Trigonomeetria kaudse diferentseerimise näide

Implicit differentiation example that involves the tangent function

Minult on tahetud, et ma kaudselt diferentseeriksin võrrandi

tangens x jagatud y võrdub x pluss y.

Ja ma olen teinud mitu kaudse diferentseerimise videot, aga

see tundub olevat üks suurimaid valuallikaid

esimese aasta matemaatilise analüüsi õppijaile.

Ja ma arvasin, et ma teeksin veel vähemalt ühe näite.

Ei tee halba näha võimalikult palju.

Seega lahendame selle.

Et kaudselt seda diferentseeride, rakendame me lihtsalt

tuletise x'i suhtes operaatorit mõlemale

võrrandi poolele.

Selle tuletis x'i suhtes -- vasaku poole

tuletis x'i suhtes on sama, mis

parema poole tuletis x'i suhtes.

Parem pool on väga ilmne, kuid

vasak pool on natuke keerulisem.

Teeme seda siis sellel poolel.

Las ma kirjutan vasaku poole natuke teistmoodi.

Ma teen seda teise värviga.

Las ma ütlen, et a võrdub tangens b.

Ja las olla b võrdne x jagatud y.

Siis a on kindlasti sama asi.

Ma mõtlen, kui ma asendaksin b siia sisse, a, kogu

selle asja võin ka kirjutada kui lihtsalt a.

Kui me võtame a tuletise x'i suhtes

siis see on mida me tahame teha siin.

Las ma võtan mõlema poole tuletise.

See oleks a tuletis x'i suhtes võrdub

x'i tuletis x'i suhtes.

See on päris lihtne, see on lihtsalt 1.

Pluss y'i tuletis x'i suhtes.

Las ma kirjutan selle nii.

Ma kirjutan tuletise operaatori, y'i tuletis

x'i suhtes.

See on kõik mida me tegime.

Ma lihtsalt rakendasime tuletise operaatori y'le, ja me ei

tea mis see on, me lahendame selle suhtes.

Aga muidugi, ei saa ma seda lihtsalt siia jätta

a tuletis x'i suhtes.

Me just lahendasime a suhtes, ja a on lihtsalt see

asi siin, eks?

a on tangens b ja b on lihtsalt y jagatud x'iga.

Põhjus miks ma selle nii kirjutasin, on sest ma tahtsin näidata

teile, et kui võtta selle tuletis, siis

see tuleneb lihtsalt ahelreeglist.

See ei ole mingisugune uus voodoo maagia, mida

te ei ole veel õppinud.

Seega tuletis -- las ma kirjutan

ahelreegli siia.

a tuletis x'i suhtes võrdub

a tuletis b suhtes korda

b tuletis x'i suhtes.

See on lihtsalt ahelreegel ja seda on lihtne meelde jätta,

sest db'd taanduvad välja ja jääb vaid

a tuletis x'i suhtes, kui neid käsitleda

kui tavalisi murde.

Mis on a tuletis b suhtes?

See on lihtsalt 1 jagatud koosinus ruudus b.

Ja kui sul see ei ole peas, siis seda ei ole

raske endale tõestada, kui see kirjutada kui siinus

b jagatud koosinus b, aga see on üks trigonomeetria

tuletisi, mille enamus inimesi pähe õpivad.

Ma arvan, et ma olen juba teinud video, kus ma seda tõestan.

Ja mõned raamatud kirjutavad seda kui seekans ruudus b, aga me

teame, et seekans ruudus on sama mis 1 jagatud

koosinus ruudus.

Mulle meeldib kasutada põhilisi trigonomeetria funktsioone,

või trigonomeetriad, asjade nagu seekans ja

koseekans asemel.

Siis, mis on b tuletis x'i suhtes?

See on üpris huvitav.

Las ma kirjutan b uuesti.

Las ma kirjutan, et b võrdub x korda y astmel miinus 1.

b tuletis x'i suhtes, me peaksime

kasutama siin ahelreeglit.

