AP Calculus BC Exams: 2008 1 a

Recebi uma sugestão que eu resolva problemas do exame americano "AP"

e eu olhei na internet e e eis que

se você for para collegeboard.com, você pode obtê-las

eu não consegui encontrar questões de múltipla escolha

mas peguei algumas questões dissertativas

e essa questão no caso, é a primeira questão dissertativa

que eles tem no cálculo "BC"

que foi ministrado recentemente em 2008.

Então, vamos fazer esse problema.

E, francamente, se você entender como fazer todas as

questões dissertativas, você provavelmente vai se sair muito bem nas

questões de múltipla escolha, porque as dissertativas tendem a ser

um pouco mais desafiadoras, especialmente nos últimos passos da conta.

Bem de qualquer maneira, vamos resolver essa aqui.

Eu vou apenas ler ela porque eu não quero escrever

toda a questão aqui, mas este é a imagem própria do problema.

Eu na verdade copiei e colei isso do PDF que eles

fornecem no collegeboard.com.

Ele diz aqui: seja "r" --isso é "r" -- ser a região delimitada pelo

gráfico de y igual seno de pi "x"

Deixe-me escrever isso.

Então, esse gráfico de cima é "y = sen(πx)"

Vamos lá, y = sen(πx)...

e o gráfico inferior é y = x³ - 4x.

Então esse aqui é y = x³ - 4x...

E como eu sabia que esse aqui se tratava do de baixo?

Bem, eu sabia que este aqui era o seno de pi x, certo?

Porque seno se parece com isso.

Não se parece com aquele, certo?

É só testar: seno de pi é 0, o seno de 0 é 0

seno de 2pi é 0.

Então o de cima é o seno de pi x.

Bem, de qualquer maneira

esta é a região entre essas duas funções

e isto é o tipo de questão fácil, só para ter certeza que você sabe como

fazer integrais definidas -- e ele fala para encontrar a área de "r".

Então, como vamos fazer isso?

Eu acho que você sabe que nós vamos fazer

uma pequena integral definida, então vamos lá.

Então, nós vamos resolver a integral definida, então vamos

apenas dizer que a área é igual a -- não sei se vou precisar -- eu espero

estar escrevendo grande o suficiente para você-- a área vai ser

igual a integral definida de.

Então, quais são os valores de x?

Nós vamos estar indo de quando x é igual a 0

até o momento que x é igual a 2.

0 até 2..

Em qualquer valor pontual de x, onde é que vai ser o ponto

máximo --quando nós estamos calculando a área, estamos pegando vários

retângulos que são de largura dx, certo?

este é um dos meus retângulos.

Opa.

Vamos dizer que este é um dos retângulos que nós

vamos fazer a soma.

Sua largura é dx.

Qual é sua altura?

Sua altura vai ser essa função superior menos

Essa função inferior.

Então, essencialmente, nós estamos indo tomar a soma de todos estes

retângulos, para que sua altura vai ser - deixe-me mudar

as cores arbitrariamente -- a altura vai ser a função superior

menos a função inferior.

Então o seno de pi x --aqui vai um parênteses-- menos a

função inferior.

Então é "menos x ao cubo mais 4 vezes o x".

Já que eu estou subtraindo, troquei ambos dos sinais da segunda função.

E tudo isso vezes a largura de cada um desses

retângulos --que é infinitamente pequeno (dx).

E nós vamos soma-los desde x = 0

até quando x = 2.

Isto deve ser bastante simples para você.

Então, como podemos calcular isso?

Bem, essencialmente, nós pegamos a antiderivada disto e

então calcular ela no ponto 2 e, em seguida, calcular em 0.

Qual é a antiderivada de seno de pi x?

Bem, qual função derivada resulta em seno de x.

Cosseno de x-- vamos ver.

Se eu fosse pegar a derivada do cosseno

vamos dizer que tirei a derivada de cosseno de pi x.

Isto deve ser razoavelmente familiar para você.

Cosseno de pi x, se eu fosse calcular a derivada dela

o que eu teria como resultado?

-- Aquilo é igual a pi

Você primeiro calcula a derivada da função de dentro, certo?

Pela regra da cadeia.

Então é pi vezes a derivada da coisa toda.

A derivada do cosseno de x é menos seno de x, então a

derivada disto será pi vezes menos o seno de pi x, ou

você poderia dizer que é igual a -π sen(πx)

Então, a derivada do cosseno de pi x é quase isso, ela apenas

tem um -π lá, certo?

Então vamos ver se nós podemos reescrever isso para que fique igual

a derivada do cosseno de pi x.

E eu vou mudar para magenta.

Eu quero ter certeza que tenho espaço suficiente para fazer

o problema todo.

Então, vamos escrever um "menos 1 sobre pi" vezes o menos pi

Ok, tudo o que eu fiz -- quando você for resolver isso, verá que é igual a 1, então eu posso

fazer isso vezes pi seno x, e, em seguida, x ao cubo

mais 4x e, em seguida, tudo isso vezes a largura dx.

Bem, agora nós a temos.

Sabemos que a antiderivada de isto é cosseno de pi x, certo?

E esta é apenas uma constante.

Então, qual é a antiderivada de tudo isto?

--E eu vou mudar arbitrariamente as cores novamente.--

A antiderivada é cosseno de pi x.

Então nós temos "menos 1 sobre pi vezes cosseno de pi x --lembre-se, eu posso

apenas trazer esse termo pra baixo, é apenas uma constante

e a antiderivada disso aqui está bem aqui embaixo

E, em seguida, estes são um pouco mais simples.

Aqui vai menos a antiderivada de x ao cubo, que é x na quarta

sobre 4 mais a antiderivada--

isso dá 4x²/2, ou você poderia apenas ver como 2x²,

e, em seguida,resolver para x = 2 e para x = 0,

vamos fazer isso.

Isso é igual ao cosseno de 2pi, e nós vamos ter um sinal de menos

aqui, portanto menos cosseno de 2pi sobre pi, menos --quanto é

2 na quarta potência?

Vamos ver.

2 ao cubo é 8, 2 na quarta é 16, 16 sobre 4 é 4,

então é menos 4 -- 2 ao quadrado é 4-- vezes 2 é 8, portanto mais 8

então essa é a antiderivada definida em x = 2 e agora vamos

subtrair pela antiderivada definida em 0.

Então isso será menos cosseno de 0 sobre pi

menos 0, mais 0.

Então estes termos não contribuem em qualquer coisa quando

se calcula para x = 0

E então o que temos?

Quanto é o cosseno de 2pi?

Cosseno de 2pi é a mesma coisa que o cosseno de 0,

e é igual a 1.

Qual é o valor de x do círculo trigonométrico no 2pi, ou no 0?

É igual a 1.

Portanto, isso é igual a menos 1 sobre pi, menos 4, mais 8 -- estes dois

menos, tornam-se sinais de adição -- cosseno de 0 também é 1,

então mais 1 sobre pi, e esse -1/π e esse +1/π

se cancelarão, e só nos resta esse -4

e o +8, que é igual a 4.

Então, essa é a parte 1. A parte A da questão número um das questões dissertativas

do DC 2008.

E acabei fazendo um vídeo inteiro apenas para fazer essa parte.

No próximo vídeo, vou fazer a parte B, e vamos apenas manter fazendo

isso, e eu vou tentar fazer uns dois destes todos os dias.

Vejo vocês na próxima!