Пример с потенциална енергия на намотка (грешка в математиката)

Една пружина, една замръзнала намотка и още нещо! (Виж дали можеш да намериш грешката, която направих, и да разбереш верния отговор!)

Здравей отново.

И така, нека решим една
задача за потенциалната енергия

на стегната пружина.

Нека направим интересна задачата.

Да кажем, че
имам една такава намотка.

Намотка, направена от лед.

Направих я така,
за да няма триене.

Нека изобразя

моята намотка.

Ето това е телта,
а тук е извивката.

Така.

И да кажем тази извивка
има радиус от 1 метър.

Тоест ето това тук е 1 метър.

И цялата извивка
ще е с височина

2 метра.

И да кажем, че тук
имам една пружина –

натисната пружина.

Да кажем, това е стената.

Това е пружината, тя е
натисната, така че

цялата е стегната така.

И да кажем, че нейната
"пружинна" константа, k, е

примерно 10.

Прилепнал към тази натисната
пружина е един блок лед,

понеже трябва да имаме лед
върху лед, за да няма триене.

Ето го моят леден блок, искрящ.

И да кажем, че леденият блок
е примерно 4 килограма.

Знаем също, че се намираме
на Земята, и това

е важно, защото задачата
можеше да изглежда различно,

ако бяхме на някоя друга планета.

И въпросът ми към теб е:
"Колко силно трябва да притискаме пружината?"

Да кажем, че естественото положение
на пружината е ето такова,

на пружината е такова, ето така,
ако не се прилага натиск върху нея.

А сега тя е тук.

И какво е това разстояние?

Какъв натиск трябва да приложа
върху тази пружина, за да може

когато я отпусна, блокът да се движи
с достатъчна скорост

и достатъчна енергия, така че
да има способността да извърши

това извиване, стигайки безпроблемно
другия край?

И така, как решаваме тази задача?

Във всяка задача,
включваща намотки от този вид,

трудната част е достигането
на високата точка от намотка.

Трудната част е в това да сме сигурни,
че скоростта е достатъчна

в тази точка, за да
се избегне падане.

Скоростта ни трябва да компенсира
земното ускорение,

в който случай – и тук, ще бъде
центростремително ускорение, нали така?

Това е едно от нещата,
за които трябва да помислим.

И може би си казваш, леле, това е
сложно, тук има някаква пружина,

тя ще ускори блока.

После той ще стигне тук,
след което

ще намалява и намалява скоростта.

Той ще се намира тук,
когато е на най-бавна скорост,

и следва отново ускоряване тук.

Много сложна задача.

Във физиката всеки път, когато се
появи много сложна задача,

това е поради факта, че
достигаме до нея по свръхсложен начин,

а може да има и по-прост начин за това.

И той е чрез използване на енергия –
потенциална и кинетична енергия.

И от наученото за потенциална
и кинетична енергия,

знаем, че общата енергия на системата не се променя,

а просто преминава
от една форма в друга.

Тук има преминаване от потенциална
енергия в кинетична енергия

или в топлина.

Приемаме, че няма топлина,

заради липсата на триене.

И нека решим тази задача.

И така, искаме да знаем с каква сила

трябва да натискам тази пружина?

Това, което всъщност казвам, е
с каква потенциална енергия

трябва да започна в началото –
при тази свита пружина –

за да достигна тук горе?

Каква е потенциалната енергия?

Да кажем, че натискам пружината x метра.

И от колко потенциална енергия
ще имам тогава?

Научихме, че потенциалната енергия
на една натисната пружина –

ще я нарека начална потенциална енергия –

началната потенциална енергия, която бележим с i,

е равна на 1/2kx^2.

Знаем колко е k.

Казах ти, че това е константата
на пружината, която е равна на 10.

И моята потенциална енергия
ще е равна на 1/2 по 10,

умножено по x на квдрат.

А какви са всичките компоненти
на енергията тук?

Очевидно е, че в тази точка
блокът ще трябва

да се движи, за да не падне.

Затова той ще има
някаква скорост, v.

Движи се като допирателна
към намотката.

И пак ще има някаква потенциална енергия.

Откъде идва тази потенциална енергия?

Ами, тя ще дойде, защото
се намира на открито, във въздуха.

Това е над повърхността
на намотката.

И ще има някаква
гравитационна потенциална

енергия, нали така?

И в този момент ще е налице
някаква кинетична енергия.

Ще я наречем крайна кинетична енергия,

може и тук долу да е крайната
кинетична енергия,

но аз ще дефинирам тази горе така.

После прибавяме крайната
потенциална енергия.

