Řešení kvadratických rovnic: komplexní kořeny | Komplexní čísla | Matematika | Khan Academy

Máme tady kvadratickou rovnici
2x na druhou + 5 = 6x

My bychom rádi vypočítali kořeny
této kvadratické rovnice.

Pojďme na to.
Nejlépe se nám kořeny počítají,

když mám kvadratickou rovnici
v základním tvaru, který je

ax na druhou + bx + c = 0

Pojďme si tuto kvadratickou rovnici
do tohoto tvaru převést.

Proto musíme od obou stran odečíst 6x
a dostaneme

2x na druhou - 6x + 5 = 0

Už máme kvadratickou rovnici
v základním tvaru a můžeme s ní pracovat.

Mohli bychom třeba vydělit všechny členy
dvěma, pak bychom dostali

u koeficientu kvadratického členu 1
a mohli bychom jednoduše nalézt kořeny,

jenže tady máme pětku, dostali bychom
zlomek 5/2 a s tím by se nepočítalo dobře.

Takže jiný způsob:

Mohli bychom také zkusit tuto rovnici
doplnit na čtverec, ale myslím,

že nejlepší bude, když použijeme
vzorec

pro výpočet kořenu s diskriminantem.

Ten už všichni určitě dobře znáte

a ten zní: x12= -b +/- odmocnina
z b na druhou minus 4ac lomeno 2a.

Toto je náš vzorec pro výpočet kořenu
kvadratické rovnice.

Tady je naše a, toto je b a toto c.

A můžeme tedy počítat.

-b - - 6 je 6 +/- odmocnina z b na druhou
je 36... - 4ac ... 4 krát 2 krát 5 lomeno

2a... 2 krát a ... 2 krát 2 jsou 4.

Pokračujeme dál.

To se rovná 6 +/- odmocnina...

Tady máme 36 - 4 krát 2 krát 5 ...
to je 8 krát 5 ... to je 40

36 - 40 je - 4, to celé děleno 4.

A teď už začínáte přemýšlet,
co se nám tady děje,

máme tady záporné číslo pod odmocninou.

A vy už jste na to určitě přišli.

Tady přece dostaneme jako výsledek
odmocniny komplexní číslo.

Ano, máte úplnou pravdu

A pokud hned z hlavy nevíte, kolik
je odmocnina z -4,

tak si to pojďme krátce spočítat

odmocnina z -4, to je to stejné jako
odmocnina z -1 krát 4,

podle jednoho pravidla odmocňování
to můžeme zapsat jako

odmocnina z -1 krát odmocnina
ze 4

Odmocnina z -1 už víme, že je i,
tedy imaginární jednotka

krát odmocnina ze 4 jsou 2
a dostáváme 2i.

Tato odmocnina z -4 jsou 2i.

Pojďme to dopočítat.

To se rovná 6 +/- 2i
lomeno 4.

Čitatele i jmenovatele můžeme vydělit 2
a dostaneme tedy 3 +/-i lomeno 2.

Takže x1 první kořen bude (3 + i) / 2

a nebo to také můžeme zapsat jako
3/2 + 1/2i, chcete-li.

A x2 se rovná (3 - i) / 2

nebo také 3/2 - 1/2i.

Jak vidíte dostali jsme 2 komplexní čísla
a tedy 2 komplexně sdružené kořeny,

které se liší jenom tady znaménkem
mezi reálnou a imaginární částí.

Máme tyto kořeny, ale asi by bylo dobré,
jelikož to byl složitější příklad,

si pro jistotu ověřit,
jestli jsme došli k správnému výsledku.

Tak si pojďme ty kořeny zpátky dosadit
do této rovnice.

Vybereme si vždy tuto možnost,
protože na počítání je jednodušší.

Prvně opíšu naši rovnici,
ať s ní můžeme počítat a vidíme na ni.

2x na druhou + 5 = 6x

Tak jak to bylo na začátku,
použijeme tu původní verzi.

x1 dosazujeme první kořen.

2 krát ((3+i)/2) na druhou +
5 = 6 krát ((3+i)/2)

Pozor, tady umocňujeme zlomek,
tak to bude trošku složitější,

ale věřím, že to bez problémů zvládnete.

2 krát a pojďme na to: násobíme
tento zlomek sebou samým

nahoře máme 3 + i,
to je jako (a + b) to celé na druhou.

Buď si to můžete klasicky roznásobit
a nebo už si pamatujete,

že (a + b) na druhou,
na to máme vzoreček,

je a na druhou + 2ab + b na druhou.

Pojďme podle vzorečku,

a na druhou... 3 krát 3... to je 9
plus 2ab ... 2 krát 3i ... to je 6i

plus b na druhou .... plus i na druhou

a dole dostaneme 2 krát 2
dvě na druhou, to je 4.

plus 5 = ... tady máme 6, tady 2
můžeme to tedy vydělit 2

a dostaneme 3 krát (3 + i)

Postupujeme dál.
Tady máme 4, tady 2

tady nám zůstane děleno dvěma

Ještě si uvědomíme, že
i na druhou je -1 z definice

a můžeme pokračovat.

9 + 6i - 1 a to je to i na druhou

děleno 2 + 5 se rovná...

3 krát 3 je 9 plus 3 krát i jsou 3i

Budeme pokračovat tady nahoře.

9 - 1 je 8 ... plus 6i
děleno dvěma

plus 5 se má rovnat 9 + 3i

Vydělím 2... 4 + 3 i + 5
se má rovnat 9 + 3i

A my už vidíme, že tady máme 3i
a tady máme 3i

a tady máme 4 + 5,
což se rovná 9

První kořen rovnice je v pořádku.

Pojďme na druhý kořen x2,
který se liší pouze znaménkem.

Uděláme to obdobně, ať
vidíme na rovnici a potom si to posuneme.

2 krát x na druhou....
tedy 3 - i lomeno 2... to celé na druhou

plus 5 se má rovnat 6x,
6 krát 3 - i lomeno 2.

Posuneme, ať máme prostor na výpočet.

Budeme postupovat obdobně.
2 krát... zase máme zlomek na druhou

násobíme ho sebou samým
a tentokrát máme 3 - i

to celé na druhou, tedy (a - b) na druhou

a výsledkem podle vzorečku,
pokud nechcete zdlouhavě roznásobovat

bude a na druhou - 2ab + b na druhou.

Tak pojďme na to.

a na druhou, tedy 3 krát 3 je 9

tentokrát minus 2ab....
2 krát 3 krát i.... -6i

plus b na druhou plus i na druhou
lomeno... 2 na druhou jsou 4

opět jako minule
plus 5 se má rovnat...

tady máme 6 a 2, to si vykrátíme,
zbyde nám 3

3 krát (3 - i), opět víme, že i na druhou
je -1 z definice,

tady máme 2 a 4, to se vykrátí,
zůstane 2

9 - 6i - 1... lomeno 2

plus 5 se rovná...
3 krát 3 je 9, 3 krát -i je -3i.

Zase půjdeme sem.

9 - 1 je 8 - 6i lomeno 2 plus 5
se má rovnat 9 - 3i

vydělíme dvěma, dostaneme 4 - 3i + 5

se má rovnat 9 - 3i
a my už vidíme opět

-3i a -3i a 4 + 5
je opravdu 9.

Zase jsme počítali správně,
takže i tento druhý kořen je správně

a tyto 2 komplexně sdružené kořeny
opravdu vyhovují

této kvadratické rovnici nahoře.