部分分数展開 2

より複雑な問題。

では、より複雑な部分分数展開に

取り組んでみましょう。

10＊ x＾２＋ 12 x ＋20 が分子で、

x＾３−８が分母です。

まず、いかなる有理方程式でも、行うことは

展開する前に

分子は、分母より低い次数であることを確認します。

そうでない場合は、先のビデオで行ったように、

分割します。

ここでは、分母が３次で、

分子が２次なので、

だいじょうぶです。

これは 1 つ低い次数です。

それは同じ次数なら、

分割をします。

次に、これを、

因数に分解します。

ここで、分母の因数分解をすると、

3次なので

２次の多項式はよりも

通常、難しいです。

しかし、このケースは、うまくいけば

見ただけで、

何になるか、わかるでしょう。

常にどの数字が代入できるか考える必要がありますが、

これが０になるには、

この場合は、何の３乗がー 8 に等しいですか？

うまくいけば、2 を思いつきますね。

これだけは本当に

経験を通してできるようになります。

２の３乗は、８を引くと、０です。

だから、この式は２で０になり、

（x−２）が因子です。

だから、書き換えると、
１０＊x＾２＋１２x＋２０が分子で、

（x−２）掛ける何かが分母です。

（x−２）掛ける何かが分母です。

何かまだ分かりません。

ここで、なぜこれが真であるか、

直観的にわかりますか？

2 はこのを 0 にするので、それを含む式も

０になります。

2 が、この因数分解式を 0 にするとわかっています。

ここに２を入れると、これが０になり、

それ全部 0 になります。

直観的に、

ここで代入して、これが０になる数は、

ここでも

その因子になることがわかります。

次のステップは、

この有理方程式を展開するに、この部分を理解することで

代数学で割ってみましょう。

本質的に、（x−２）はx＾３−８に

どのように入りますか？

x−２はx＾３に

ここに書きます。

２次の項と１次の項の場所を残して置きます。

それからー 8 が定数項です。

適した次数の項を維持しましょう。

代数の分割を行う場合は、その必要がありません。

では、x−２はx＾３に

何回入りますか？

最高次を見ています。

xの2乗が入り、この項に

xの2乗を置きます。x−２にxの2乗を掛けると、

x＾３−２x＾２で、

−２x＾２があります。

それを、減算します。

負を加えると、

簡単に、これらがキャンセルされ、

２x＾２−８が残ります。

何回、 x ー2 は２x＾２−８に入りますか。

高い次数の項を見て、

xは２X＾２に、２xはいります。

つまり、ここは、２x（x−２）で、２x＾２−４xです。

減算します。

４x−８が残ります。

４x−８に、x−２は、４回はいります。残りはありません。

これは、x−２が

x＾３−８の因子だったことを確認します。

いいですか？

（x＾２＋２x＋４）（x−２）は

x＾３−８です。

元の問題を書くことができます。

元の問題を書くことができます。

実際に、書いてみましょう。

それは 10でしたか。 色 を切り替えます。

１０x＾２＋１２x＋２０が分子で、

分母は、（x−２）（x＾２＋２x＋４）です。

分母は、（x−２）（x＾２＋２x＋４）です。

分母は、（x−２）（x＾２＋２x＋４）です。

これまでは、x＾３−８の因数分解をしました。

これから、部分分数展開を行います。

あるいは、部分分数分解です。

これは興味深い点です。

この先は、以前のビデオと少し、

変わってきます。

これは、定数をこの分母、x−２で割ったものと

最後のビデオで見たものと、異なって

これに、

xの項が、何かの係数掛けるxの項＋c

つまり、Bx＋cをこれで割ったものです。

x＾２＋２x＋４が分母です。

どうして分かるのでしょう？

この分母の次数を

見てください。

これは、１次の分母です。

この部分は分子の次数は

1 より小さいことになると思います。

したがって、これは 0 次で、

定数項 です。これは、２次で

その分子の次数は、

1 です。さらに定数項が加えられるので、

bx＋cです。cが０次の項です。

これは、単なる定数項になるかもしれません。

その場合、Bは 0 になります。

ここで、気になることは、

なぜ、これをさらに因数分解しないかです。

それを見れば、

暗算してみて、

虚数の平方根になることが分かります。

これは、実際に因数分解が不可能です。

実数では、因数分解できません。

これは、本当の０になりません。

できるだけの因数分解が既に行われています。

だから、この時点で、部分分数展開を行います。

A、B、Cを解きます。

先のビデオでやったと同じです。

本質的に

これら 2 つを加えます。

加える場合は、この左を書きます。

１０＊x＾２＋１２x＋２０／（x−２）（x＾２＋２x＋４）は

これらの 2 つを加えたものに等しいです。

共通分母は、（x−２）を

（x＾２＋２x＋４）で掛け、つまり、この２つを掛けます。

それが、共通分母で、

分子は、A（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋C）（x−２）です。

A（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋C）（x−２）です。

分母は同じで、

分子が等しくなるので、１０x＾２＋１２x＋３０は

A（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋C）（x−２）に

等しくなります。

厄介な問題に見えますが、

先にビデオのように、順にやっていけば、

3 つの方程式と 3 つの未知数で、解くことができます。

ややっこしく見えますが、

同じ方法で解けます。

これを簡素化するxを選びましょう。

A、B、Cを順に解いています。

まず、xを選んで、２つの変数をキャンセルできます。

どの数をxに代入すれば

いいでしょう？

xを２とすると、これが０になります。

この全体の式が 0 になると、

Aと、２であるxが残ります。

xは２に設定したからです。

X が 2 に等しい場合は、何が得られますか？

１０＊２＾２＋１２＊２＋２０は

４０＋２４＋２０で、

これは、A＊（２＾２＋２＊２＋４）に等しいです。

これは、０になります。

xが２だから、０です。

４０＋２４＋２０は８４です。

12A に等しく、双方を 12 で割ると、Aは 7 になります。

いいですか？

見てみましょう。

他の どのようなx の値は、

B が消えるでしょう？

または、cが消えるでしょう。

Bを消すには、

xを０にしてみましょう。

新しい鮮やかな色、黄色で書きます。

xを0 にして

これは 0＊ 0 で、２０が左に残ります。

これは、７＊（０＋４）＋

Bx＋Cで、Bが消えるので、

C＊−２です。

つまり、２０＝２８−２cです。

両辺から２８を引き、−８＝ー２cで、

c は 4 になります。

ほぼ完了です。

この方程式を書き換え

これを行うことがでるか見てみましょう。

大丈夫です。

１０x＾２＋１２x＋２０＝

７（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋４）（x−２）です。

７（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋４）（x−２）です。

場所がなくなってきました。

xとBなので、Bが解けます。

Bが消えないような、x の値を置き換えても

見ましょう。

ここでは、x が 0 は、選べません。

xが１では、１０＋１２＋２０＝

７（１＋２＋４）＋（B＋４）（１−２）です。

７（１＋２＋４）＋（B＋４）（１−２）です。

ここは、４２＝４９−B−４です。

４２＝４５−Bです。

両辺から４５を引くと、

−３＝ーB

両側をー 1 を分割します。

この問題のBは３に等しいです。

Aは７で、Cは４です。

この部分分数分解は、

７／（２−x）＋（３x＋４）／（x＾２＋２x＋４）です。

７／（２−x）＋（３x＋４）／（x＾２＋２x＋４）です。

かなり骨の折れる問題でした。

次数が上がると、部分分数分解がもっと複雑になりえます。

理解してもらえたでしょうか？

役に立ちましたか？