Tekstopgave med eksponentiel ligning

Vi modellerer en situation med en opsparingskonto. Modellen viser sig at være en eksponentiel ligning.

I dette emne dykker vi dybere ned i en verden af matematisk modellering. Vi vil bruge vores viden om alle de forskellige funktionstyper, vi indtil videre har lært at kende, og bruge dem til at modellere og analysere forskellige fænomener, fra hjerterytmer til økonomisk overskud.

Algebra 2, som ofte bliver undervist i gymnasiet, dækker polynomier; komplekse tal; brøk eksponenter; eksponentielle og logaritmiske funktioner; trigonometriske funktioner; transformation af funktioner; brøk funktioner; og fortsætter med ligninger og modellering. Khan Academy's Algebra 2 kursus er bygget til at levere en omfattende, oplysende, engagerende oplevelse!

Khan Academy har en mission om at give gratis, verdensklasse undervisning til hvem som helst, hvor som helst. Vi tilbyder quizzer, opgaver, videoer og artikler inden for områder som matematik, kunst, computerprogrammering, økonomi, fysik, kemi, biologi, medicin, finans, historie, og meget mere. Vi giver lærere værktøjer og data som de kan bruge til at hjælpe deres elever med at udvikle deres færdigheder, vaner og tankegang, så de fremover kan have succes både i skolen og senere i livet. Khan Academy er oversat til mange sprog og over 15 millioner mennesker verden over lærer via Khan Academy hver måned. Khan Academy er et 501(c)(3) nonprofit selskab.

Giv en donation eller Bliv frivillig i dag!

https://www.khanacademy.org/donate

https://www.khanacademy.org/contribute

Liam har åbnet en opsparingskonto
og indsat 6250 dollars.

Hvert år stiger saldoen med 20%.

Hvor mange år vil der gå
før saldo er på 12960 dollars?

Opstil en ligning der
modellerer situationen.

Brug t til at repræsentere antallet af år
siden Liam oprettede kontoen.

Jeg opfordrer dig til at sætte videoen
på pause og selv prøve at løse den.

Prøv at opstille en ligning,
der modeller situationen

ved at bruge variablen t, som beskrevet.

Og dernæst svare på spørgsmålet,

hvor mange år går der før saldo
er 12960 dollars?

Lad os se på det.

t repræsenterer antallet af år
siden Liam oprettede kontoen.

Lad os sige, det er 0 år
siden Liam oprettede kontoen.

Hvor mange penge har han så?

Han vil blot have 6250 dollars.

Det er det beløb han starter med.

Lad os sige, der er gået 1 år
siden han oprettede kontoen.

Hvor meget har han så?

Han har 6250 + 20% af 6250.

Det vokser med 20% for hvert år.

Dette er det han startede året med,

og så får han endnu 20% af de 6250.

Hvis vi sætter 6250 udenfor parentes,

så bliver det lig med 6250 gange 1 + 20%,
som vi kan skrive som 0,2.

Som er lig 6250 gange 1,2.

Hvor meget har han i slutningen af år 2?

Han har det samme beløb,
som han havde efter år 1 gange 1,2.

Da det igen er vokset med 20%.

Så han har det beløb han havde
i slutningen af år 1 gange 1,2,

som er lig 6250 gange 1,2 gange 1,2,

som er lig 6250 gange 1,2²

Jeg tror du kan se, hvor det bær hen.

Hvad med efter 3 år?

Efter 3 år vil det blot fortsætte.

Vi skal igen gange med 1,2.

Han vil da have 6250 gange 1,2³.

Efter t år skal vi gange
med 1,2 det antal gange.

Efter t år vil han have
6250 gange 1,2 opløftet til t.

Det står opstil en ligning,
der modellerer situationen.

Vi skal finde ud af, hvor mange år vil
det tage før der er 12960 på kontoen?

Hvornår er der 12960 dollars på kontoen?

