
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Como sempre, faça uma pausa nesse vídeo e tente fazer isso.
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Okay. Já tentou? Vamos fazer isso juntos agora?
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Para começar, vamos nos lembrar
sobre o que é a taxa de variação média.
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Uma taxa de variação média pode ser vista como a variação
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que ocorre em uma função para uma dada variação
na variável, que, em nosso caso, é o x.
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Ou seja, qual é a variação que ocorre em h
para uma dada variação em x.
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Como nosso objetivo é descobrir o intervalo, podemos descobrir
qual é a taxa de variação média fazendo o seguinte.
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No denominador, podemos colocar nosso x final menos o x inicial,
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e, no numerador, podemos calcular o valor da nossa função
no x final, menos o valor da nossa função em nosso x inicial.
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Agora, uma coisa interessante é que a questão não está querendo
calcular isso para todos os diferentes intervalos.
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Está sendo pedido aqui apenas o intervalo ou intervalos
em que a nossa taxa de variação média é positiva.
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Se você olhar aqui, contando que o nosso x final
seja maior que o x inicial,
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a fim de ter uma taxa de variação média positiva,
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nós só precisamos descobrir se h em x final
é maior que h em x inicial.
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Se o valor da função no ponto final é maior que o valor
da função no ponto inicial em um determinado intervalo,
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então teremos uma taxa de variação média positiva nesse intervalo.
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Sabendo isso, vamos avaliar cada uma das opções
que temos nessas alternativas.
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Na letra A, temos x sendo maior ou igual a zero
e menor ou igual a 2.
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Repare que em h(0), que é o nosso ponto inicial,
nem precisamos calcular, afinal,
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já teremos isso sendo igual a zero, já que ⅛, vezes zero,
menos zero é igual a zero.
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Agora em nosso ponto inicial, temos h(2),
que, nesse caso, é igual a ⅛ vezes 2 à terceira potência,
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que é 8, portanto, temos ⅛, que é 1.
Isso menos 2 ao quadrado, que é 4.
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Então, isso aqui vai ser 1 menos 4, que é igual a -3.
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Repare que não temos uma situação onde h
no nosso ponto final é realmente maior.
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Sendo assim, temos uma situação de taxa de variação média negativa,
então vou descartar essa opção.
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Para nos ajudar a visualizar isso, podemos representar
essa taxa de variação média nesse gráfico ao lado,
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que é o gráfico de nossa função h.
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Podemos observar visualmente que realmente temos
uma taxa de variação média negativa
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quando vamos de x igual a zero até x igual a 2.
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Em x igual a zero, a nossa função está aqui
e em x igual a 2, a nossa função está aqui.
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Como você pode perceber, em x igual a 2,
nossa função tem um valor inferior.
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Você também pode pensar na taxa de variação média
como a inclinação da reta
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que conecta os dois pontos da função nesse intervalo.
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Repare que essa reta possui uma inclinação negativa,
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sendo assim, temos uma taxa de variação média negativa
entre esses dois pontos.
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E entre esses dois? Nós já calculamos o h(0)
e isso é igual a zero. E quanto é h(8)?
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Vamos ver aqui: ⅛ vezes 8 elevado a terceira potência
é igual a quanto?
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Se eu fizer 8 à terceira potência e dividir por 8,
teremos a mesma coisa que 8 elevado a segunda potência.
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Então, isso vai ser 64. Então, -8 elevado a segunda potência,
que é 64.
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Logo, teremos aqui 64 menos 64, que é zero.
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Então, aqui, temos uma taxa de variação média igual a zero,
já que o numerador vai ser zero,
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logo, podemos descartar essa opção também.
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Você pode ver isso aqui, quando o x é igual ao zero,
nossa função está aqui,
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quando o x é igual a 8, a nossa função está aqui.
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Repare que a reta que liga esses dois pontos
possui uma inclinação igual a zero.
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Ou seja, temos uma taxa de variação média sendo igual a zero
entre esses dois pontos.
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Agora, e a alternativa c? Vamos ver:
h(6) vai ser igual a ⅛ vezes 6 elevado a terceira potência.
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6 vezes 6 é 36, e 36 vezes 6 é 216,
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então teremos aqui ⅛ vezes 216 menos 6 ao quadrado,
que é 36.
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Como sabemos, 216 é igual a 6 vezes 36, então,
teremos aqui seis oitavos de 36 ou ¾ de 36 e isso menos 36.
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¾ de 36 é 27, assim, teremos 27 menos 36, que é igual a -9.
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Poderíamos ter feito isso com uma calculadora,
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mas é bom fazer isso para explorar outras formas
de resolver expressões como essa.
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Então, eu espero que tudo aqui tenha feito sentido.
Afinal, só fizemos um pouco de aritmética.
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Assim, em h(6), temos nossa função sendo -9
e, como já vimos antes, h(8) é igual a zero,
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portanto, nossa função nesse ponto final
é superior ao valor da nossa função no ponto inicial.
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Sendo assim, temos uma taxa de variação média positiva.
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Logo, essa alternativa está correta.
Podemos ver isso aqui visualmente, inclusive.
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Quando temos h(6), ou seja, quando x é igual a 6,
o valor de nossa função é -9
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e quando x é igual a 8, o valor de nossa função é igual a zero.
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Assim, a reta que conecta esses dois pontos
tem uma inclinação positiva.
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Portanto, temos uma taxa de variação média positiva
durante esse intervalo.
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Já chegamos à alternativa correta,
mas vamos verificar essa última aqui também.
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Já sabemos que h(0) é igual a zero e que h(6) é igual a -9.
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Portanto, temos aqui uma taxa de variação média negativa,
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porque no ponto final temos uma função menor
que no ponto inicial,
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então podemos descartar essa alternativa.
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Você pode conferir isso aqui.
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Se formos de x igual a zero até x igual a 6,
temos a nossa reta se parecendo com isso aqui.
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Perceba que a inclinação dessa reta é negativa,
portanto, temos uma taxa de variação média negativa.
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Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que vimos aqui
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e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!