WEBVTT 00:00:00.430 --> 00:00:04.050 Minult on tahetud, et ma kaudselt diferentseeriksin võrrandi 00:00:04.050 --> 00:00:10.390 tangens x jagatud y võrdub x pluss y. 00:00:10.390 --> 00:00:14.150 Ja ma olen teinud mitu kaudse diferentseerimise videot, aga 00:00:14.150 --> 00:00:17.440 see tundub olevat üks suurimaid valuallikaid 00:00:17.440 --> 00:00:18.720 esimese aasta matemaatilise analüüsi õppijaile. 00:00:18.720 --> 00:00:21.040 Ja ma arvasin, et ma teeksin veel vähemalt ühe näite. 00:00:21.040 --> 00:00:22.860 Ei tee halba näha võimalikult palju. 00:00:22.860 --> 00:00:24.290 Seega lahendame selle. 00:00:24.290 --> 00:00:26.680 Et kaudselt seda diferentseeride, rakendame me lihtsalt 00:00:26.680 --> 00:00:29.363 tuletise x'i suhtes operaatorit mõlemale 00:00:29.363 --> 00:00:29.970 võrrandi poolele. 00:00:29.970 --> 00:00:33.290 Selle tuletis x'i suhtes -- vasaku poole 00:00:33.290 --> 00:00:35.420 tuletis x'i suhtes on sama, mis 00:00:35.420 --> 00:00:40.580 parema poole tuletis x'i suhtes. 00:00:40.580 --> 00:00:42.790 Parem pool on väga ilmne, kuid 00:00:42.790 --> 00:00:44.770 vasak pool on natuke keerulisem. 00:00:44.770 --> 00:00:47.380 Teeme seda siis sellel poolel. 00:00:47.380 --> 00:00:52.020 Las ma kirjutan vasaku poole natuke teistmoodi. 00:00:52.020 --> 00:00:52.990 Ma teen seda teise värviga. 00:00:52.990 --> 00:01:00.410 Las ma ütlen, et a võrdub tangens b. 00:01:00.410 --> 00:01:09.380 Ja las olla b võrdne x jagatud y. 00:01:09.380 --> 00:01:11.620 Siis a on kindlasti sama asi. 00:01:11.620 --> 00:01:14.860 Ma mõtlen, kui ma asendaksin b siia sisse, a, kogu 00:01:14.860 --> 00:01:18.090 selle asja võin ka kirjutada kui lihtsalt a. 00:01:18.090 --> 00:01:20.930 Kui me võtame a tuletise x'i suhtes 00:01:20.930 --> 00:01:23.740 siis see on mida me tahame teha siin. 00:01:23.740 --> 00:01:26.570 Las ma võtan mõlema poole tuletise. 00:01:26.570 --> 00:01:36.500 See oleks a tuletis x'i suhtes võrdub 00:01:36.500 --> 00:01:38.610 x'i tuletis x'i suhtes. 00:01:38.610 --> 00:01:41.210 See on päris lihtne, see on lihtsalt 1. 00:01:41.210 --> 00:01:44.390 Pluss y'i tuletis x'i suhtes. 00:01:44.390 --> 00:01:45.430 Las ma kirjutan selle nii. 00:01:45.430 --> 00:01:48.820 Ma kirjutan tuletise operaatori, y'i tuletis 00:01:48.820 --> 00:01:53.770 x'i suhtes. 00:01:53.770 --> 00:01:54.350 See on kõik mida me tegime. 00:01:54.350 --> 00:01:56.520 Ma lihtsalt rakendasime tuletise operaatori y'le, ja me ei 00:01:56.520 --> 00:01:58.650 tea mis see on, me lahendame selle suhtes. 00:01:58.650 --> 00:02:01.180 Aga muidugi, ei saa ma seda lihtsalt siia jätta 00:02:01.180 --> 00:02:02.360 a tuletis x'i suhtes. 00:02:02.360 --> 00:02:04.610 Me just lahendasime a suhtes, ja a on lihtsalt see 00:02:04.610 --> 00:02:05.930 asi siin, eks? 00:02:05.930 --> 00:02:09.450 a on tangens b ja b on lihtsalt y jagatud x'iga. 00:02:09.450 --> 00:02:11.730 Põhjus miks ma selle nii kirjutasin, on sest ma tahtsin näidata 00:02:11.730 --> 00:02:14.870 teile, et kui võtta selle tuletis, siis 00:02:14.870 --> 00:02:16.500 see tuleneb lihtsalt ahelreeglist. 