Hệ số góc và tỉ lệ thay đổi

Tạo bởi Sal Khan and CK-12 Foundation.

Xem bài học tiếp theo: https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-graphing-lines-slope/core-algebra-slope/v/graphical-slope-of-a-line?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=algebrabasics

Bỏ lỡ bài học trước? https://www.khanacademy.org/math/algebra-basics/core-algebra-graphing-lines-slope/core-algebra-slope/v/slope-of-a-line-2?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=algebrabasics

Đại số cơ bản của Khan Academy: Đây không phải là số học đơn giản, tầm thường đâu nhé. Đây là Đại số cơ bản. Bạn sắp sửa phải chơi cùng các chuyên gia rồi đó. Hãy coi Đại số cơ bản như một bệ phóng. Bạn là máy bay và đại số là địa điểm nghỉ dưỡng của bạn. Nếu không có bệ phóng thì bạn chẳng đi đâu được cả. Nền móng của tất cả toán học cấp cao hơn là số lớn trong những khái niệm mà chúng tôi sẽ giới thiệu với bạn: số âm, giá trị tuyệt đối, thừa số, bội số, số thập phân, và phân số. Vậy nên hãy chuẩn bị sẵn sàng nhé. Chúng ta sắp sửa cất cánh rồi!

Về Khan Academy: Khan Academy là một tổ chức phi lợi nhuận có nhiệm vụ cung cấp giáo dục miễn phí, đẳng cấp thế giới cho bất kỳ ai, bất cứ nơi nào. Chúng tôi tin rằng mọi người bất kể lứa tuổi nên có quyền truy cập không giới hạn vào nội dung giáo dục miễn phí và học theo tốc độ riêng của mình. Sử dụng phần mềm thông minh, phân tích dữ liệu sâu và giao diện người dùng trực quan, Khan Academy tự hào mang đến cho người dùng những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập cho hơn 50 môn học, có gồm Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Chúng tôi đang cùng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và những học viện uy tín như MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành. Hiện giờ, Khan Academy đã được dịch sang hàng chục ngôn ngữ, và đã có hơn 100 triệu người trên toàn thế giới sử dụng nền tảng của chúng tôi mỗi năm. Để biết thêm thông tin, hãy truy cập www.khanacademy.org, tham gia Facebook của chúng tôi hoặc theo dõi chúng tôi trên twitter tại @khanacademy.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Khan Academy: https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy

Trong video này, mình sẽ làm một vài ví dụ về bài toán

liên quan đến hệ số góc. Ôn lại một chút thì hệ số góc là

một cách để đo lường độ dốc của một đường thẳng.

Định nghĩa của nó là sự thay đổi của y chia cho

sự thay đổi của x, và chúng ta sẽ vận dụng

kiến thức đó trong video này nha.

Bây giờ có thể bạn vẫn chưa hiểu cái này,

nhưng chúng ta sẽ cùng làm một vài ví dụ

và bạn sẽ hiểu hay thôi.

Đầu tiên, ta hãy bắt đầu với

đường thẳng a này nha.

Giờ ta hãy tìm hệ số góc của đường thẳng này.

Đề bài có cho 2 điểm ngay đây, và ta có thể

xem chúng như 2 điểm chuẩn.

Vậy trước tiên, hãy nhìn vào

tọa độ của các điểm đó.

Điểm này ở ngay đây

có tọa độ là bao nhiêu?

Hoành độ của điểm đó là 3.

Và tung độ là 6.

Và điểm ở dưới này có hoành độ là

âm 1 và tung độ là âm 6.

Vậy có nhiều cách để nghĩ về hệ số góc.

Thứ nhất, là ta có thể dùng công thức đã đề cập lúc nãy.

Hệ số góc bằng sự thay đổi của y chia cho

sự thay đổi của x.

Ta sẽ tính toán trước nha.

Và mình sẽ vẽ nó trên đồ thị sau.

Vậy sự thay đổi của y là gì?

Sự thay đổi của y có nghĩa là giá trị y của ta

đã thay đổi bao nhiêu khi đi từ điểm này đến điểm kia?

Vậy giá trị y đã thay đổi bao nhiêu?