Vi kan skrive 12960 er lig
6250 gange 1,2 opløftet til t.

Denne ligning modellerer situationen

Nu skal vi så finde ud af,
hvordan vi løser denne tingest.

Det først vi gør er at isolere variablen t.

Lad os dividere på begge sider med 6250.

Så får vi 1,2 opløftet til t er lig
12960 divideret med 6250.

Da 10 går op i dem begge,
lad os dividere dem med 10.

Vi får 1296 divideret med 625.

Nu kan du løse dette på flere måder.

Hvis du tror svaret er et heltal,
så kan du bruge en lommeregner

og gange med 1,2 nok gange,
indtil du får det rigtige tal.

Det er en måde at gøre det på.

Der er en mere systematisk måde at gøre
det på, når du har lært om logaritmer

og det vil jeg vise til sidst.

Jeg venter til sidst, hvis du ikke
har lært om logaritmer endnu.

Du kan altså sige
1296 divideret med 625 er dette tal.

Hvor mange gange skal vi
gange 1,2 med sig selv?

1,2 gange 1,2.

Det er ikke nok.

Lad os prøve 3 gange.

Lad os prøve 1,2³.

1,2 gange 1,2 gange 1,2.

Det er stadig ikke nok.

Hvad hvis vi ganger med 1,2 én gang mere?

Så får vi det rigtige tal.

Vi løste opgaven på den hårde måde.

1,2⁴ giver os denne værdi.

Det er en måde at gøre det på.

At prøve os frem indtil vi får t er lig 4.

Man kan også gøre det på en anden måde.

Dette ligner en 5'er potens.

Vi ved, at 5¹ er 5 og 5² er 25.

5³ er 125 og 5⁴ er 625.

Måske vidste du allerede, at dette var 5⁴.

Det er lidt sværere, at se at dette er 6⁴.

Dette svarer til 6/5.

Vi kan omskrive dette til
6/5 opløftet til t er lig 6⁴/5⁴,

som er det samme som (6/5)⁴.

Derfor kan du sige
6/5 opløftet til t skal være lig (6/5)⁴.

Derfor må t være lig 4.

Dette er jo nemt, når du kan se,
at dette svarer til noget opløftet til 4,

hvilket ikke er helt lige til.

Eller hvis du ved dette er et heltal,
så kan du blot gange med 1,2.

Den systematiske måde at gøre
det på er at bruge logaritmer.

Der er flere videoer på Khan Academy
om hvordan man bruger logaritmer.

Hvis du vil vide til hvilken potens 1,2
skal opløftet til for at få dette,

og vi beviser det i andre videoer,

så tager du logaritmen til det tal,
som 1,2-potensen skal være lig.

Du kan selv vælge logaritmens grundtal.

Din lommeregner har nok den naturlige
logaritme, som har grundtal e,

og 10tals logaritmen.

Lad os bruge 10tals logaritmen.

Vi tager logaritmen til
det tal vi skal ende med

altså 2,0736 og dividerer det
med det tal vi opløfter,

så vi dividerer det med logaritmen til 1,2.

Det ser måske lidt lidt mystisk ud,
men vi forklarer det i andre videoer.

Du kan bruge en lommeregner
til at udregne det,

fordi nogle gange får du ikke et heltal.

Det kunne være 3,5 år eller 7,1234 år,
det kunne være hvad som helst.

Dette vil give et mere præcist svar.

Hvad skal du ende med?

Du skal ende med 2,0736.

Hvad skal opløftes?

1,2.

Du dividerer logaritmen
af det du vil ende med

med logaritmen til det du opløfter
og trykker Enter

og du får svaret.

Det er en anden måde at sige
1,2⁴ er lig 2,0736.

Det ligner magi,
hvis du ikke kender til logaritmer,

men vi har videoer om det på Khan Academy.

Dette kan løses på flere måder,

især denne opgave,
hvor svaret er mere enkelt.