0:00:00.397,0:00:06.192
Máme tady kvadratickou rovnici[br]2x na druhou + 5 = 6x
0:00:06.402,0:00:11.530
My bychom rádi vypočítali kořeny[br]této kvadratické rovnice.
0:00:11.210,0:00:14.280
Pojďme na to.[br]Nejlépe se nám kořeny počítají,
0:00:14.328,0:00:18.328
když mám kvadratickou rovnici[br]v základním tvaru, který je
0:00:18.552,0:00:25.172
ax na druhou + bx + c = 0
0:00:25.567,0:00:29.927
Pojďme si tuto kvadratickou rovnici [br]do tohoto tvaru převést.
0:00:30.609,0:00:35.619
Proto musíme od obou stran odečíst 6x[br]a dostaneme
0:00:35.619,0:00:43.356
2x na druhou - 6x + 5 = 0
0:00:43.679,0:00:48.509
Už máme kvadratickou rovnici [br]v základním tvaru a můžeme s ní pracovat.
0:00:48.762,0:00:54.252
Mohli bychom třeba vydělit všechny členy [br]dvěma, pak bychom dostali
0:00:54.279,0:01:00.149
u koeficientu kvadratického členu 1[br]a mohli bychom jednoduše nalézt kořeny,
0:01:00.419,0:01:05.329
jenže tady máme pětku, dostali bychom [br]zlomek 5/2 a s tím by se nepočítalo dobře.
0:01:05.493,0:01:07.830
Takže jiný způsob:
0:01:07.830,0:01:10.693
Mohli bychom také zkusit tuto rovnici [br]doplnit na čtverec, ale myslím,
0:01:10.693,0:01:13.515
že nejlepší bude, když použijeme[br]vzorec
0:01:13.515,0:01:16.525
pro výpočet kořenu s diskriminantem.
0:01:16.525,0:01:18.955
Ten už všichni určitě dobře znáte
0:01:18.955,0:01:40.915
a ten zní: x12= -b +/- odmocnina[br]z b na druhou minus 4ac lomeno 2a.
0:01:40.915,0:01:45.455
Toto je náš vzorec pro výpočet kořenu [br]kvadratické rovnice.
0:01:45.680,0:01:49.680
Tady je naše a, toto je b a toto c.
0:01:49.868,0:01:52.418
A můžeme tedy počítat.
0:01:52.418,0:02:13.368
-b - - 6 je 6 +/- odmocnina z b na druhou[br]je 36... - 4ac ... 4 krát 2 krát 5 lomeno
0:02:13.562,0:02:17.562
2a... 2 krát a ... 2 krát 2 jsou 4.
0:02:17.783,0:02:19.208
Pokračujeme dál.
0:02:19.403,0:02:24.623
To se rovná 6 +/- odmocnina...
0:02:25.643,0:02:32.963
Tady máme 36 - 4 krát 2 krát 5 ...[br]to je 8 krát 5 ... to je 40
0:02:33.462,0:02:40.486
36 - 40 je - 4, to celé děleno 4.
0:02:40.486,0:02:43.747
A teď už začínáte přemýšlet,[br]co se nám tady děje,
0:02:43.952,0:02:47.184
máme tady záporné číslo pod odmocninou.
0:02:47.427,0:02:49.557
A vy už jste na to určitě přišli.
0:02:49.694,0:02:54.371
Tady přece dostaneme jako výsledek[br]odmocniny komplexní číslo.
0:02:54.720,0:02:57.643
Ano, máte úplnou pravdu
0:02:58.600,0:03:02.320
A pokud hned z hlavy nevíte, kolik[br]je odmocnina z -4,
0:03:02.410,0:03:05.565
tak si to pojďme krátce spočítat
0:03:05.725,0:03:13.219
odmocnina z -4, to je to stejné jako[br]odmocnina z -1 krát 4,
0:03:13.464,0:03:19.500
podle jednoho pravidla odmocňování[br]to můžeme zapsat jako
0:03:19.250,0:03:22.705
odmocnina z -1 krát odmocnina [br]ze 4
0:03:22.959,0:03:27.339
Odmocnina z -1 už víme, že je i,[br]tedy imaginární jednotka
0:03:27.400,0:03:32.600
krát odmocnina ze 4 jsou 2[br]a dostáváme 2i.