00:02:16.500 --> 00:02:18.840 See ei ole mingisugune uus voodoo maagia, mida 00:02:18.840 --> 00:02:20.090 te ei ole veel õppinud. 00:02:20.090 --> 00:02:22.200 Seega tuletis -- las ma kirjutan 00:02:22.200 --> 00:02:23.990 ahelreegli siia. 00:02:23.990 --> 00:02:30.930 a tuletis x'i suhtes võrdub 00:02:30.930 --> 00:02:35.280 a tuletis b suhtes korda 00:02:35.280 --> 00:02:37.580 b tuletis x'i suhtes. 00:02:37.580 --> 00:02:39.720 See on lihtsalt ahelreegel ja seda on lihtne meelde jätta, 00:02:39.720 --> 00:02:43.040 sest db'd taanduvad välja ja jääb vaid 00:02:43.040 --> 00:02:45.800 a tuletis x'i suhtes, kui neid käsitleda 00:02:45.800 --> 00:02:47.470 kui tavalisi murde. 00:02:47.470 --> 00:02:50.275 Mis on a tuletis b suhtes? 00:02:55.020 --> 00:03:01.570 See on lihtsalt 1 jagatud koosinus ruudus b. 00:03:01.570 --> 00:03:03.570 Ja kui sul see ei ole peas, siis seda ei ole 00:03:03.570 --> 00:03:07.400 raske endale tõestada, kui see kirjutada kui siinus 00:03:07.400 --> 00:03:10.670 b jagatud koosinus b, aga see on üks trigonomeetria 00:03:10.670 --> 00:03:12.130 tuletisi, mille enamus inimesi pähe õpivad. 00:03:12.130 --> 00:03:14.230 Ma arvan, et ma olen juba teinud video, kus ma seda tõestan. 00:03:14.230 --> 00:03:16.840 Ja mõned raamatud kirjutavad seda kui seekans ruudus b, aga me 00:03:16.840 --> 00:03:19.070 teame, et seekans ruudus on sama mis 1 jagatud 00:03:19.070 --> 00:03:20.340 koosinus ruudus. 00:03:20.340 --> 00:03:25.320 Mulle meeldib kasutada põhilisi trigonomeetria funktsioone, 00:03:25.320 --> 00:03:27.360 või trigonomeetriad, asjade nagu seekans ja 00:03:27.360 --> 00:03:28.490 koseekans asemel. 00:03:28.490 --> 00:03:31.090 Siis, mis on b tuletis x'i suhtes? 00:03:37.030 --> 00:03:38.260 See on üpris huvitav. 00:03:38.260 --> 00:03:39.710 Las ma kirjutan b uuesti. 00:03:39.710 --> 00:03:45.730 Las ma kirjutan, et b võrdub x korda y astmel miinus 1. 00:03:45.730 --> 00:03:48.520 b tuletis x'i suhtes, me peaksime 00:03:48.520 --> 00:03:50.470 kasutama siin ahelreeglit. 00:03:50.470 --> 00:03:53.680 Võiks öelda -- las ma kirjutan selle -- b tuletis 00:03:53.680 --> 00:03:57.530 x'i suhtes võrdub x'i tuletis korda 00:03:57.530 --> 00:03:58.790 y astmel miinus 1. 00:03:58.790 --> 00:04:01.300 x'i tuletis on 1. 00:04:01.300 --> 00:04:07.360 korda y astmes -1 pluss y'i tuletis -- seega 00:04:07.360 --> 00:04:08.030 las ma kirjutan selle. 00:04:08.030 --> 00:04:12.320 Pluss y'i tuletis x'i suhtes 00:04:12.320 --> 00:04:17.930 astmel -1 korda esimene liige, korda x. 00:04:17.930 --> 00:04:20.470 See asi siin, ja paistab, et ma ei ole seda 00:04:20.470 --> 00:04:21.190 täielikult lihtsustanud. 00:04:21.190 --> 00:04:22.890 Ma pean ikkagi leidma selle väärtuse. 00:04:22.890 --> 00:04:25.010 Aga ma kasutasin siin lihtsalt korrutise reeglit. 00:04:25.010 --> 00:04:27.990 Esimese liikme tuletis, x'i tuletis, on 1 00:04:27.990 --> 00:04:30.380 korda teine liige pluss teise liikme 00:04:30.380 --> 00:04:31.310 tuletis korda esimene liige. 00:04:31.310 --> 00:04:32.700 See on kõik mida ma tegin. 