0:00:00.397,0:00:06.192 Máme tady kvadratickou rovnici[br]2x na druhou + 5 = 6x 0:00:06.402,0:00:11.530 My bychom rádi vypočítali kořeny[br]této kvadratické rovnice. 0:00:11.210,0:00:14.280 Pojďme na to.[br]Nejlépe se nám kořeny počítají, 0:00:14.328,0:00:18.328 když mám kvadratickou rovnici[br]v základním tvaru, který je 0:00:18.552,0:00:25.172 ax na druhou + bx + c = 0 0:00:25.567,0:00:29.927 Pojďme si tuto kvadratickou rovnici [br]do tohoto tvaru převést. 0:00:30.609,0:00:35.619 Proto musíme od obou stran odečíst 6x[br]a dostaneme 0:00:35.619,0:00:43.356 2x na druhou - 6x + 5 = 0 0:00:43.679,0:00:48.509 Už máme kvadratickou rovnici [br]v základním tvaru a můžeme s ní pracovat. 0:00:48.762,0:00:54.252 Mohli bychom třeba vydělit všechny členy [br]dvěma, pak bychom dostali 0:00:54.279,0:01:00.149 u koeficientu kvadratického členu 1[br]a mohli bychom jednoduše nalézt kořeny, 0:01:00.419,0:01:05.329 jenže tady máme pětku, dostali bychom [br]zlomek 5/2 a s tím by se nepočítalo dobře. 0:01:05.493,0:01:07.830 Takže jiný způsob: 0:01:07.830,0:01:10.693 Mohli bychom také zkusit tuto rovnici [br]doplnit na čtverec, ale myslím, 0:01:10.693,0:01:13.515 že nejlepší bude, když použijeme[br]vzorec 0:01:13.515,0:01:16.525 pro výpočet kořenu s diskriminantem. 0:01:16.525,0:01:18.955 Ten už všichni určitě dobře znáte 0:01:18.955,0:01:40.915 a ten zní: x12= -b +/- odmocnina[br]z b na druhou minus 4ac lomeno 2a. 0:01:40.915,0:01:45.455 Toto je náš vzorec pro výpočet kořenu [br]kvadratické rovnice. 0:01:45.680,0:01:49.680 Tady je naše a, toto je b a toto c. 0:01:49.868,0:01:52.418 A můžeme tedy počítat. 0:01:52.418,0:02:13.368 -b - - 6 je 6 +/- odmocnina z b na druhou[br]je 36... - 4ac ... 4 krát 2 krát 5 lomeno 0:02:13.562,0:02:17.562 2a... 2 krát a ... 2 krát 2 jsou 4. 0:02:17.783,0:02:19.208 Pokračujeme dál. 0:02:19.403,0:02:24.623 To se rovná 6 +/- odmocnina... 0:02:25.643,0:02:32.963 Tady máme 36 - 4 krát 2 krát 5 ...[br]to je 8 krát 5 ... to je 40 0:02:33.462,0:02:40.486 36 - 40 je - 4, to celé děleno 4. 0:02:40.486,0:02:43.747 A teď už začínáte přemýšlet,[br]co se nám tady děje, 0:02:43.952,0:02:47.184 máme tady záporné číslo pod odmocninou. 0:02:47.427,0:02:49.557 A vy už jste na to určitě přišli. 0:02:49.694,0:02:54.371 Tady přece dostaneme jako výsledek[br]odmocniny komplexní číslo. 0:02:54.720,0:02:57.643 Ano, máte úplnou pravdu 0:02:58.600,0:03:02.320 A pokud hned z hlavy nevíte, kolik[br]je odmocnina z -4, 0:03:02.410,0:03:05.565 tak si to pojďme krátce spočítat 0:03:05.725,0:03:13.219 odmocnina z -4, to je to stejné jako[br]odmocnina z -1 krát 4, 0:03:13.464,0:03:19.500 podle jednoho pravidla odmocňování[br]to můžeme zapsat jako 0:03:19.250,0:03:22.705 odmocnina z -1 krát odmocnina [br]ze 4 0:03:22.959,0:03:27.339 Odmocnina z -1 už víme, že je i,[br]tedy imaginární jednotka 0:03:27.400,0:03:32.600 krát odmocnina ze 4 jsou 2[br]a dostáváme 2i. 0:03:32.988,0:03:36.988 Tato odmocnina z -4 jsou 2i. 0:03:37.196,0:03:39.162 Pojďme to dopočítat. 