И това, разбира се, трябва да се
прибави към 10 по x на квадрат.

И тази енергия се нарича
потенциална енергия на пружината,

а тази тук – гравитационна
потенциална енергия.

И колко е енергията
в тази точка?

А колко е кинетичната енергия?

Крайната кинетична енергия ще е
равна на 1/2 по масата,

умножено по скоростта
на квадрат, нали така?

И сега, каква е потенциалната
енергия в тази точка?

Това е гравитационна потенциална
енергия и затова е налице произведението

на масата, земното ускорение и височината.

Нали?

Ще напиша това тук.

Крайната потенциална енергия

ще е равна на произведението
на масата, земното ускорение и височината,

което е като абревиатура на
Масова Окръжна Болница (англ.-б.пр.).

Жена ми е лекар

и мозъкът ми е само... както и да е.

Нека пресметнем кинетичната
енергия в този момент.

А скоростта каква
трябва да бъде?

Трябва да намерим
центростремителното ускорение,

след което, като имаме това,
ще можем да намерм и скоростта.

Понеже знаем, че
центростремителното ускорение –

ще променя малко цветовете
за разнообразие –

центростремителното ускорение
трябва да е равно на

частното от квадрата на скоростта и радиуса, нали?

А какво е
центростремителното ускорение в тази точка?

Ами то е просто земното ускорение –

9,8 метра върху секунда на квадрат.

И 9,8 метра върху секунда на квадрат
е равно на

v на квадрат върху r.

А какъв е радисусът на
тази намотка?

Той е 1.

Така v на квадрат вурху r

ще е равно на v на квадрат.

И v на квадрат е равно на 9,8 –
можем да вземем квадратния корен

или можем просто да заместим
направо с 9,8 в това уравнение.

И крайната кинетична енергия
ще е равна на 1/2 по масата,

умножено по 4, по
v на квадрат, по 9,8.

И това е равно – само нека използваме
g вместо 9,8, защото си мисля,

че така ще остане интересно.

И, това е просто g, нали така?

Имаме 2 пъти g.

Крайната кинетична енергия
е равна на 2g –

и g е по принцип в
метри за секунда на квадрат,

но сега е във формата на енергия, нали?

Затова ще бъде в джаули.

Но е равно на 2g, нали?

А каква е потенциалната енергия
в този момент?

Това е масата, която е 4, по g,

умножено по височината, която е 2.

Получаваме 8g.

Така.

И каква е общата енергия
в тази точка?

Кинетичната енергия е 2g,
потенциалната енергия е 8g,

следователно общата енергия
в тази точка е 10g.

10g обща енергия.

Общата енергия в тази
точка е 10g, и не сме изгубили

никаква енергия в триене
и висока температура, или подобни.

Затова общата енергия в тази точка

също трябва да бъде равна на 10g.

В тази точка няма
кинетична енергия,

защото този блок
още не е започнал да се движи.

Така цялата енергия
излиза да е потенциална.

И тук също имаме равенство с 10g.

А това g, продължавам да
припомням, е само 9,8.

Исках само да направя това,
за да видиш, че е налице

кратност на 9,8,
просто за да го забележиш.

Та какво имаме тук?

Тези числа се получиха добре.

Нека разделим двете страни на 10.

Получаваме x на квадрат
е равно на g, което е 9,8.

Така x ще е равно на
корен квадратен от g,

което ще е равно на какво?

Да видим, ако имам 9,8
и взема корен квадратен от него,

излиза 3,13.

Така, x е 3,13.

Така имахме задача, която изглеждаше трудна,

но се оказа не толкова зле.

Тъкмо казахме, че енергията в началото

трябва да представлява енергията
във всяка една точка тук,

като приемаме, че нито една част
от енергията не се губи като топлина.

Разбрахме, че ако натиснем тази пружина

с "пружинна" константа от 10...

Ако я свием 3,13 метра,

ще сме създали
достатъчно потенциална енергия –

и в този случай потенциалната енергия
е 10 по 9,8,

което е приблизително 98 джаула.

98 джаула потенциална енергия
за пренасяне на този обект през целия път

с достатъчно голяма скорост,
до върха на намотката,

след което да се върнем безпроблемно долу.

И ако искахме да помислим,
каква е кинетичната енергия в тази точка?

Пресметнахме, че тя е
2, умножено по g,

получаваме 19,6 джаула.

Така.

И тогава в тази точка,
тя е 98 джаула.

Пресметнах ли го правилно?

Както и да е, времето ми
свършва, така че се надявам,

че наистина съм се справил
в тази последна част.

Ще се видим в следващото видео!