00:04:32.700 --> 00:04:35.170 Seega b tuletis x'i suhtes on lihtsalt 00:04:35.170 --> 00:04:36.560 see asi siin. 00:04:36.560 --> 00:04:42.290 See võrdub -- las ma teen seda kollasega -- see on korda -- 00:04:42.290 --> 00:04:43.520 ah ma teen seda sinisega, sest ma juba kirjutasin selle. 00:04:43.520 --> 00:04:47.290 See on sinine, b tuletis x'i suhtes on y astmel 00:04:47.290 --> 00:04:52.580 miinus 1, või 1 jagatud y pluss 1 pluss 1 jagatud y korda x'i 00:04:52.580 --> 00:04:59.590 tuletis x'i suhtes. 00:04:59.590 --> 00:05:01.180 Las ma kirjutan selle siia alla. 00:05:01.180 --> 00:05:04.330 Me just leidsime, või me oleme leidmise lõpetanud, 00:05:04.330 --> 00:05:07.400 mis a tuletis x'i suhtes on ja me 00:05:07.400 --> 00:05:08.450 saaksime selle siia sisse panna. 00:05:08.450 --> 00:05:09.230 Aga me ei ole lõpetanud. 00:05:09.230 --> 00:05:12.280 Mis on 1 jagatud y tuletis x'i suhtes? 00:05:12.280 --> 00:05:14.990 Me kasutame jällegi ahelreeglit. 00:05:17.520 --> 00:05:18.830 Ja ma tahan seda väga selgelt teha. 00:05:18.830 --> 00:05:21.570 Ma tean, et see võib paista natuke kohmakas 00:05:21.570 --> 00:05:24.020 aga ma arvan, et sellest on kergem aru saada. 00:05:24.020 --> 00:05:28.390 Las ma määran c võrduma 1 jagatud y'ga. 00:05:28.390 --> 00:05:32.550 Seega c tuletis x'i suhtes, lihtsalt 00:05:32.550 --> 00:05:35.580 ahelreeglit järgides, võrdub c tuletis 00:05:35.580 --> 00:05:40.090 y'i suhtes korda y'i tuletis x'i suhtes. 00:05:40.090 --> 00:05:43.140 Mis on c tuletis y'i suhtes? 00:05:43.140 --> 00:05:44.930 See on sama kui -- ma võiksin kirjutada 00:05:44.930 --> 00:05:46.350 selle kui y astmel miinus 1. 00:05:46.350 --> 00:05:51.160 See on miinus y astmel miinus 2. 00:05:51.160 --> 00:05:52.910 See on nii. 00:05:52.910 --> 00:05:55.740 See siin on see seal. 00:05:55.740 --> 00:05:57.220 Ja ma ei tea mis y'i tuletis 00:05:57.220 --> 00:05:58.020 x'i suhtes on. 00:05:58.020 --> 00:05:59.690 See on mille suhtes me üritame seda lahendada. 00:05:59.690 --> 00:06:02.390 Seega see korda y'i tuletis 00:06:02.390 --> 00:06:03.540 x'i suhtes. 00:06:03.540 --> 00:06:05.340 See tuleneb ahelreeglist. 00:06:05.340 --> 00:06:11.400 See asi siin, see on selle tuletis 00:06:11.400 --> 00:06:13.830 x'i suhtes, mis on sama asi kui 00:06:13.830 --> 00:06:15.770 c tuletis x'i suhtes. 00:06:15.770 --> 00:06:19.210 Seega ma võin kirjuta selle tüki siin, ma võin 00:06:19.210 --> 00:06:25.240 kirjutada selle kui miinus y astmel miinus 2 dy 00:06:25.240 --> 00:06:28.910 dx ja siis, muidugi, et seal on korda x. 00:06:28.910 --> 00:06:33.910 Ja siis meil oli pluss 1 jagatud y, ja kõik see oli korda 00:06:33.910 --> 00:06:38.050 1 jagatud koosinus ruudus b. 00:06:38.050 --> 00:06:40.660 Nüüd me oleme seda korralikult lihtsustanud. 00:06:40.660 --> 00:06:42.840 Ma loodan, et ahelreegli kasutamine ei tekitanud segadust, 00:06:42.840 --> 00:06:45.020 sest ma tahan selgeks teha, et kõik 00:06:45.020 --> 00:06:48.320 need kaudse diferentseerimise probleemid, need dy dx'id lihtsalt 00:06:48.320 --> 00:06:50.570 ei ole, see pole mingi reegel mille peaks pähe tuupima. 