では、より複雑な部分分数展開に
取り組んでみましょう。
10＊ x＾２＋ 12 x ＋20 が分子で、
x＾３−８が分母です。
まず、いかなる有理方程式でも、行うことは
展開する前に
分子は、分母より低い次数であることを確認します。
そうでない場合は、先のビデオで行ったように、
分割します。
ここでは、分母が３次で、
分子が２次なので、
だいじょうぶです。
これは 1 つ低い次数です。
それは同じ次数なら、
分割をします。
次に、これを、
因数に分解します。
ここで、分母の因数分解をすると、
3次なので
２次の多項式はよりも
通常、難しいです。
しかし、このケースは、うまくいけば
見ただけで、
何になるか、わかるでしょう。
常にどの数字が代入できるか考える必要がありますが、
これが０になるには、
この場合は、何の３乗がー 8 に等しいですか？
うまくいけば、2 を思いつきますね。
これだけは本当に
経験を通してできるようになります。
２の３乗は、８を引くと、０です。
だから、この式は２で０になり、
（x−２）が因子です。
だから、書き換えると、 １０＊x＾２＋１２x＋２０が分子で、
（x−２）掛ける何かが分母です。
何かまだ分かりません。
ここで、なぜこれが真であるか、
直観的にわかりますか？
2 はこのを 0 にするので、それを含む式も
０になります。
2 が、この因数分解式を 0 にするとわかっています。
ここに２を入れると、これが０になり、
それ全部 0 になります。
直観的に、
ここで代入して、これが０になる数は、
ここでも
その因子になることがわかります。
次のステップは、
この有理方程式を展開するに、この部分を理解することで
代数学で割ってみましょう。
本質的に、（x−２）はx＾３−８に
どのように入りますか？
x−２はx＾３に
ここに書きます。
２次の項と１次の項の場所を残して置きます。
それからー 8 が定数項です。
適した次数の項を維持しましょう。
代数の分割を行う場合は、その必要がありません。
では、x−２はx＾３に
何回入りますか？
最高次を見ています。
xの2乗が入り、この項に
xの2乗を置きます。x−２にxの2乗を掛けると、
x＾３−２x＾２で、
−２x＾２があります。
それを、減算します。
負を加えると、
簡単に、これらがキャンセルされ、
２x＾２−８が残ります。
何回、 x ー2 は２x＾２−８に入りますか。
高い次数の項を見て、
xは２X＾２に、２xはいります。
つまり、ここは、２x（x−２）で、２x＾２−４xです。
減算します。
４x−８が残ります。
４x−８に、x−２は、４回はいります。残りはありません。
これは、x−２が
x＾３−８の因子だったことを確認します。
いいですか？
（x＾２＋２x＋４）（x−２）は
x＾３−８です。
元の問題を書くことができます。
実際に、書いてみましょう。
それは 10でしたか。 色 を切り替えます。
１０x＾２＋１２x＋２０が分子で、
分母は、（x−２）（x＾２＋２x＋４）です。
これまでは、x＾３−８の因数分解をしました。
これから、部分分数展開を行います。
あるいは、部分分数分解です。
これは興味深い点です。
この先は、以前のビデオと少し、
変わってきます。
これは、定数をこの分母、x−２で割ったものと
最後のビデオで見たものと、異なって
これに、
xの項が、何かの係数掛けるxの項＋c
つまり、Bx＋cをこれで割ったものです。
x＾２＋２x＋４が分母です。
どうして分かるのでしょう？
この分母の次数を
見てください。
これは、１次の分母です。
この部分は分子の次数は
1 より小さいことになると思います。
したがって、これは 0 次で、
定数項 です。これは、２次で
その分子の次数は、
1 です。さらに定数項が加えられるので、
bx＋cです。cが０次の項です。
これは、単なる定数項になるかもしれません。
その場合、Bは 0 になります。
ここで、気になることは、
なぜ、これをさらに因数分解しないかです。
それを見れば、
暗算してみて、
虚数の平方根になることが分かります。
これは、実際に因数分解が不可能です。
実数では、因数分解できません。
これは、本当の０になりません。
できるだけの因数分解が既に行われています。
だから、この時点で、部分分数展開を行います。
A、B、Cを解きます。
先のビデオでやったと同じです。
本質的に
これら 2 つを加えます。
加える場合は、この左を書きます。
１０＊x＾２＋１２x＋２０／（x−２）（x＾２＋２x＋４）は
これらの 2 つを加えたものに等しいです。
共通分母は、（x−２）を
（x＾２＋２x＋４）で掛け、つまり、この２つを掛けます。
それが、共通分母で、
分子は、A（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋C）（x−２）です。
A（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋C）（x−２）です。
分母は同じで、
分子が等しくなるので、１０x＾２＋１２x＋３０は
A（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋C）（x−２）に
等しくなります。
厄介な問題に見えますが、
先にビデオのように、順にやっていけば、
3 つの方程式と 3 つの未知数で、解くことができます。
ややっこしく見えますが、
同じ方法で解けます。
これを簡素化するxを選びましょう。
A、B、Cを順に解いています。
まず、xを選んで、２つの変数をキャンセルできます。
どの数をxに代入すれば
いいでしょう？
xを２とすると、これが０になります。
この全体の式が 0 になると、
Aと、２であるxが残ります。
xは２に設定したからです。
X が 2 に等しい場合は、何が得られますか？
１０＊２＾２＋１２＊２＋２０は
４０＋２４＋２０で、
これは、A＊（２＾２＋２＊２＋４）に等しいです。
これは、０になります。
xが２だから、０です。
４０＋２４＋２０は８４です。
12A に等しく、双方を 12 で割ると、Aは 7 になります。
いいですか？
見てみましょう。
他の どのようなx の値は、
B が消えるでしょう？
または、cが消えるでしょう。
Bを消すには、
xを０にしてみましょう。
新しい鮮やかな色、黄色で書きます。
xを0 にして
これは 0＊ 0 で、２０が左に残ります。
これは、７＊（０＋４）＋
Bx＋Cで、Bが消えるので、
C＊−２です。
つまり、２０＝２８−２cです。
両辺から２８を引き、−８＝ー２cで、
c は 4 になります。
ほぼ完了です。
この方程式を書き換え
これを行うことがでるか見てみましょう。
大丈夫です。
１０x＾２＋１２x＋２０＝
７（x＾２＋２x＋４）＋（Bx＋４）（x−２）です。
場所がなくなってきました。
xとBなので、Bが解けます。
Bが消えないような、x の値を置き換えても
見ましょう。
ここでは、x が 0 は、選べません。
xが１では、１０＋１２＋２０＝
７（１＋２＋４）＋（B＋４）（１−２）です。
ここは、４２＝４９−B−４です。
４２＝４５−Bです。
両辺から４５を引くと、
−３＝ーB
両側をー 1 を分割します。
この問題のBは３に等しいです。
Aは７で、Cは４です。
この部分分数分解は、
７／（２−x）＋（３x＋４）／（x＾２＋２x＋４）です。
かなり骨の折れる問題でした。
次数が上がると、部分分数分解がもっと複雑になりえます。
理解してもらえたでしょうか？
役に立ちましたか？