Úvod do Pytagorovej vety

Pravouhlé trojuholníky a Pytagorova veta

Vitajte na prezentácii o Pytagorovej vete.

Ospravedlňujem sa za môj

zachrípnutý hlas,

ale minulú noc som veľa spieval.

Odpustite mi prosím.

Dnes sa naučíme niečo o Pytagorovej vete.

Určite ste o nej už počuli.

Pokiaľ viem, je to jediná matematická veta, ktorá je

pomenovaná po zakladateľovi náboženstva.

Pytagorovo náboženstvo bolo v podstate celé založené na matematike.

Ale ja nie som historik tak túto oblasť prenechajme historikom.

Poďme sa teda pozrieť na to, o čom tá Pytagorová veta

vlastne je.

Zoberieme si trojuholník.

Ale nebude to hocijaký trojuholník, ale

pravouhlý trojuholník.

Pri pravouhlom trojuholníku platí, že jeden z jeho

uhlov má 90°.

Skúste porozmýšľať, či je možné,

aby mal trojuholník viac ako jeden uhol, ktorý má 90°.

Garantujem vám, že pravouhlý trojuholník je

trojuholník, ktorý môže mať

len jeden 90° uhol.

Pytagorova veta nám v pravouhlom trojuholníku

umožňuje zistiť dĺžku jednej jeho strany,

ak poznáme ďalšie dve.

Predtým ako si povieme znenie vety, pozrime sa

ešte bližšie na náš trojuholník.

Takže ak je toto pravý uhol v pravouhlom trojuholníku, má 90°.

Označíme ho takto hranato, ako krabicu,

nie oblúčikom ako ostatné uhly.

Ale nekomplikujme to.

Strana, ktorá je oproti pravému uhlu

sa nazýva prepona (anglicky hypotenuse).

Je to veľmi zvláštne slovo, mal

by som vyhľadať odkiaľ pochádza.

Na začiatku je dosť zastrašujúce.

Moja sestra mi povedala, že ich učiteľ matematiky

im poradil, ako si ho zapamätať: "high pot that is in use " (vysoký používaný hrniec)

Neviem, či to pomáha alebo nie.

Postupom času, keď ho budete často

používať, bude vám pripadáť ako úplne normálne,

aj keď teraz sa vám zdá zvláštne.

No naspäť ku téme, prepona je strana, ktorá sa nachádza

oproti 90° uhlu.

Keď sa pozriete na akýkoľvek pravouhlý trojuholník, všimnete si,

že prepona je najdlhšia strana z celého trojuholníka.

Takže to by sme mali.

Čo vlastne hovorí tá Pytagorova veta?

Povedzme, že C sa rovná dĺžke

prepony

A bude dĺžka tejto strany

a B bude dĺžka tejto strany.

Pytagorova veta hovorí, že

A na druhú plus B na druhú sa rovná C na druhú

Tento veľmi jednoduchý vzorec

je jeden z nadôležitejších vzorcov v matematike

Vďaka nej sa dostanete aj ku Euklidovej geometrii, trigonometrii

tento vzorec môžete použiť vo viacerých prípadoch.

Tomu sa budem venovať v iných videách.

Poďme tento vzorec použiť v konkrétnom príklade. Presnému zneniu vety

sa budeme venovať v inom videu.

Otvoríme si čistú plochu.

Znova sa ospravedlňujem za svoju roztržitosť,

už dosť dlhú dobu som nenatáčal žiadne video a

navyše ma bolí hrdlo z toho spievania.

Dobre, nakreslime si trojuholník.

Nezabudnite, že to musí byť pravouhlý trojuholník.

Povedzme, že toto je nás pravouhlý trojuholník, tu je 90°.

Táto strana má dĺžku 4

alebo to dajme takto,

táto strana má dĺžku 3 a táto má dĺžku 4.

Našou úlohou je zistiť dĺžku tejto strany.