00:06:50.570 --> 00:06:52.890 Need tulevad loomulikult ahelreeglist. 00:06:52.890 --> 00:06:56.930 Me lahendasime da dx, see ei võrdu selle 00:06:56.930 --> 00:06:59.230 avaldisega siin. 00:06:59.230 --> 00:07:07.130 Las ma kirjutan selle, see võrdub 1 jagatud koosinus ruudus b. 00:07:07.130 --> 00:07:07.880 Mis on b? 00:07:07.880 --> 00:07:10.640 Ma kirjutasin, et see on cos x jagatud y. 00:07:10.640 --> 00:07:16.920 Koosinus ruudus x jagatud y korda kõik see 00:07:16.920 --> 00:07:19.840 siin, korda kõik see segadus. 00:07:19.840 --> 00:07:25.670 1 jagatud y pluss, võibolla ma peaks ütlema miinus, miinus -- kui 00:07:25.670 --> 00:07:32.486 ma seda lihtsustan, siis see on x jagatud y ruudus korda dy dx. 00:07:36.660 --> 00:07:39.000 Siis see võrdub parema poolega. 00:07:39.000 --> 00:07:48.490 See võrdub 1 pluss dy dx. 00:07:48.490 --> 00:07:51.420 Ja nüüd kõik mida me tegema peame on lahendama dy dx suhtes. 00:07:51.420 --> 00:07:53.990 Las ma vaatan üle kuidas me siia jõudsime 00:07:53.990 --> 00:07:56.300 Ma kasutasin ahelreeglit igal sammul, aga 00:07:56.300 --> 00:07:58.170 kui see käppa saada, võib otseses mõttes minna 00:07:58.170 --> 00:07:59.360 otse sedasi alla. 00:07:59.360 --> 00:08:01.380 Kuidas sellele mõelda -- võrrandi paremal 00:08:01.380 --> 00:08:02.033 poolel ma arvan, et te saate sellest aru. 00:08:02.033 --> 00:08:04.380 x'i tuletis on 1, y'i tuletis 00:08:04.380 --> 00:08:06.560 x'i suhtes, see on lihtsalt dy dx. 00:08:06.560 --> 00:08:09.010 Aga vasakul poolel, tuleb võtta 00:08:09.010 --> 00:08:11.630 kogu selle tuletis x jagatud y suhtes. 00:08:11.630 --> 00:08:14.100 See on lihtsalt, et tangensi tuletis on 1 jagatud 00:08:14.100 --> 00:08:15.020 koosinus ruudus. 00:08:15.020 --> 00:08:18.620 Seega see on 1 jagatud koosinus ruudus x jagatud y, ja korrutate 00:08:18.620 --> 00:08:23.530 seda x jagatud y'i tuletisega x'i suhtes. 00:08:23.530 --> 00:08:26.770 Ja x jagatud y'i tuletis x'i suhtes on 00:08:26.770 --> 00:08:28.970 selle tuletis -- ja see läheb liiga keeruliseks, sellepärast 00:08:28.970 --> 00:08:31.590 on hea seda teha külje peal -- aga see on 00:08:31.590 --> 00:08:34.150 x'i tuletis, mis on 1 korda 1 jagatud y. 00:08:34.150 --> 00:08:39.680 Mis on see liige pluss 1 jagatud y tuletis 00:08:39.680 --> 00:08:44.200 x'i suhtes, mis on miinus 1 jagatud y ruudus dy dx, 00:08:44.200 --> 00:08:46.620 ahelreeglist, korda dx. 00:08:46.620 --> 00:08:48.140 Sellepärast oli seda hea teha küljel, et me ei 00:08:48.140 --> 00:08:49.360 teeks mõnda hooletuse viga. 00:08:49.360 --> 00:08:51.410 Aga harjudes sellega, võib seda isegi teha 00:08:51.410 --> 00:08:53.980 peas, ja muidugi, see võrdub parema poolega. 00:08:53.980 --> 00:08:56.520 Siit edasi on puhas algebra. 00:08:56.520 --> 00:08:59.140 Et lahendada dy dx suhtes. 00:08:59.140 --> 00:09:01.490 Oleks hea alustada korrutades mõlemaid pooli selle 00:09:01.490 --> 00:09:04.910 võrrandiga kord koosinus ruudus x jagatud y'st. 00:09:04.910 --> 00:09:07.420 Loomulikult see muutub siin poolel üheks. 