1
00:00:02,333 --> 00:00:07,149
Recebi uma sugestão que eu resolva problemas do exame americano "AP"

2
00:00:07,149 --> 00:00:09,335
e eu olhei na internet e e eis que

3
00:00:09,335 --> 00:00:13,594
se você for para collegeboard.com, você pode obtê-las

4
00:00:13,594 --> 00:00:15,657
eu não consegui encontrar questões de múltipla escolha

5
00:00:15,657 --> 00:00:17,791
mas peguei algumas questões dissertativas

6
00:00:17,791 --> 00:00:20,867
e essa questão no caso, é a primeira questão dissertativa

7
00:00:20,882 --> 00:00:23,598
que eles tem no cálculo "BC"

8
00:00:23,629 --> 00:00:25,668
que foi ministrado recentemente em 2008.

9
00:00:25,668 --> 00:00:26,952
Então, vamos fazer esse problema.

10
00:00:26,952 --> 00:00:29,078
E, francamente, se você entender como fazer todas as

11
00:00:29,078 --> 00:00:34,062
questões dissertativas, você provavelmente vai se sair muito bem nas

12
00:00:34,062 --> 00:00:36,286
questões de múltipla escolha, porque as dissertativas tendem a ser

13
00:00:36,302 --> 00:00:38,749
um pouco mais desafiadoras, especialmente nos últimos passos da conta.

14
00:00:39,295 --> 00:00:40,864
Bem de qualquer maneira, vamos resolver essa aqui.

15
00:00:40,864 --> 00:00:43,713
Eu vou apenas ler ela porque eu não quero escrever

16
00:00:43,713 --> 00:00:46,346
toda a questão aqui, mas este é a imagem própria do problema.

17
00:00:46,346 --> 00:00:48,896
Eu na verdade copiei e colei isso do PDF que eles

18
00:00:48,896 --> 00:00:51,268
fornecem no collegeboard.com.

19
00:00:51,529 --> 00:00:55,630
Ele diz aqui: seja "r" --isso é "r" -- ser a região delimitada pelo

20
00:00:55,630 --> 00:00:58,482
gráfico de y igual seno de pi "x"

21
00:00:58,636 --> 00:00:59,798
Deixe-me escrever isso.

22
00:01:06,890 --> 00:01:10,870
Então, esse gráfico de cima é "y = sen(πx)"

23
00:01:12,516 --> 00:01:19,598
Vamos lá, y = sen(πx)...

24
00:01:24,322 --> 00:01:30,029
e o gráfico inferior é y = x³ - 4x.

25
00:01:31,537 --> 00:01:38,472
Então esse aqui é y = x³ - 4x...

26
00:01:38,518 --> 00:01:40,535
E como eu sabia que esse aqui se tratava do de baixo?

27
00:01:40,535 --> 00:01:42,795
Bem, eu sabia que este aqui era o seno de pi x, certo?

28
00:01:42,795 --> 00:01:44,465
Porque seno se parece com isso.

29
00:01:44,465 --> 00:01:46,279
Não se parece com aquele, certo?

30
00:01:46,279 --> 00:01:49,911
É só testar: seno de pi é 0, o seno de 0 é 0

31
00:01:50,326 --> 00:01:51,349
seno de 2pi é 0.

32
00:01:51,349 --> 00:01:52,972
Então o de cima é o seno de pi x.

33
00:01:52,972 --> 00:01:54,077
Bem, de qualquer maneira

34
00:01:54,892 --> 00:01:58,125
esta é a região entre essas duas funções

35
00:01:58,587 --> 00:02:03,167
e isto é o tipo de questão fácil, só para ter certeza que você sabe como

36
00:02:03,167 --> 00:02:06,578
fazer integrais definidas -- e ele fala para encontrar a área de "r".

37
00:02:08,409 --> 00:02:10,121
Então, como vamos fazer isso?

38
00:02:10,121 --> 00:02:11,800
Eu acho que você sabe que nós vamos fazer

39
00:02:11,800 --> 00:02:14,475
uma pequena integral definida, então vamos lá.

40
00:02:14,475 --> 00:02:17,149
Então, nós vamos resolver a integral definida, então vamos

41
00:02:17,149 --> 00:02:24,372
apenas dizer que a área é igual a -- não sei se vou precisar -- eu espero

42
00:02:24,372 --> 00:02:26,140
estar escrevendo grande o suficiente para você-- a área vai ser

43
00:02:26,140 --> 00:02:28,960
igual a integral definida de.

44
00:02:28,960 --> 00:02:30,150
Então, quais são os valores de x?

45
00:02:30,150 --> 00:02:32,266
Nós vamos estar indo de quando x é igual a 0

46
00:02:32,266 --> 00:02:34,540
até o momento que x é igual a 2.

47
00:02:34,540 --> 00:02:38,890
0 até 2..

48
00:02:40,330 --> 00:02:44,510
Em qualquer valor pontual de x, onde é que vai ser o ponto

49
00:02:44,510 --> 00:02:46,990
máximo --quando nós estamos calculando a área, estamos pegando vários

50
00:02:46,990 --> 00:02:50,850
retângulos que são de largura dx, certo?