0:03:32.988,0:03:36.988
Tato odmocnina z -4 jsou 2i.
0:03:37.196,0:03:39.162
Pojďme to dopočítat.
0:03:39.334,0:03:47.440
To se rovná 6 +/- 2i[br]lomeno 4.
0:03:47.258,0:03:57.364
Čitatele i jmenovatele můžeme vydělit 2[br]a dostaneme tedy 3 +/-i lomeno 2.
0:03:57.364,0:04:04.254
Takže x1 první kořen bude (3 + i) / 2
0:04:04.493,0:04:11.359
a nebo to také můžeme zapsat jako[br]3/2 + 1/2i, chcete-li.
0:04:11.639,0:04:17.509
A x2 se rovná (3 - i) / 2
0:04:17.742,0:04:23.541
nebo také 3/2 - 1/2i.
0:04:23.821,0:04:30.276
Jak vidíte dostali jsme 2 komplexní čísla[br]a tedy 2 komplexně sdružené kořeny,
0:04:30.436,0:04:36.036
které se liší jenom tady znaménkem[br]mezi reálnou a imaginární částí.
0:04:36.457,0:04:42.017
Máme tyto kořeny, ale asi by bylo dobré,[br]jelikož to byl složitější příklad,
0:04:42.017,0:04:46.277
si pro jistotu ověřit,[br]jestli jsme došli k správnému výsledku.
0:04:46.514,0:04:50.514
Tak si pojďme ty kořeny zpátky dosadit [br]do této rovnice.
0:04:50.591,0:04:55.011
Vybereme si vždy tuto možnost,[br]protože na počítání je jednodušší.
0:04:55.228,0:05:01.768
Prvně opíšu naši rovnici,[br]ať s ní můžeme počítat a vidíme na ni.
0:05:01.939,0:05:08.996
2x na druhou + 5 = 6x
0:05:09.336,0:05:14.326
Tak jak to bylo na začátku,[br]použijeme tu původní verzi.
0:05:14.576,0:05:19.666
x1 dosazujeme první kořen.
0:05:19.979,0:05:38.639
2 krát ((3+i)/2) na druhou + [br]5 = 6 krát ((3+i)/2)
0:05:38.957,0:05:42.557
Pozor, tady umocňujeme zlomek,[br]tak to bude trošku složitější,
0:05:42.557,0:05:45.185
ale věřím, že to bez problémů zvládnete.
0:05:45.185,0:05:52.171
2 krát a pojďme na to: násobíme[br]tento zlomek sebou samým
0:05:52.300,0:05:57.370
nahoře máme 3 + i,[br]to je jako (a + b) to celé na druhou.
0:05:57.535,0:06:01.205
Buď si to můžete klasicky roznásobit[br]a nebo už si pamatujete,
0:06:01.205,0:06:03.938
že (a + b) na druhou,[br]na to máme vzoreček,
0:06:03.972,0:06:07.972
je a na druhou + 2ab + b na druhou.
0:06:08.182,0:06:10.112
Pojďme podle vzorečku,
0:06:10.363,0:06:18.063
a na druhou... 3 krát 3... to je 9[br]plus 2ab ... 2 krát 3i ... to je 6i
0:06:18.845,0:06:23.086
plus b na druhou .... plus i na druhou
0:06:23.490,0:06:28.240
a dole dostaneme 2 krát 2[br]dvě na druhou, to je 4.
0:06:28.347,0:06:35.857
plus 5 = ... tady máme 6, tady 2[br]můžeme to tedy vydělit 2
0:06:36.090,0:06:44.140
a dostaneme 3 krát (3 + i)
0:06:44.227,0:06:47.227
Postupujeme dál.[br]Tady máme 4, tady 2
0:06:47.617,0:06:50.289
tady nám zůstane děleno dvěma
0:06:50.536,0:06:55.795
Ještě si uvědomíme, že[br]i na druhou je -1 z definice
0:06:55.969,0:06:57.939
a můžeme pokračovat.