00:09:07.420 --> 00:09:14.970 Ja vasak pool on 1 jagatud y miinus x jagatud y ruudus 00:09:14.970 --> 00:09:23.690 dy dx võrdub -- ma pean mõlemaid võrrandi pooli 00:09:23.690 --> 00:09:26.730 korrutama selle nimetajaga siin -- võrdub 00:09:26.730 --> 00:09:32.530 koosinus ruudus x jagatud y pluss koosinus ruudus 00:09:32.530 --> 00:09:35.190 x jagatud y dy dx. 00:09:39.420 --> 00:09:40.190 Nüüd, mis me teha võime. 00:09:40.190 --> 00:09:44.210 Me võime lahutada selle koosinus ruudus x jagatud y mõlemast 00:09:44.210 --> 00:09:52.110 võrrandi poolest, ja me saame 1 jagatud y miinus koosinus 00:09:52.110 --> 00:09:53.710 ruudus x jagatud y. 00:09:53.710 --> 00:09:55.780 Kõik mis ma tegin, oli mõlemast poolest selle 00:09:55.780 --> 00:09:57.590 lahutamine, põhimõtteliselt, see liikus 00:09:57.590 --> 00:09:59.040 vasakule poolele. 00:09:59.040 --> 00:10:01.040 Mida ma üritan teha, on eraldada 00:10:01.040 --> 00:10:04.810 liikmed ilma dy dx'ta, liikmetest kus on dy dx. 00:10:04.810 --> 00:10:06.750 Ma tahan tuua selle dy dx liikme 00:10:06.750 --> 00:10:07.950 paremale poole. 00:10:07.950 --> 00:10:11.550 Las ma liidan x jagatud y ruudus dy dx mõlemale poolele. 00:10:11.550 --> 00:10:17.260 Siis see võrdub x jagatud y -- las ma kirjutan selle 00:10:17.260 --> 00:10:21.070 algses värvis, natuke 00:10:21.070 --> 00:10:21.470 teistsugune värv. 00:10:21.470 --> 00:10:27.110 See on x jagatud y ruudus -- ma kirjutan dy dx oranziga, 00:10:27.110 --> 00:10:34.120 dy dx, ja siis on see liige, pluss koosinus ruudus 00:10:34.120 --> 00:10:36.880 x'ist jagatud y dy dx. 00:10:40.950 --> 00:10:43.000 Ma arvan, et me oleme lõppsirgel. 00:10:43.000 --> 00:10:46.410 Tegurdame selle dy dx paremast poolest 00:10:46.410 --> 00:10:56.770 Seega see võrdub dy dx korda x jagatud y ruudus pluss 00:10:56.770 --> 00:11:01.220 koosinus ruudus x jagatud y. 00:11:01.220 --> 00:11:04.180 Ja see võrdub sellega siin, see võrdub 00:11:04.180 --> 00:11:09.250 1 jagatud y miinus koosinus ruudus x jagatud y. 00:11:09.250 --> 00:11:12.240 Nüüd, et leida dy dx, peame me jagama mõlemad pooled 00:11:12.240 --> 00:11:15.450 selle avaldisega siin. 00:11:15.450 --> 00:11:16.900 Ja mis me saame? 00:11:16.900 --> 00:11:21.970 Me saame, kui me mõlemad pooled jagame, saame 1 jagatud y 00:11:21.970 --> 00:11:27.210 miinus koosinus ruudus x jagatud y jagatud kogu selle 00:11:27.210 --> 00:11:28.720 teemaga siin. 00:11:28.720 --> 00:11:36.190 x jagatud y ruudus pluss koosinus ruudus x jagatud y võrdub 00:11:36.190 --> 00:11:42.150 meie dy dx'ga. 00:11:42.150 --> 00:11:43.370 Ja siis on valmis. 00:11:43.370 --> 00:11:46.460 Me lihtsalt kasutasime ahelreeglit korduvalt ja saime 00:11:46.460 --> 00:11:50.600 kaudselt diferentseerida tangens y jagatud x 00:11:50.600 --> 00:11:51.600 võrdub x pluss y. 00:11:51.600 --> 00:11:55.980 Kõige raskem on selle sammuni siin jõudmine. 00:11:55.980 --> 00:11:59.470 Pärast seda sammu, on see puhas algebra, lihtsalt 00:11:59.470 --> 00:12:04.730 dy dx avaldamine, ja siis saab selle vastuse siin. 00:12:04.730 --> 00:12:07.380 Igatahes, loodetavasti oli see teile kasulik.