Võiks öelda -- las ma kirjutan selle -- b tuletis

x'i suhtes võrdub x'i tuletis korda

y astmel miinus 1.

x'i tuletis on 1.

korda y astmes -1 pluss y'i tuletis -- seega

las ma kirjutan selle.

Pluss y'i tuletis x'i suhtes

astmel -1 korda esimene liige, korda x.

See asi siin, ja paistab, et ma ei ole seda

täielikult lihtsustanud.

Ma pean ikkagi leidma selle väärtuse.

Aga ma kasutasin siin lihtsalt korrutise reeglit.

Esimese liikme tuletis, x'i tuletis, on 1

korda teine liige pluss teise liikme

tuletis korda esimene liige.

See on kõik mida ma tegin.

Seega b tuletis x'i suhtes on lihtsalt

see asi siin.

See võrdub -- las ma teen seda kollasega -- see on korda --

ah ma teen seda sinisega, sest ma juba kirjutasin selle.

See on sinine, b tuletis x'i suhtes on y astmel

miinus 1, või 1 jagatud y pluss 1 pluss 1 jagatud y korda x'i

tuletis x'i suhtes.

Las ma kirjutan selle siia alla.

Me just leidsime, või me oleme leidmise lõpetanud,

mis a tuletis x'i suhtes on ja me

saaksime selle siia sisse panna.

Aga me ei ole lõpetanud.

Mis on 1 jagatud y tuletis x'i suhtes?

Me kasutame jällegi ahelreeglit.

Ja ma tahan seda väga selgelt teha.

Ma tean, et see võib paista natuke kohmakas

aga ma arvan, et sellest on kergem aru saada.

Las ma määran c võrduma 1 jagatud y'ga.

Seega c tuletis x'i suhtes, lihtsalt

ahelreeglit järgides, võrdub c tuletis

y'i suhtes korda y'i tuletis x'i suhtes.

Mis on c tuletis y'i suhtes?

See on sama kui -- ma võiksin kirjutada

selle kui y astmel miinus 1.

See on miinus y astmel miinus 2.

See on nii.

See siin on see seal.

Ja ma ei tea mis y'i tuletis

x'i suhtes on.

See on mille suhtes me üritame seda lahendada.

Seega see korda y'i tuletis

x'i suhtes.

See tuleneb ahelreeglist.

See asi siin, see on selle tuletis

x'i suhtes, mis on sama asi kui

c tuletis x'i suhtes.

Seega ma võin kirjuta selle tüki siin, ma võin

kirjutada selle kui miinus y astmel miinus 2 dy

dx ja siis, muidugi, et seal on korda x.

Ja siis meil oli pluss 1 jagatud y, ja kõik see oli korda

1 jagatud koosinus ruudus b.

Nüüd me oleme seda korralikult lihtsustanud.

Ma loodan, et ahelreegli kasutamine ei tekitanud segadust,

sest ma tahan selgeks teha, et kõik

need kaudse diferentseerimise probleemid, need dy dx'id lihtsalt

ei ole, see pole mingi reegel mille peaks pähe tuupima.

Need tulevad loomulikult ahelreeglist.

Me lahendasime da dx, see ei võrdu selle

avaldisega siin.

Las ma kirjutan selle, see võrdub 1 jagatud koosinus ruudus b.

Mis on b?

Ma kirjutasin, et see on cos x jagatud y.

Koosinus ruudus x jagatud y korda kõik see

siin, korda kõik see segadus.

1 jagatud y pluss, võibolla ma peaks ütlema miinus, miinus -- kui

ma seda lihtsustan, siis see on x jagatud y ruudus korda dy dx.

Siis see võrdub parema poolega.

See võrdub 1 pluss dy dx.

Ja nüüd kõik mida me tegema peame on lahendama dy dx suhtes.

