Mean value theorem

Podívejme se, zda rozumíme
Větě o střední hodnotě.

A jak uvidíme, až si rozebereme
některé matematické pojmy a symboly,

jedná se o docela
intuitivní větu.

Pojďme si představit
nějakou funkci f.

A o této funkci víme
několik věcí.

Víme, že je spojitá na
uzavřeném intervalu,

kde x je mezi 'a' a 'b'.

Když použijeme tyto závorky,
mluvíme o uzavřeném intervalu.

Tedy zahrnujeme bod 'a' z této
strany a bod 'b' z pravé strany.

Pozn. překladatele: v češtině
označujeme jako .

A spojitá znamená
jen to,

že funkce nemá žádné mezery nebo
skoky na tomto uzavřeném intervalu.

Pojďme dále předpokládat,
že je funkce diferencovatelná

na otevřeném intervalu
mezi body 'a' a 'b'.

Teď tedy říkáme,
že je v pořádku,

pokud funkce není diferencovatelná
přímo v bodech 'a' a 'b'.

Diferencovatelná znamená,
že existuje definovaná derivace.

Že funkci mezi těmito
body lze derivovat.

Je tedy diferencovatelná na
otevřeném intervalu (a;b).

Toto jsou tedy omezení,
se kterými budeme pracovat

ve Větě o střední hodnotě.

Pojďme si to zkusit
představit.

Toto je moje funkce.

Toto je moje osa y
a zde je osa x.

A nakreslím náš interval.
Toto je a, toto je b.

A řekněme, že funkce
vypadá nějak takto.

Můžeme nakreslit
libovolnou funkci.

Řekněme, že moje funkce
vypadá nějak takto.

V tomto bodě je hodnota
na ose x rovna a.

A hodnota na
ose y je f(a).

V tomto bodě je hodnota
na ose x rovna b

a hodnota na
ose y je rovna f(b).

To, co nám Věta o
střední hodnotě říká je,

že když vezmeme průměrnou
změnu na intervalu,

tak v nějakém bodě, alespoň v
nějakém z tohoto otevřeného intervalu,

je okamžitá rychlost změny stejná
jako průměrná rychlost změny.

Teď si znázorníme,
co to znamená.

Pojďme spočítat
průměrnou změnu.

Průměrná změna mezi
bodem 'a' a bodem 'b'

bude sklon sečny.

Toto je tedy sečna.

Vše, co nám Věta o
střední hodnotě říká, je,

že v nějakém bodě
tohoto intervalu

bude okamžitý sklon tečny
roven sklonu této sečny.

A pohledově můžeme
vidět, že zde to vypadá,

že skon tečny bude
stejný jako sklon sečny.

Také to vypadá, na
stejný případ zde.

Sklon tečny bude zde
stejný jako sklon sečny.

A to intuitivně
dává smysl.

V nějakém bodě bude okamžitý
sklon stejný jako průměrný sklon.

Jak bychom toto
zapsali matematicky?

Pojďme spočítat průměrný
sklon na tomto intervalu.

Průměrná změna,
sklon sečny,

bude změna y zde
lomeno změnou x.

Jaká je naše změna y?

Změna y je
f(b) minus f(a).

Toto celé lomeno
změna x.

Tedy lomeno
b minus a...

Napíši to
správnou barvou.

...Připomeňme si,
o co tady jde.

Toto zde je graf
funkce y rovno f(x).

Říkáme, že sklon sečny,
neboli průměrná změna

na intervalu (a;b)
je změna y...

toto je řecké písmeno delta,
označení pro změnu,

...lomeno změna
na ose x.

Což je samozřejmě
rovno tomuto.

A Věta o střední
hodnotě nám říká,

že když víme o těchto
dvou vlastnostech funkce,

tak zde existuje nějaká
hodnota x, mezi body 'a' a 'b'.

Tedy v otevřeném intervalu (a;b)
existuje nějaká hodnota c.

Můžeme říci, že hodnota c
leží na otevřeném intervalu (a;b).

Nebo můžeme říci, že existuje hodnota c,
kde a je menší než c a to je menší než b.

Tedy nějaké c
v tomto intervalu,

kde okamžitá změna
v této hodnotě x

je stejná jako průměrná
rychlost změny.

Existuje tedy nějaké c
v tomto otevřeném intervalu,

kde průměrná rychlost změny je rovna
okamžité rychlosti změny v tomto bodě.

To je celé, co
věta říká.

A jak jsme viděli na
tomto grafu,

toto by mohlo být naše c nebo
toto by také mohlo být naše c.

Podívejme se, máme
f spojitou na uzavřeném intervalu ,

f diferencovatelnou na
otevřeném intervalu (a;b)

a pak platí tento zápis.

Co to vlastně
znamená?

Vše, co nám
to říká je,

že v nějakém bodě tohoto intervalu
je okamžitá rychlost změny

stejná jako průměrná rychlost
změny na celém intervalu.

V dalším videu vám zkusím ukázat
reálný příklad, kde to využít.