Greatest Common Divisor

Vítej u prezentace , ve které si ukážeme

jak najít největší společný dělitel několika čísel.

Aby bylo jasné, když se Tě někdo zeptá,

jaký je největší společný dělitel 12 a 8 ?

anglicky Greatest Common Divisor

Tedy v anglicky mluvících zemích píšeme C jako Common

v Čechách bychom psali N jako největší

ale je to anglické video.

Dělitel (D) je v podstatě jakékoli číslo,
kterým můžeme rozdělit

vybrané jiné číslo.

Dělitelů tedy pro jedno číslo může být více.

Pojdmě se tedy podívat,

jak nalézt toho největšího dělitele.

Jaký je tedy největší společný dělitel (anglicky GCD) čísel 12 a 8?

To co uděláme, je velmi přímočarý postup.

Nejprve nalezneme všechny dělitele obou čísel (8 a 12)

Pojďme najít dělitele čísla 12.

1 je určitě dělitel. 2 je také dělitel čísla 12.

3 také dělí 12. (12 : 3 = 4)

4 tedy také dělí 12.

5 ale 12 nedělí, 5 není dělitel čísla 12.
(12:5 není celé číslo)

6 dělí 12, protože 6 x 2 = 12.

A dokonce i 12 je dělitel 12.

1 x 12 = 12

Takže máme dělitele čísla 12.

Pojďme najít dělitele čísla 8.

1 je vždycky dělitel.

2 dělí 8.

3 nedělí 12, 3 není dělitel čísla 12.

4 dělí 12.

Poslední dělitel, stejně jako minule, je samotné číslo 8.

Teď tedy máme všechny dělitele čísel 12 a 8.

Pojdmě se podívat na společné (common) dělitele čísel 12 a 8.

Tak oba mají dělitele 1.

To není nic speciálního,

protože vlastně každé přirozené číslo

má 1 jako svého dělitele.

Obě čísla 12 a 8 sdílejí společného dělitele 2.

A dokonce i společného dělitele 4.

Nás ale zajímá a hledáme společného dělitele,

který je NEJVĚTŠÍ ze všech společných dělitelů.

Tedy společní dělitelé jsou 1, 2 a 4.

Který z nich je ten největší?

To už je celkem snadné.

Je to 4.

Takže největší společný dělitel (Greatest Common Divisior) čísel 12 a 8 je 4.

Pojdmě to zkusit zapsat.

Největší společný dělitel (anglicky GCD, my bychom psali NSD)
čísel 12 a 8 je 4.

-

-

Občas je to celkem vtipné.

Pojďme zkusit další problém.

Jaký je největší společný dělitel 24 a 20?

Zkusme to stejnou cestou.

Dělitelé čísla 25?

Tedy 1.

2 není dělitel.

3 není dělitel.

4 není dělitel.

5 je dělitel.

Je to vlastně 5 x 5.

Tedy i 25 je dělitel čísla 25.

Je zajímavé, že pouze tato 3 čísla jsou dělitelé čísla 25:

Nechám tě přemýšlet, proč číslo 25 má pouze tři dělitele

a přitom další čísla mají daleko více dělitelů.

Teď zkusme najít dělitele čísla 20.

Dělitelé čísla 20 jsou 1, 2, 4, 5, 10 a 20.

A už na první pohled vidíme,

že obě čísla dělí 1, což není zvláštní

ale kteří dělitelé jsou společní?

Tedy pouze : 5.

Největší společný dělitel

25 a 20 je 5 . NSD(25,20)=5

Zkusme další příklad.

Jaký je největší společný dělitel čísel 5 a 12?

Tedy dělitele 5.

Velmi jednoduché.

1 a 5.

To proto, že 5 je prvočíslo.

Nemá jiné dělitele než 1 a sebe samo.

A co Dělitelé 12?

12 má hodně dělitelů.

A to 1, 2, 3, 4, 6 a 12.

Vypadá to tedy, že jedinný společný dělitel je 1.

To je , tedy myslím, celkem zvláštní.

Že největší společný dělitel 5 a 12 je 1.

Pro takovou dvojici čísel máme dokonce pojmenování.

Když je společný dělitel dvou čísel pouze 1,

pak je nazýváme nesoudělná čísla.

A tak to dává smysl, protože nesoudělná čísla

nemají mnoho dělitelů stejně jako prvočísla.

A i každá dvě různá prvočísla.

jsou nesoudělná.

Doufám, že jsem Tě nezmátl

Pojďme ještě jeden příklad

Jaký je největší společný dělitel čísel 6 a 12:

Víme, že 12 jich má dost.

Zkusím se více zamyslet nad našimi čísly.

Jaký je největší společný dělitel čísel 6 a 12?

Tedy dělitelé čísla 6

jsou 1, 2, 3 a 6.

Dělitelé 12 jsou 1, 2, 3 ...

už jsme si je skoro zapamatovali

tedy .... 4, 6 a 12.

Tedy 1 je určitě společný dělitel.

Také 2 je společný dělitel.

3 také.

A i 6 je společný dělitel obou čísel.

Který je tedy největší dělitel?

Ovšemže 6.

A je zajímavé,

že v tomto případě, největší společný dělitel

-

-

že největší společný dělitel čísel 6 a 12 je 6.

Tedy vlastně jedno z obou čísel.

A to dává smysl,

protože 6 opravdu je dělitel 12.

Tak tedy,

doufám, žes porozuměl pojmu největší společný dělitel

-

A někdy v budoucnu si možná ukážeme,

několik dalších příkladů