0:06:58.019,0:07:03.689
9 + 6i - 1 a to je to i na druhou
0:07:03.947,0:07:08.837
děleno 2 + 5 se rovná...
0:07:08.935,0:07:14.160
3 krát 3 je 9 plus 3 krát i jsou 3i
0:07:14.351,0:07:16.686
Budeme pokračovat tady nahoře.
0:07:16.899,0:07:23.603
9 - 1 je 8 ... plus 6i[br]děleno dvěma
0:07:23.827,0:07:29.656
plus 5 se má rovnat 9 + 3i
0:07:30.009,0:07:38.509
Vydělím 2... 4 + 3 i + 5[br]se má rovnat 9 + 3i
0:07:39.646,0:07:43.646
A my už vidíme, že tady máme 3i[br]a tady máme 3i
0:07:44.092,0:07:48.662
a tady máme 4 + 5,[br]což se rovná 9
0:07:49.180,0:07:54.930
První kořen rovnice je v pořádku.
0:07:55.046,0:08:01.706
Pojďme na druhý kořen x2,[br]který se liší pouze znaménkem.
0:08:01.928,0:08:06.569
Uděláme to obdobně, ať[br]vidíme na rovnici a potom si to posuneme.
0:08:06.775,0:08:16.315
2 krát x na druhou....[br]tedy 3 - i lomeno 2... to celé na druhou
0:08:16.486,0:08:26.116
plus 5 se má rovnat 6x,[br]6 krát 3 - i lomeno 2.
0:08:26.116,0:08:29.387
Posuneme, ať máme prostor na výpočet.
0:08:30.154,0:08:35.611
Budeme postupovat obdobně.[br]2 krát... zase máme zlomek na druhou
0:08:35.774,0:08:40.924
násobíme ho sebou samým[br]a tentokrát máme 3 - i
0:08:40.924,0:08:44.231
to celé na druhou, tedy (a - b) na druhou
0:08:44.468,0:08:49.138
a výsledkem podle vzorečku,[br]pokud nechcete zdlouhavě roznásobovat
0:08:49.480,0:08:53.480
bude a na druhou - 2ab + b na druhou.
0:08:53.786,0:08:54.914
Tak pojďme na to.
0:08:54.963,0:08:57.236
a na druhou, tedy 3 krát 3 je 9
0:08:57.378,0:09:02.679
tentokrát minus 2ab.... [br]2 krát 3 krát i.... -6i
0:09:02.936,0:09:10.304
plus b na druhou plus i na druhou[br]lomeno... 2 na druhou jsou 4
0:09:10.326,0:09:14.936
opět jako minule[br]plus 5 se má rovnat...
0:09:14.988,0:09:18.988
tady máme 6 a 2, to si vykrátíme,[br]zbyde nám 3
0:09:19.230,0:09:29.252
3 krát (3 - i), opět víme, že i na druhou[br]je -1 z definice,
0:09:29.530,0:09:34.010
tady máme 2 a 4, to se vykrátí,[br]zůstane 2
0:09:34.185,0:09:39.805
9 - 6i - 1... lomeno 2
0:09:40.143,0:09:47.326
plus 5 se rovná...[br]3 krát 3 je 9, 3 krát -i je -3i.
0:09:47.636,0:09:49.304
Zase půjdeme sem.
0:09:49.602,0:10:01.502
9 - 1 je 8 - 6i lomeno 2 plus 5[br]se má rovnat 9 - 3i
0:10:02.208,0:10:08.018
vydělíme dvěma, dostaneme 4 - 3i + 5
0:10:08.503,0:10:13.705
se má rovnat 9 - 3i[br]a my už vidíme opět
0:10:13.705,0:10:19.825
-3i a -3i a 4 + 5 [br]je opravdu 9.
0:10:20.092,0:10:31.421
Zase jsme počítali správně,[br]takže i tento druhý kořen je správně
0:10:32.335,0:10:41.417
a tyto 2 komplexně sdružené kořeny[br]opravdu vyhovují
0:10:41.525,0:10:45.525
této kvadratické rovnici nahoře.