0:03:39.334,0:03:47.440 To se rovná 6 +/- 2i[br]lomeno 4. 0:03:47.258,0:03:57.364 Čitatele i jmenovatele můžeme vydělit 2[br]a dostaneme tedy 3 +/-i lomeno 2. 0:03:57.364,0:04:04.254 Takže x1 první kořen bude (3 + i) / 2 0:04:04.493,0:04:11.359 a nebo to také můžeme zapsat jako[br]3/2 + 1/2i, chcete-li. 0:04:11.639,0:04:17.509 A x2 se rovná (3 - i) / 2 0:04:17.742,0:04:23.541 nebo také 3/2 - 1/2i. 0:04:23.821,0:04:30.276 Jak vidíte dostali jsme 2 komplexní čísla[br]a tedy 2 komplexně sdružené kořeny, 0:04:30.436,0:04:36.036 které se liší jenom tady znaménkem[br]mezi reálnou a imaginární částí. 0:04:36.457,0:04:42.017 Máme tyto kořeny, ale asi by bylo dobré,[br]jelikož to byl složitější příklad, 0:04:42.017,0:04:46.277 si pro jistotu ověřit,[br]jestli jsme došli k správnému výsledku. 0:04:46.514,0:04:50.514 Tak si pojďme ty kořeny zpátky dosadit [br]do této rovnice. 0:04:50.591,0:04:55.011 Vybereme si vždy tuto možnost,[br]protože na počítání je jednodušší. 0:04:55.228,0:05:01.768 Prvně opíšu naši rovnici,[br]ať s ní můžeme počítat a vidíme na ni. 0:05:01.939,0:05:08.996 2x na druhou + 5 = 6x 0:05:09.336,0:05:14.326 Tak jak to bylo na začátku,[br]použijeme tu původní verzi. 0:05:14.576,0:05:19.666 x1 dosazujeme první kořen. 0:05:19.979,0:05:38.639 2 krát ((3+i)/2) na druhou + [br]5 = 6 krát ((3+i)/2) 0:05:38.957,0:05:42.557 Pozor, tady umocňujeme zlomek,[br]tak to bude trošku složitější, 0:05:42.557,0:05:45.185 ale věřím, že to bez problémů zvládnete. 0:05:45.185,0:05:52.171 2 krát a pojďme na to: násobíme[br]tento zlomek sebou samým 0:05:52.300,0:05:57.370 nahoře máme 3 + i,[br]to je jako (a + b) to celé na druhou. 0:05:57.535,0:06:01.205 Buď si to můžete klasicky roznásobit[br]a nebo už si pamatujete, 0:06:01.205,0:06:03.938 že (a + b) na druhou,[br]na to máme vzoreček, 0:06:03.972,0:06:07.972 je a na druhou + 2ab + b na druhou. 0:06:08.182,0:06:10.112 Pojďme podle vzorečku, 0:06:10.363,0:06:18.063 a na druhou... 3 krát 3... to je 9[br]plus 2ab ... 2 krát 3i ... to je 6i 0:06:18.845,0:06:23.086 plus b na druhou .... plus i na druhou 0:06:23.490,0:06:28.240 a dole dostaneme 2 krát 2[br]dvě na druhou, to je 4. 0:06:28.347,0:06:35.857 plus 5 = ... tady máme 6, tady 2[br]můžeme to tedy vydělit 2 0:06:36.090,0:06:44.140 a dostaneme 3 krát (3 + i) 0:06:44.227,0:06:47.227 Postupujeme dál.[br]Tady máme 4, tady 2 0:06:47.617,0:06:50.289 tady nám zůstane děleno dvěma 0:06:50.536,0:06:55.795 Ještě si uvědomíme, že[br]i na druhou je -1 z definice 0:06:55.969,0:06:57.939 a můžeme pokračovat. 