Giá trị y của ta đi từ âm 6 lên đến

dương 6.

Vậy khoảng cách ở đây là bao nhiêu?

Chỗ này sẽ là điểm cuối của giá trị y.

Và điểm đầu của giá trị y là âm 6.

6 trừ cho âm 6 hoặc 6 cộng với 6 là bằng 12.

Hoặc bạn có thể đếm luôn cũng được.

Ta có 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 11, 12.

Vậy khi sự thay đổi của y là 12

thì sự thay đổi của x

là bao nhiêu?

Chúng ta sẽ đi từ x bằng âm 1

đến x bằng 3.

Đúng không nào?

Điểm cuối là 3, điểm đầu là âm 1,

vậy hệ số góc ở đây bằng 4.

Vậy sự thay đổi của y chia sự thay đổi của x bằng 12/4,

hoặc ta có thể viết dưới dạng tối giản nhất

là 3.

Vậy bây giờ cái này nghĩa là sao?

Đây để mình giải thích theo cách này.

Sự thay đổi của y chia cho sự thay đổi của x

thì bằng với 3/1 là 3 đó.

Và điều đó có nghĩa là khi ta di chuyển sang phải 1 đơn vị

trên trục x, thì ta di chuyển lên 3 đơn vị trên trục y, bởi vì

ta có dương 3 trên trục y nè.

Cũng như bạn thấy,

khi ta di chuyển sang phải 1 đơn vị trên x,

thì ta đi lên 3 đơn vị trên y.

Nếu bạn di chuyển 2 đơn vị trên x,

thì bạn sẽ di chuyển 6 đơn vị ở trên y,

vì 6/2 cũng tương tự với 3.

Vậy số 3 này cho ta biết là khi ta tăng x thì đường thẳng sẽ đi lên nhanh như thế nào.

Rồi, giờ ta hãy làm tương tự vậy với đường thẳng thứ 2 này nha.

Đồ thị b.

Cùng với ý tưởng tương tự,

mình sẽ dùng những điểm đề bài đã cho.

Hoặc là bạn có thể dùng bất kì điểm nào trên đường thẳng đó.

Chúng ta có 1 điểm ở đây,

điểm (0,1).

Ta gọi đây là điểm cuối nè,

còn đây là điểm đầu.

Và ta có thể thấy là

x là âm 6 và y là âm 2.

Vậy suy nghĩ tương tự,

thì sự thay đổi của x và y là gì?

Trước tiên, ta tìm sự thay đổi của

x trước nha.

Vậy delta x ở đây bằng gì nè?

Ta có thể đếm nó nè.

Đây là 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Vậy nó sẽ là 6.

Nhưng nếu bạn không có đồ thị để đếm,

thì bạn có thể lấy giá trị x của điểm cuối là 0, và

trừ đi giá trị x của điểm đầu.

Vậy 0 trừ âm 6.

Vậy sự thay đổi của x là bằng với 6.

Vậy sự thay đổi của y là gì?

Hãy nhớ là ta sẽ lấy điểm này là điểm kết thúc,

và điểm này làm điểm đầu.

Vậy ta lấy 0 trừ âm 6.

Và đối với y, ta có 1 trừ âm 2.

1 trừ âm 2 bằng gì ta?

Nó tương đương với 1 + 2.

Vậy nó bằng 3.

Vậy nó là 3/6 hoặc là 1/2.

Vậy chú ý là khi ta di chuyển 6 đơn vị trên trục x

ta sẽ di chuyển lên 3 đơn vị theo trục y.

Vậy sự thay đổi của y là 3 và sự thay đổi của x là 6.

Và một điều đã làm rất nhiều bạn bối rối đó là

làm sao mình có thể biết được là đặt số 0 trước

rồi âm 6 sau, và số 1 trước

rồi âm 2 sau.

Và câu trả lời là bạn có thể để chúng ở thứ tự nào cũng được

chỉ cần bạn nhớ là đã đặt tọa độ của điểm nào ở trước thì phải giữ như thế luôn.

Vậy ta đã có sự thay đổi của y trên

sự thay đổi của x rồi.

Nó bằng âm 2 trừ 1.

