では、より複雑な部分分数展開に
取り組んでみましょう。
10* x^2+ 12 x +20 が分子で、
x^3−8が分母です。
まず、いかなる有理方程式でも、行うことは
展開する前に
分子は、分母より低い次数であることを確認します。
そうでない場合は、先のビデオで行ったように、
分割します。
ここでは、分母が3次で、
分子が2次なので、
だいじょうぶです。
これは 1 つ低い次数です。
それは同じ次数なら、
分割をします。
次に、これを、
因数に分解します。
ここで、分母の因数分解をすると、
3次なので
2次の多項式はよりも
通常、難しいです。
しかし、このケースは、うまくいけば
見ただけで、
何になるか、わかるでしょう。
常にどの数字が代入できるか考える必要がありますが、
これが0になるには、
この場合は、何の3乗がー 8 に等しいですか?
うまくいけば、2 を思いつきますね。
これだけは本当に
経験を通してできるようになります。
2の3乗は、8を引くと、0です。
だから、この式は2で0になり、
(x−2)が因子です。
だから、書き換えると、
10*x^2+12x+20が分子で、
(x−2)掛ける何かが分母です。
(x−2)掛ける何かが分母です。
何かまだ分かりません。
ここで、なぜこれが真であるか、
直観的にわかりますか?
2 はこのを 0 にするので、それを含む式も
0になります。
2 が、この因数分解式を 0 にするとわかっています。
ここに2を入れると、これが0になり、
それ全部 0 になります。
直観的に、
ここで代入して、これが0になる数は、
ここでも
その因子になることがわかります。
次のステップは、
この有理方程式を展開するに、この部分を理解することで
代数学で割ってみましょう。
本質的に、(x−2)はx^3−8に
どのように入りますか?
x−2はx^3に
ここに書きます。
2次の項と1次の項の場所を残して置きます。
それからー 8 が定数項です。
適した次数の項を維持しましょう。
代数の分割を行う場合は、その必要がありません。
では、x−2はx^3に
何回入りますか?
最高次を見ています。
xの2乗が入り、この項に
xの2乗を置きます。x−2にxの2乗を掛けると、
x^3−2x^2で、
−2x^2があります。
それを、減算します。
負を加えると、
簡単に、これらがキャンセルされ、
2x^2−8が残ります。
何回、 x ー2 は2x^2−8に入りますか。
高い次数の項を見て、
xは2X^2に、2xはいります。
つまり、ここは、2x(x−2)で、2x^2−4xです。
減算します。
4x−8が残ります。
4x−8に、x−2は、4回はいります。残りはありません。
これは、x−2が
x^3−8の因子だったことを確認します。
いいですか?
(x^2+2x+4)(x−2)は
x^3−8です。
元の問題を書くことができます。
元の問題を書くことができます。
実際に、書いてみましょう。
それは 10でしたか。 色 を切り替えます。
10x^2+12x+20が分子で、
分母は、(x−2)(x^2+2x+4)です。
分母は、(x−2)(x^2+2x+4)です。
分母は、(x−2)(x^2+2x+4)です。
これまでは、x^3−8の因数分解をしました。
これから、部分分数展開を行います。
あるいは、部分分数分解です。
これは興味深い点です。
この先は、以前のビデオと少し、
変わってきます。
これは、定数をこの分母、x−2で割ったものと
最後のビデオで見たものと、異なって
これに、
xの項が、何かの係数掛けるxの項+c
つまり、Bx+cをこれで割ったものです。
x^2+2x+4が分母です。
どうして分かるのでしょう?
この分母の次数を
見てください。
これは、1次の分母です。
この部分は分子の次数は
1 より小さいことになると思います。
したがって、これは 0 次で、
定数項 です。これは、2次で
その分子の次数は、
1 です。さらに定数項が加えられるので、
bx+cです。cが0次の項です。
これは、単なる定数項になるかもしれません。
その場合、Bは 0 になります。
ここで、気になることは、
なぜ、これをさらに因数分解しないかです。
それを見れば、
暗算してみて、
虚数の平方根になることが分かります。
これは、実際に因数分解が不可能です。
実数では、因数分解できません。
これは、本当の0になりません。
できるだけの因数分解が既に行われています。
だから、この時点で、部分分数展開を行います。
A、B、Cを解きます。
先のビデオでやったと同じです。
本質的に
これら 2 つを加えます。
加える場合は、この左を書きます。
10*x^2+12x+20/(x−2)(x^2+2x+4)は
これらの 2 つを加えたものに等しいです。
共通分母は、(x−2)を
(x^2+2x+4)で掛け、つまり、この2つを掛けます。
それが、共通分母で、
分子は、A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2)です。
A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2)です。
分母は同じで、
分子が等しくなるので、10x^2+12x+30は
A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2)に
等しくなります。
厄介な問題に見えますが、
先にビデオのように、順にやっていけば、
3 つの方程式と 3 つの未知数で、解くことができます。
ややっこしく見えますが、
同じ方法で解けます。
これを簡素化するxを選びましょう。
A、B、Cを順に解いています。
まず、xを選んで、2つの変数をキャンセルできます。
どの数をxに代入すれば
いいでしょう?
xを2とすると、これが0になります。
この全体の式が 0 になると、
Aと、2であるxが残ります。
xは2に設定したからです。
X が 2 に等しい場合は、何が得られますか?
10*2^2+12*2+20は
40+24+20で、
これは、A*(2^2+2*2+4)に等しいです。
これは、0になります。
xが2だから、0です。
40+24+20は84です。
12A に等しく、双方を 12 で割ると、Aは 7 になります。
いいですか?
見てみましょう。
他の どのようなx の値は、
B が消えるでしょう?
または、cが消えるでしょう。
Bを消すには、
xを0にしてみましょう。
新しい鮮やかな色、黄色で書きます。
xを0 にして
これは 0* 0 で、20が左に残ります。
これは、7*(0+4)+
Bx+Cで、Bが消えるので、
C*−2です。
つまり、20=28−2cです。
両辺から28を引き、−8=ー2cで、
c は 4 になります。
ほぼ完了です。
この方程式を書き換え
これを行うことがでるか見てみましょう。
大丈夫です。
10x^2+12x+20=
7(x^2+2x+4)+(Bx+4)(x−2)です。
7(x^2+2x+4)+(Bx+4)(x−2)です。
場所がなくなってきました。
xとBなので、Bが解けます。
Bが消えないような、x の値を置き換えても
見ましょう。
ここでは、x が 0 は、選べません。
xが1では、10+12+20=
7(1+2+4)+(B+4)(1−2)です。
7(1+2+4)+(B+4)(1−2)です。
ここは、42=49−B−4です。
42=45−Bです。
両辺から45を引くと、
−3=ーB
両側をー 1 を分割します。
この問題のBは3に等しいです。
Aは7で、Cは4です。
この部分分数分解は、
7/(2−x)+(3x+4)/(x^2+2x+4)です。
7/(2−x)+(3x+4)/(x^2+2x+4)です。
かなり骨の折れる問題でした。
次数が上がると、部分分数分解がもっと複雑になりえます。
理解してもらえたでしょうか?
役に立ちましたか?