51
00:02:52,900 --> 00:02:55,750
este é um dos meus retângulos.

52
00:02:55,750 --> 00:02:56,890
Opa.

53
00:02:56,890 --> 00:03:00,730
Vamos dizer que este é um dos retângulos que nós

54
00:03:00,730 --> 00:03:02,070
vamos fazer a soma.

55
00:03:02,070 --> 00:03:04,110
Sua largura é dx.

56
00:03:04,110 --> 00:03:06,220
Qual é sua altura?

57
00:03:06,220 --> 00:03:09,440
Sua altura vai ser essa função superior menos

58
00:03:09,440 --> 00:03:12,340
Essa função inferior.

59
00:03:12,340 --> 00:03:15,240
Então, essencialmente, nós estamos indo tomar a soma de todos estes

60
00:03:15,240 --> 00:03:18,710
retângulos, para que sua altura vai ser - deixe-me mudar

61
00:03:18,710 --> 00:03:22,670
as cores arbitrariamente -- a altura vai ser a função superior

62
00:03:22,670 --> 00:03:24,500
menos a função inferior.

63
00:03:24,500 --> 00:03:35,060
Então o seno de pi x --aqui vai um parênteses-- menos a

64
00:03:35,060 --> 00:03:35,720
função inferior.

65
00:03:35,720 --> 00:03:40,250
Então é "menos x ao cubo mais 4 vezes o x".

66
00:03:42,810 --> 00:03:47,270
Já que eu estou subtraindo, troquei ambos dos sinais da segunda função.

67
00:03:47,270 --> 00:03:51,010
E tudo isso vezes a largura de cada um desses

68
00:03:51,010 --> 00:03:54,670
retângulos --que é infinitamente pequeno (dx).

69
00:03:54,670 --> 00:03:56,810
E nós vamos soma-los desde x = 0

70
00:03:56,810 --> 00:03:59,510
até quando x = 2.

71
00:03:59,510 --> 00:04:01,610
Isto deve ser bastante simples para você.

72
00:04:01,610 --> 00:04:02,850
Então, como podemos calcular isso?

73
00:04:02,850 --> 00:04:06,080
Bem, essencialmente, nós pegamos a antiderivada disto e

74
00:04:06,080 --> 00:04:08,870
então calcular ela no ponto 2 e, em seguida, calcular em 0.

75
00:04:08,870 --> 00:04:12,590
Qual é a antiderivada de seno de pi x?

76
00:04:12,590 --> 00:04:17,900
Bem, qual função derivada resulta em seno de x.

77
00:04:17,900 --> 00:04:19,100
Cosseno de x-- vamos ver.

78
00:04:19,100 --> 00:04:21,420
Se eu fosse pegar a derivada do cosseno

79
00:04:21,420 --> 00:04:24,960
vamos dizer que tirei a derivada de cosseno de pi x.

80
00:04:24,960 --> 00:04:27,090
Isto deve ser razoavelmente familiar para você.

81
00:04:27,090 --> 00:04:30,590
Cosseno de pi x, se eu fosse calcular a derivada dela

82
00:04:30,590 --> 00:04:34,200
o que eu teria como resultado?

83
00:04:34,200 --> 00:04:36,320
-- Aquilo é igual a pi

84
00:04:36,320 --> 00:04:37,980
Você primeiro calcula a derivada da função de dentro, certo?

85
00:04:37,980 --> 00:04:39,120
Pela regra da cadeia.

86
00:04:39,120 --> 00:04:43,130
Então é pi vezes a derivada da coisa toda.

87
00:04:43,130 --> 00:04:46,230
A derivada do cosseno de x é menos seno de x, então a

88
00:04:46,230 --> 00:04:54,440
derivada disto será pi vezes menos o seno de pi x, ou

89
00:04:54,440 --> 00:05:02,080
você poderia dizer que é igual a -π sen(πx)

90
00:05:02,080 --> 00:05:06,810
Então, a derivada do cosseno de pi x é quase isso, ela apenas

91
00:05:06,810 --> 00:05:09,270
tem um -π lá, certo?

92
00:05:09,270 --> 00:05:12,150
Então vamos ver se nós podemos reescrever isso para que fique igual

93
00:05:12,150 --> 00:05:16,440
a derivada do cosseno de pi x.

94
00:05:16,440 --> 00:05:17,690
E eu vou mudar para magenta.

95
00:05:20,730 --> 00:05:22,400
Eu quero ter certeza que tenho espaço suficiente para fazer

96
00:05:22,400 --> 00:05:23,225
o problema todo.

97
00:05:27,180 --> 00:05:36,880
Então, vamos escrever um "menos 1 sobre pi" vezes o menos pi

98
00:05:36,880 --> 00:05:40,020
Ok, tudo o que eu fiz -- quando você for resolver isso, verá que é igual a 1, então eu posso

99
00:05:40,020 --> 00:05:48,100
fazer isso vezes pi seno x, e, em seguida, x ao cubo

100
00:05:48,100 --> 00:05:54,370
mais 4x e, em seguida, tudo isso vezes a largura dx.