Las ma vaatan üle kuidas me siia jõudsime

Ma kasutasin ahelreeglit igal sammul, aga

kui see käppa saada, võib otseses mõttes minna

otse sedasi alla.

Kuidas sellele mõelda -- võrrandi paremal

poolel ma arvan, et te saate sellest aru.

x'i tuletis on 1, y'i tuletis

x'i suhtes, see on lihtsalt dy dx.

Aga vasakul poolel, tuleb võtta

kogu selle tuletis x jagatud y suhtes.

See on lihtsalt, et tangensi tuletis on 1 jagatud

koosinus ruudus.

Seega see on 1 jagatud koosinus ruudus x jagatud y, ja korrutate

seda x jagatud y'i tuletisega x'i suhtes.

Ja x jagatud y'i tuletis x'i suhtes on

selle tuletis -- ja see läheb liiga keeruliseks, sellepärast

on hea seda teha külje peal -- aga see on

x'i tuletis, mis on 1 korda 1 jagatud y.

Mis on see liige pluss 1 jagatud y tuletis

x'i suhtes, mis on miinus 1 jagatud y ruudus dy dx,

ahelreeglist, korda dx.

Sellepärast oli seda hea teha küljel, et me ei

teeks mõnda hooletuse viga.

Aga harjudes sellega, võib seda isegi teha

peas, ja muidugi, see võrdub parema poolega.

Siit edasi on puhas algebra.

Et lahendada dy dx suhtes.

Oleks hea alustada korrutades mõlemaid pooli selle

võrrandiga kord koosinus ruudus x jagatud y'st.

Loomulikult see muutub siin poolel üheks.

Ja vasak pool on 1 jagatud y miinus x jagatud y ruudus

dy dx võrdub -- ma pean mõlemaid võrrandi pooli

korrutama selle nimetajaga siin -- võrdub

koosinus ruudus x jagatud y pluss koosinus ruudus

x jagatud y dy dx.

Nüüd, mis me teha võime.

Me võime lahutada selle koosinus ruudus x jagatud y mõlemast

võrrandi poolest, ja me saame 1 jagatud y miinus koosinus

ruudus x jagatud y.

Kõik mis ma tegin, oli mõlemast poolest selle

lahutamine, põhimõtteliselt, see liikus

vasakule poolele.

Mida ma üritan teha, on eraldada

liikmed ilma dy dx'ta, liikmetest kus on dy dx.

Ma tahan tuua selle dy dx liikme

paremale poole.

Las ma liidan x jagatud y ruudus dy dx mõlemale poolele.

Siis see võrdub x jagatud y -- las ma kirjutan selle

algses värvis, natuke

teistsugune värv.

See on x jagatud y ruudus -- ma kirjutan dy dx oranziga,

dy dx, ja siis on see liige, pluss koosinus ruudus

x'ist jagatud y dy dx.

Ma arvan, et me oleme lõppsirgel.

Tegurdame selle dy dx paremast poolest

Seega see võrdub dy dx korda x jagatud y ruudus pluss

koosinus ruudus x jagatud y.

Ja see võrdub sellega siin, see võrdub

1 jagatud y miinus koosinus ruudus x jagatud y.

Nüüd, et leida dy dx, peame me jagama mõlemad pooled

selle avaldisega siin.

Ja mis me saame?

Me saame, kui me mõlemad pooled jagame, saame 1 jagatud y

miinus koosinus ruudus x jagatud y jagatud kogu selle

teemaga siin.

x jagatud y ruudus pluss koosinus ruudus x jagatud y võrdub

meie dy dx'ga.

Ja siis on valmis.

Me lihtsalt kasutasime ahelreeglit korduvalt ja saime

kaudselt diferentseerida tangens y jagatud x

võrdub x pluss y.

Kõige raskem on selle sammuni siin jõudmine.

Pärast seda sammu, on see puhas algebra, lihtsalt

dy dx avaldamine, ja siis saab selle vastuse siin.

Igatahes, loodetavasti oli see teile kasulik.