Mean value theorem

Veremos se podemos entender intuitivamente

o teorema do valor médio.

E,como veremos, uma vez que você processar
parte dos termos matemáticos e da notação,

verá que é um teorema bastante intuitivo.

Vamos pensar sobre uma função f.

Digamos que tenho uma função f

e sabemos algumas coisas
sobre esta função.

Sabemos que é contínua
sobre o intervalo fechado

entre x igual a a e x igual a b.

Quando colocamos estes colchetes
quer dizer que o intervalo é fechado.

Quando coloco um colchete aqui,
significa que estou incluindo o ponto a.

E se coloco o colchete à direita,
em vez de parênteses,

significa que estamos incluindo o ponto b.

Continuidade significa que não temos
nenhuma descontinuidade ou saltos

neste intervalo fechado.

Também vamos assumir que a função
é diferenciável no intervalo aberto

entre a e b.

Estamos dizendo que não há problema
se a função não é diferenciável em a

ou em b.

E diferenciável significa que há
uma derivada definida; que você pode

calcular a derivada nesses pontos.

Então, a função é diferenciável
no intervalo aberto entre a e b.

Essas são as condições que vamos impor
para o teorema do valor médio.

Vamos tentar visualizar isto.

Esta é minha função, este é o eixo y
e este é o eixo x. Deixe-me desenhar

meu intervalo. Isso é a e isto aqui é o b.

Digamos que minha função
parece algo assim.

Neste ponto aqui, o valor de x é a
e o valor de y é f de a.

Neste ponto, o valor de x é b
e o valor de y é, obviamente, f de b.

Tudo que o teorema do valor médio diz
é que se calcularmos a taxa de variação

média do intervalo, em algum ponto
a taxa de variação instantânea

será igual a taxa de variação média.

O que isso significa visualmente?
Vamos calcular a taxa de variação média.

A variação média entre o ponto a
e o ponto b será o coeficiente angular

da reta secante. Esta é a reta secante.
Pense sobre o coeficiente angular.

O que o teorema do valor médio nos diz
é que em algum ponto deste intervalo

o coeficiente angular instantâneo
da reta tangente será igual

ao coeficiente angular da reta secante.

Podemos observar que aqui
parece que o coeficiente angular

da reta tangente é igual
ao coeficiente angular da reta secante.

E parece que aqui também
o coeficiente angular

da reta tangente é igual ao coeficiente
angular da reta secante.

Isso faz sentido intuitivamente.
Em algum ponto, o seu

coeficiente angular instantâneo
será igual ao seu coeficiente

angular médio. Como escreveríamos isso
matematicamente? Vamos calcular

o coeficiente angular
médio deste intervalo.

O coeficiente angular médio
deste intervalo, ou a taxa

de variação média - o coeficiente angular
da reta secante - será nossa diferença

em y sobre nossa diferença em x.
Qual é nossa diferença em y?

A nossa diferença em y
é f de b menos f de a

- sobre nossa diferença em x-
sobre b menos a.

Farei isso em vermelho.

Vamos recordar o que está acontecendo.

Isto aqui é o gráfico de y,
que é igual a f de x.

Estamos dizendo que o coeficiente angular
da reta secante, ou nossa taxa de variação

média do intervalo entre a e b,
é nossa variação em y

--a letra grega delta significa variação--
sobre nossa variação em x.

Que, obviamente, é igual a isso daqui.
O teorema do valor médio nos diz

que existe -- então se sabemos
essas duas coisas sobre a função--

um valor de x entre a e b. Então,
no intervalo aberto entre a e b

existe um valor c. E podemos dizer
que pertence ao intervalo aberto

entre a e b. Ou podemos dizer que algum
valor c tal que a é menor que c e

c é menor que b. Algum valor c onde
a taxa de variação instantânea

nesse valor x é igual a taxa
de variação média.

Então existe um c neste intervalo aberto
no qual a taxa de variação média é igual

a taxa de variação instantânea
nesse ponto. É tudo o que está dizendo.

Assim como vimos neste diagrama,
este poderia ser o nosso c. Ou este.

Você diria que f é continua
em a e b, no intervalo fechado,

e diferenciável no intervalo aberto.

e você vê toda esta notação.
O que isso nos diz?

Diz que em algum ponto no intervalo,
a taxa de variação instantânea será igual

a taxa de variação média
sobre todo o intervalo

No próximo vídeo, tentaremos
dar um exemplo da vida real

sobre quando isso faz sentido.

[legendado por: Pilar]