Prvá vec, ktorú musím urobiť, je zistiť,

ktorá strana je prepona.

Tak ktorá strana je prepona?

Existuje na to jediný spôsob.

Pozrite sa, kde je pravý uhol a strana oproti nemu

je prepona.

Takže to bude naša strana C v Pytagorovej vete.

Môžeme si ju nazvať ako chceme, ale aby to bolo jednoduchšie,

zapamätajte si A na druhú plus B na druhú sa rovná C na druhú.

Takže keď sčítame dve ďalšie strany, ktoré sú tiež umocnené na druhú,

dostaneme C na druhú.

Takže dostaneme 3 na druhú plus 4 na druhú sa rovná C na druhú,

pričom C je naša prepona.

3 na druhú je 9, plus 16 sa rovná C na druhú.

25 sa rovná C na druhú.

Môže nám vyjsť plus alebo mínus 5,

no keďže v geometrii dĺžka strany nemôže byť mínus 5,

C sa bude rovnať plus 5.

Pomocou Pytagorovej vety sme zistili, že ak vieme

dĺžku dvoch strán,

jedna bola 3, druhá 4, potom môžeme použiť Pytagorovu vetu na

výpočet tretej.

Prepona tohto trojuholníka má dĺžku 5.

Poďme na ďalší príklad.

Povedzme, že toto je pravouhlý trojuholník.

Táto strana je dlhá 12, táto je dlhá 6

a chceme zistiť aká dlhá je táto strana.

Napíšme si vzorec Pytagorovej vety.

A na druhú plus B na druhú sa rovná C na druhú.

Keď C je dĺžka predpony,

prvou našou úlohou je pozrieť sa na trojuholník, ktorý som nakreslil,

a zistiť,

ktorá strana je prepona.

Keďže tu máme pravý uhol,

prepona je táto strana.

Keď sa na ňu lepšie pozrieme, môžeme povedať:

"Toto je rozhodne tá najdlhšia strana tohto trojuholníka".

Takže, vieme, že A na druhú plus B na druhú sa rovná 12 na druhú,

čo je 144.

Ďalej vieme, že poznáme dĺžku ešte jednej strany, a druhú nevieme.

A tak sa vás pýtam:

Záleží na tom ktorú stranu označíme A a ktorú B?

Nie.

Strany A a B sú v tomto vzorci považované za rovnocenné.

Takže za stranu A môžeme vybrať hociktorú stranu okrem prepony.

A druhá strana bude strana B.

Takže povedzme že toto je strana B a toto je strana A.

Vieme, že strana A je 6, takže 6 na druhú plus B na druhú

sa rovná 144.

Dostaneme 36 plus B na druhú sa rovná 144.

B na druhú sa rovná 144 mínus 36, B na druhú sa rovná 112.

Teraz poďme zjednodušiť odmocninu zo 112.

Využijeme to, čo sme sa naučili vo videách o odmocňovaní.

Takže B sa rovná odmocnine zo 112.

Porozmýšľajme koľkokrát sa číslo 4 nachádza v čísle 112.

4 sa do nej vojde 28 krát.

A do 28 sa 4 vojde 7 krát.

Čiže sa to rovná 16 krát 7, hovorím správne?

7 krát 10 je 70 plus 42 je 112.

Správne.

Takže B sa rovná odmocnine zo 16 krát 7.

Je to vlastne súčin štvorcového čísla a

prvočísla.

Vlastne to nemusí byť prvočíslo, ale číslo, ktoré sa

nedá odmocniť na celé číslo.

Takže dostaneme B sa rovná 4 krát odmocnina zo 7.

Takže,

toto je 12, toto je 6, toto je 4 krát odmocnina zo 7.

Toto je všetko z dnešnej prezentácie.

Urobím ešte ďalšie videá,

v ktorých sa budem zaoberať problémami Pytagorovej vety.

Čoskoro sa uvidíme.