0:06:58.019,0:07:03.689 9 + 6i - 1 a to je to i na druhou 0:07:03.947,0:07:08.837 děleno 2 + 5 se rovná... 0:07:08.935,0:07:14.160 3 krát 3 je 9 plus 3 krát i jsou 3i 0:07:14.351,0:07:16.686 Budeme pokračovat tady nahoře. 0:07:16.899,0:07:23.603 9 - 1 je 8 ... plus 6i[br]děleno dvěma 0:07:23.827,0:07:29.656 plus 5 se má rovnat 9 + 3i 0:07:30.009,0:07:38.509 Vydělím 2... 4 + 3 i + 5[br]se má rovnat 9 + 3i 0:07:39.646,0:07:43.646 A my už vidíme, že tady máme 3i[br]a tady máme 3i 0:07:44.092,0:07:48.662 a tady máme 4 + 5,[br]což se rovná 9 0:07:49.180,0:07:54.930 První kořen rovnice je v pořádku. 0:07:55.046,0:08:01.706 Pojďme na druhý kořen x2,[br]který se liší pouze znaménkem. 0:08:01.928,0:08:06.569 Uděláme to obdobně, ať[br]vidíme na rovnici a potom si to posuneme. 0:08:06.775,0:08:16.315 2 krát x na druhou....[br]tedy 3 - i lomeno 2... to celé na druhou 0:08:16.486,0:08:26.116 plus 5 se má rovnat 6x,[br]6 krát 3 - i lomeno 2. 0:08:26.116,0:08:29.387 Posuneme, ať máme prostor na výpočet. 0:08:30.154,0:08:35.611 Budeme postupovat obdobně.[br]2 krát... zase máme zlomek na druhou 0:08:35.774,0:08:40.924 násobíme ho sebou samým[br]a tentokrát máme 3 - i 0:08:40.924,0:08:44.231 to celé na druhou, tedy (a - b) na druhou 0:08:44.468,0:08:49.138 a výsledkem podle vzorečku,[br]pokud nechcete zdlouhavě roznásobovat 0:08:49.480,0:08:53.480 bude a na druhou - 2ab + b na druhou. 0:08:53.786,0:08:54.914 Tak pojďme na to. 0:08:54.963,0:08:57.236 a na druhou, tedy 3 krát 3 je 9 0:08:57.378,0:09:02.679 tentokrát minus 2ab.... [br]2 krát 3 krát i.... -6i 0:09:02.936,0:09:10.304 plus b na druhou plus i na druhou[br]lomeno... 2 na druhou jsou 4 0:09:10.326,0:09:14.936 opět jako minule[br]plus 5 se má rovnat... 0:09:14.988,0:09:18.988 tady máme 6 a 2, to si vykrátíme,[br]zbyde nám 3 0:09:19.230,0:09:29.252 3 krát (3 - i), opět víme, že i na druhou[br]je -1 z definice, 0:09:29.530,0:09:34.010 tady máme 2 a 4, to se vykrátí,[br]zůstane 2 0:09:34.185,0:09:39.805 9 - 6i - 1... lomeno 2 0:09:40.143,0:09:47.326 plus 5 se rovná...[br]3 krát 3 je 9, 3 krát -i je -3i. 0:09:47.636,0:09:49.304 Zase půjdeme sem. 0:09:49.602,0:10:01.502 9 - 1 je 8 - 6i lomeno 2 plus 5[br]se má rovnat 9 - 3i 0:10:02.208,0:10:08.018 vydělíme dvěma, dostaneme 4 - 3i + 5 0:10:08.503,0:10:13.705 se má rovnat 9 - 3i[br]a my už vidíme opět 0:10:13.705,0:10:19.825 -3i a -3i a 4 + 5 [br]je opravdu 9. 0:10:20.092,0:10:31.421 Zase jsme počítali správně,[br]takže i tento druhý kořen je správně 0:10:32.335,0:10:41.417 a tyto 2 komplexně sdružené kořeny[br]opravdu vyhovují 0:10:41.525,0:10:45.525 této kvadratické rovnici nahoře.