Volume van een kegel

Laten we het eens hebben
over het volume van een kegel.

Een kegel heeft een ronde basis.

En het hangt er een beetje
van af hoe je het tekent

maar als je denkt aan een
kegelvormige hoed

dan heeft het een
cirkel als basis.

en het loopt dan in een punt.

Het zou er dan ongeveer zo uitzien.

Dit kan je dus beschouwen als een kegel.

Of je maakt hem ondersteboven,

als je aan een ijshoorntje denkt.

Dan zou het er zo uit kunnen zien.

Dat is de bovenkant.

En dan loopt het zo naar beneden.

Dit lijkt ook wel een beetje
op wegwerp bekers

die je bij waterkoelers ziet.

En het belangrijkste wat we moeten weten

als we het volume van
een kegel willen berekenen

is dat we de radius willen weten.

Zo, dat is de radius van de basis.

Of hier is de radius
van de bovenkant.

Je hebt sowieso die radius nodig.

En je moet weten hoe hoog de kegel is.

Laten we die h noemen.

Die schrijf ik hier.

Je kunt deze afstand h noemen.

En de formule voor het volume van een kegel

is bijna gelijk aan de formule voor het volume

van een cilinder.

En dat is iets wat verrassend.

En het mooie aan deze

drie-dimensionale meetkunde is

dat het niet zo willekeurig is als het lijkt.

Het is de oppervlakte van de basis.

Nou, wat is de oppervlakte van de basis?

De oppervlakte van de basis is
pi r kwadraat.

Het wordt pi r kwadraat keer de hoogte.

En als je gewoon de hoogte met
pi r kwadraat vermenigvuldigd,

krijg je het volume van een hele cilinder.

Dat ziet er ongeveer zo uit.

Dit geeft je dus het volume

van het hele figuur dat er zo uitziet.

Waarvan het middelpunt van de bovenkant,
deze punt is.

Dus als ik het laat als pi r kwadraat h

of h keer pi r kwadraat, is dat het volume

van de hele cilinder.

Maar als je alleen de kegel wilt,
is dat 1/3 daarvan.

Het is 1/3 daarvan.

En dat bedoel ik als ik zeg

dat het verrassend goed uitkomt, dat
deze kegel

1/3 van het volume van de cilinder heeft.

Je kan het zien alsof het door de cilinder
omgrensd wordt.

Of als je dit wilt herschrijven,

kun je dit schrijven als 1/3 keer pi
of pi/3 keer h r kwadraat.

Net hoe je het fijn vindt.

Een makkelijke manier hoe ik het onthoud?

Voor mij is het volume van een cilinder
vrij intuïtief.

Je neemt de oppervlakte van de basis.

En dat vermenigvuldig je met de hoogte.

En het volume van een kegel,
is gewoon 1/3 daarvan.

Het is gewoon 1/3 van het volume,
van de omgrenzende cilinder.

Dat is een manier om het te zien.

Maar laten we dit nu eens gebruiken,

zodat we zeker weten dat we het snappen.

Stel dat dit een soort van
kegelvormig glas is,

zo een die je wel is bij
waterkoelers ziet.

En stel dat ze ons vertellen,

dat er 131 kubieke cm water in zit.

En ze vertellen ook dat de hoogte,

deze hoogte,
ik wil het in een andere kleur doen,

ze vertellen dat de hoogte van deze
kegel 5 cm is.

Dat wetende, wat is ongeveer

de radius van de bovenkant van het glas?

Laten we zeggen, afgerond op een
10e van een cm.

Nou, we moeten gewoon weer de formule toepassen.

Het volume, wat 131 kubieke cm is,

wordt gelijk aan 1/3 keer pi

keer de hoogte, welke 5 cm is,
keer de radius in het kwadraat.

Als we dit willen oplossen voor de
radius in het kwadraat,

kunnen we gewoon beide kanten delen
door al deze dingen.

En dat geeft ons radius kwadraat is

gelijk aan 131 cm tot de derde

of 131 kubieke cm,
moet ik zeggen.

Je deelt door 1/3.

Dat is het zelfde als vermenigvuldigen met 3.

En dan, natuurlijk, deel je het door pi.

En deel je door 5 cm.

Laten we eens kijken of we dit
iets netter kunnen maken.

Deze cm valt weg met een van deze centimeters.

Je houdt dus vierkante cm over.

alleen in de teller.

En om r op te lossen,

nemen we de wortel van beide kanten.

We kunnen dus zeggen dat r

gelijk is aan de wortel van
3 keer 131

dat is 393, gedeeld door 5 pi

En denk er aan, we kunnen eenheden

net zo gebruiken als algebraïsche hoeveelheden.

De wortel van cm kwadraat, nou

dat wordt gewoon cm, en dat is fijn

want we willen onze eenheden in cm.

Laten we onze rekenmachine pakken

en deze moeilijke uitdrukking uitrekenen.

Zet hem aan.

Eens kijken

De wortel van 393 gedeeld door 5 keer pi,

is gelijk aan

Dat is vrij dichtbij,
dus afgerond is het ongeveer 5 cm.

Dus onze radius is ongeveer gelijk aan 5 cm.

Tenminste, in dit voorbeeld.