Vậy chúng ta dùng tọa độ của điểm này trước. Âm 2 trừ 1

trên âm 6 trừ 0.

Hãy để ý là cái này là

giá trị âm của cái kia.

Nhưng vì ta có số âm chia số âm ở đây,

nên chúng sẽ triệt tiêu nhau.

Vậy cái này sẽ bằng với âm 3 trên âm 6.

Và dấu trừ bị triệt tiêu.

Vậy cái này bằng với 1/2.

Vậy điều quan trọng là nếu bạn dùng tọa độ y của điểm này trước,

thì bạn cũng sẽ phải dùng

tọa độ x của điểm này trước luôn.

Còn nếu bạn dùng tọa độ y của điểm này trước, như ta đã làm ở đây,

thì bạn cũng sẽ phải dùng

tọa độ x của điểm này trước luôn.

Bạn phải chắc chắn rằng khi tính sự thay đổi của x và y

bạn phải sử dụng điểm đầu

và điểm cuối như nhau.

Vậy điều này có nghĩa là nếu ta cứ di chuyển về bên trái 6 đơn vị

trên trục x,

thì ta sẽ di chuyển xuống

3 đơn vị trên trục y.

Và cách hiểu như thế này cũng tương tự như cách hiểu khi nãy.

Hệ số góc của đường thẳng này là 1/2.

Và đó có nghĩa là khi ta đi sang phải 2 đơn vị trên x, ta sẽ đi lên 1 đơn vị trên y.

Hoặc nếu ta đi sang trái 2 đơn vị trên x, thì ta sẽ đi xuống 1 đơn vị trên y.

Chú ý là đường thẳng với hệ số góc là 1/2 sẽ ít dốc hơn

đường thẳng với hệ số góc là 3.

Ta hãy cùng làm thế vài ví dụ nữa nha.

Giờ ta sẽ đến với đường thẳng c ngay đây.

Để mình dùng màu hồng ở đây.

Mình sẽ dùng các điểm có sẵn

ở đây nha.

Điểm đầu có tọa độ là (-1, 6)

và điểm cuối có tọa độ là (5, -6)

Vậy hệ số góc của ta sẽ bằng

sự thay đổi của y

chia cho

sự thay đổi của x.

Đôi lúc ta có thể nói gọn là "tăng trong chạy."

"Chạy" là quãng đường ta di chuyển trên trục hoành.

"Tăng" là quãng đường ta di chuyển trên trục tung.

Và sự thay đổi của y là tung độ của điểm cuối

trừ tung độ của điểm đầu.

Rồi chia cho

hoành độ của điểm cuối

trừ hoành độ của điểm đầu.

Nếu bạn thấy hơi rối, thì để mình làm rõ hơn nè.

Nó sẽ bằng tung độ của điểm cuối là âm 6

trừ đi tung độ điểm đầu là 6, rồi tất cả chia cho

hoành độ điểm cuối là 5 trừ đi hoành độ điểm đầu là âm 1.

Vậy cái này bằng âm 6 trừ 6 là âm 12.

5 trừ âm 1

là 6.

Vậy âm 12/6 ở đây

tương tự như âm 2.

Chú ý là hệ số góc ở đây là số âm.

Bởi vì mỗi khi x tăng 1,

thì y sẽ giảm.

Vậy đường thẳng này có dốc đi xuống.

Nó sẽ đi từ nơi cao nhất bên trái và dần đi thấp xuống tới nơi thấp nhất bên phải.

Khi x tăng thì y sẽ giảm.

Do đó, hệ số góc ở đây là số âm.

Còn đường thẳng ngay đây thì có hệ số góc dương.

Hãy thử chứng minh nha.

Ta sẽ dùng các điểm tương tự

lúc nãy.

Đây là đường thẳng d.

Hệ sốc góc là bằng "tăng trong chạy."

Giá trị y của ta sẽ tăng bao nhiêu khi đi từ điểm này

sang điểm đó.

Nó đang tăng lên,

vậy mình có thể đếm nó nè.

Nó tăng 1, 2, 3,

4, 5, và 6 đơn vị.

Vậy ta đã "chạy" bao nhiêu?

Mình sẽ dùng màu khác ở đây.