101
00:05:54,370 --> 00:05:55,200
Bem, agora nós a temos.

102
00:05:55,200 --> 00:05:59,810
Sabemos que a antiderivada de isto é cosseno de pi x, certo?

103
00:05:59,810 --> 00:06:00,910
E esta é apenas uma constante.

104
00:06:00,910 --> 00:06:03,370
Então, qual é a antiderivada de tudo isto?

105
00:06:03,370 --> 00:06:05,780
--E eu vou mudar arbitrariamente as cores novamente.--

106
00:06:05,780 --> 00:06:10,070
A antiderivada é cosseno de pi x.

107
00:06:10,070 --> 00:06:18,620
Então nós temos "menos 1 sobre pi vezes cosseno de pi x --lembre-se, eu posso

108
00:06:18,620 --> 00:06:21,320
apenas trazer esse termo pra baixo, é apenas uma constante

109
00:06:21,320 --> 00:06:25,590
e a antiderivada disso aqui está bem aqui embaixo

110
00:06:25,590 --> 00:06:28,330
E, em seguida, estes são um pouco mais simples.

111
00:06:28,330 --> 00:06:31,770
Aqui vai menos a antiderivada de x ao cubo, que é x na quarta

112
00:06:31,770 --> 00:06:41,300
sobre 4 mais a antiderivada--

113
00:06:41,300 --> 00:06:47,250
isso dá 4x²/2, ou você poderia apenas ver como 2x²,

114
00:06:47,250 --> 00:06:52,620
e, em seguida,resolver para x = 2 e para x = 0,

115
00:06:52,620 --> 00:06:55,260
vamos fazer isso.

116
00:06:55,260 --> 00:07:03,510
Isso é igual ao cosseno de 2pi, e nós vamos ter um sinal de menos

117
00:07:03,510 --> 00:07:09,930
aqui, portanto menos cosseno de 2pi sobre pi, menos --quanto é

118
00:07:09,930 --> 00:07:11,680
2 na quarta potência?

119
00:07:11,680 --> 00:07:11,960
Vamos ver.

120
00:07:11,960 --> 00:07:18,170
2 ao cubo é 8, 2 na quarta é 16, 16 sobre 4 é 4,

121
00:07:18,170 --> 00:07:26,750
então é menos 4 -- 2 ao quadrado é 4-- vezes 2 é 8, portanto mais 8

122
00:07:26,750 --> 00:07:31,020
então essa é a antiderivada definida em x = 2 e agora vamos

123
00:07:31,020 --> 00:07:35,460
subtrair pela antiderivada definida em 0.

124
00:07:35,460 --> 00:07:46,470
Então isso será menos cosseno de 0 sobre pi

125
00:07:46,470 --> 00:07:50,630
menos 0, mais 0.

126
00:07:50,630 --> 00:07:52,540
Então estes termos não contribuem em qualquer coisa quando

127
00:07:52,540 --> 00:07:54,880
se calcula para x = 0

128
00:07:54,880 --> 00:07:56,250
E então o que temos?

129
00:07:56,250 --> 00:07:58,620
Quanto é o cosseno de 2pi?

130
00:07:58,620 --> 00:08:01,110
Cosseno de 2pi é a mesma coisa que o cosseno de 0,

131
00:08:01,110 --> 00:08:03,090
e é igual a 1.

132
00:08:03,090 --> 00:08:06,490
Qual é o valor de x do círculo trigonométrico no 2pi, ou no 0?

133
00:08:06,490 --> 00:08:07,070
É igual a 1.

134
00:08:07,070 --> 00:08:15,670
Portanto, isso é igual a menos 1 sobre pi, menos 4, mais 8 -- estes dois

135
00:08:15,670 --> 00:08:19,900
menos, tornam-se sinais de adição -- cosseno de 0 também é 1,

136
00:08:19,900 --> 00:08:25,840
então mais 1 sobre pi, e esse -1/π e esse +1/π

137
00:08:25,840 --> 00:08:30,570
se cancelarão, e só nos resta esse -4

138
00:08:30,570 --> 00:08:34,210
e o +8, que é igual a 4.

139
00:08:34,210 --> 00:08:42,830
Então, essa é a parte 1. A parte A da questão número um das questões dissertativas

140
00:08:42,830 --> 00:08:43,920
do DC 2008.

141
00:08:43,920 --> 00:08:46,090
E acabei fazendo um vídeo inteiro apenas para fazer essa parte.

142
00:08:46,090 --> 00:08:48,550
No próximo vídeo, vou fazer a parte B, e vamos apenas manter fazendo

143
00:08:48,550 --> 00:08:51,115
isso, e eu vou tentar fazer uns dois destes todos os dias.

144
00:08:51,115 --> 00:08:52,690
Vejo vocês na próxima!