Ta đã chạy 1, 2, 3,

4, 5, và 6 đơn vị.

Vậy hệ sốc góc là 6/6 là 1.

Có nghĩa là khi ta di chuyển sang phải

1 đơn vị trên x, thì ta di chuyển lên

1 đơn vị trên y.

Còn nếu ta đi sang trái 2 đơn vị trên x,

thì ta sẽ đi xuống 2 đơn vị trên y.

Vậy nếu x di chuyển như thế nào,

thì y sẽ di chuyển tương tự vậy.

Khá là dễ đúng không nào.

Nếu ta áp dụng toán học vào đây,

thì ta có thể tìm ra được tọa độ ở ngay đây.

Đây là điểm bắt đầu nè,

Và nó có tọa độ là (âm 2, âm 4)

Còn tọa độ của điểm cuối là (4, 2)

Vậy hệ số góc là sự thay đổi của y chia sự thay đổi của x.

Là 2 trừ âm 4 tất cả chia cho

4 trừ âm 2.

2 trừ âm 4 là 6.

Và 6 này là khoảng cách ngay đây nè.

Tiếp tục thì 4 trừ âm 2, cũng bằng 6 luôn.

Và đó là khoảng cách ngay đây nè.

Vậy là hệ số góc của ta bằng 1.

Hãy cùng mình

làm một vài ví dụ nữa nha.

Thật thú vị phải không nào.

Giờ ta sẽ tiếp tục với đường thẳng e ngay đây.

Sự thay đổi của y chia cho sự thay đổi của x

Mình sẽ đếm sự thay đổi của y

khi ta đi từ điểm này đến điểm này nha.

Đây là 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, và 8 nè.

Hoặc bạn có thể lấy tung độ 2 này trừ đi âm 6

cũng sẽ ra được 8 luôn.

Vậy còn

sự thay đổi của x là gì?

Hoành độ của điểm này là 4.

Còn hoành độ của điểm kia cũng là 4.

Vậy thì sự thay đổi của x là 0.

Thế thì ở đây là 8/0.

8/0 không xác định.

Vậy trong trường hợp này thì hệ số góc không xác định.

Và đường thẳng mà thẳng đứng thế này thì

hệ số góc của nó sẽ không xác định.

Bởi vì chia cho 0 thì không xác định.

Nhưng điều đó cũng có nghĩa là

đường thẳng đó thẳng đứng.

Và cuối cùng, đến đường thẳng này.

Để tính được hệ số góc này thì

ta hãy nhìn vào đây.

Ta có điểm ở ngay đây

có tọa độ là (3, 1).

Và đây là đường thẳng f

Còn đây là điểm với tọa độ (3, 1).

Và ở ngay đây bạn có điểm (âm 6, âm 2).

Vậy hệ số góc sẽ bằng sự thay đổi của y trên sự thay đổi của x.

Mình sẽ xem điểm này

là điểm cuối nha.

Giờ ta sẽ đi xuống

theo hướng này nha.

Vậy nó là âm 2 trừ 1.

Và đó là khoảng cách ở đây nè.

Âm 2 trừ 1 là bằng 3.

Vậy ta di chuyển xuống 3 đơn vị.

Vậy còn sự thay đổi của x là bằng gì?

Ý mình à khoảng cách ngay đây là bằng gì nè?

Thì nó sẽ bằng với hoành độ của điểm cuối là âm 6

trừ đi 3.

Và khoảng cách đó bằng âm 9.

Mỗi khi ta di chuyển sang trái 9 đơn vị, thì ta di chuyển xuống 3 đơn vị.

Và điều đó cũng tương tự như khi ta di chuyển sang phải 9 đơn vị,

thì ta sẽ đi lên 3 đơn vị.

Hai cách hiểu này tương tự nhau cả.

Và khi triệt tiêu ở đây thì ta còn lại

hệ số góc là dương 1/3.

Vậy đây là đường thẳng có dốc hướng lên.

Mỗi khi ta "chạy" 3 đơn vị, ta "tăng" 1 đơn vị

Chúng ta xong rồi, hi vọng là sau video này bạn đã hiểu rõ hơn về hệ số góc nha.