Slope and Rate of Change

Bu videoda eğim problemleriyle ilgili birçok örnek

yapacağım. Biraz tekrar yapacak olursak, eğim sadece

bir doğrunun eğim açısını ölçmektir.

Bu videoda işe yarayan bilgiler edinmeyi

umuyoruz. Eğimin tanımı

y'deki değişimin x'teki değişime bölümüdür.

Bu size şu anda anlamlı geliyor ya da gelmiyor olabilir

Ama daha çok örnek çözdükçe,

aklınıza oturacağını düşünüyorum.

Şimdi ilk doğrumuzu buraya çizelim.

Doğru a.

Bunun eğimini bulalım.

Bunlar genellikle bizim referans noktalarımız

olarak kullanabileceğimiz iki noktayla çizilir.

O zaman önce, bu doğruların

koordinatlarına bakalım.

Burada bu noktanız var.

Bunun koordinatları ne?

x koordinatı 3,

y koordinatı 6.

Ve burada, bu noktanın x koordinatı

negatif 1 ve y koordinatı negatif 6.

Burada eğime ulaşmak için birkaç yol var.

Birisi, doğrudan formülü kullanmaktır.

Diyebiliriz ki y'deki değişim-- yani eğim y'deki değişim bölü

x'teki değişmedir.

Bunu sayı olarak hesaplayabiliriz.

Birazdan bunun grafiğini çizeceğim.

Şimdi, y'deki değişim nedir?

y'deki değişim, tam anlamıyla, y'mizin

bu noktadan o noktaya giderken y'nin yaptığı değişimin değeridir.

Peki y'miz ne kadar değişmiş yapmış?

Bizim y buradan gitmiş, y -6'dan +6'ya kadar

olan tüm yolu gitmiş.

Peki buradaki mesafe nedir?

Bu sizin bitiş noktasındaki y değeriniz, yani

6 eksi başlangıç noktanızdaki y değeriniz olacak.

Eksi -6 ya da 6 +6, 12'ye eşittir.

Bunu sayarak da bulabilirsiniz.

Bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi, sekiz, dokuz,

on, on bir, on iki.

y değerimizi 12 birimlik bir değişime uğramış ki,x değerimizi de

bir şeyle değiştirmeliyiz-- y'deki değişimin aynısının üstünden, x'teki

değişim nedir?

x eşittir -1'den x eşittir 3'e

kadar gittik.

Değil mi? x -1'den 3'e kadar gitti.

Bitiş noktasına ulaştık, 3 eksi başlangıç noktası,

ki başlangıç noktası da -1, yani sonuç 4'e eşittir.

Yani y'deki değişim bölü x'teki değişim eşittir 12/4'e ya da eğer biz

bunu en basit halinde yazmak istersek,

3'tür.

Bunu yorumlayacak olursak, yukarı doğru gideceğimiz her bir birimde--

sanırım yazarsam daha iyi olacak.

y'deki değişim bölü x'teki değişim eşittir 3

yani 3 bölü 1.

Bu da, pozitif x doğrultusunda gittiğimiz her birimde

yukarı doğru 3 birim hareket etmiş olacağız çünkü

bu y doğrultusunda gidilen bir 3 anlamına gelir.

Bunu görebilirsiniz.

x'te 1 ilerlediğimizde, y'de 3 ilerledik.

x'te 1 ilerlediğimizde, y'de 3 ilerledik.

Eğer x doğrultusunda 2 birim ilerlerseniz, y'de

6 ilerleyeceksiniz.

6 bölü 2, 3 ile aynı şeydir.

Yani bu 3 bize x arttıkça yukarıya doğru ne kadar hızlı ilerleyeceğimizi söylüyor.

Aynı şeyi bu grafikteki ikinci çizgi için yapalım.

Grafik b.

Aynı mantık.

Bize verdikleri noktaları kullanacağım.

Ama aslında bu doğrudaki herhangi bir noktayı kullanabilirsiniz.

Şimdi bakalım, burada bir noktamız var, ki o da

0,1 noktası.

0,1'iniz var.

Ve sonra başlama noktası-- buna bitiş noktası da

diyebiliriz-- başlangıç noktası burada,

x -6, y -2'ymiş diyebiliriz.

Yani aynı mantık.

x'teki değişime göre y'deki değişim nedir?

O zaman öncelikle x'teki değişimi bulalım. x'teki

değişim nedir?

Bu durumda, x'teki değişim nedir? delta x.

Bunu sayarak bile bulabiliriz.

Bir, iki, üç, dört, beş, altı.

Bu altı olacak.

Ama eğer üzerinden sayabileceğiniz bir grafiğiniz yoksa,

bitiş x pozisyonunuzu alabilirsiniz, bu 0'dır ve

bunu başlangıç x pozisyonunuzdan çıkarabilirsiniz.

0 eksi -6.

x'teki değişiminiz 6 iken

y'deki değişim nedir?

Hatırlayın, bunu bitiş pozisyonumuz olarak alıyoruz.

Bu da bizim başlangıç pozisyonumuz.

0 eksi değişim 6'yı alıyoruz.

Sonra y üzerinde, 1 eksi -2 işlemini yapmalıyız.

1 eksi -2

1 eksi -2 nedir?

1 artı 2'yle aynı şeydir.

3'e eşittir.

Yani bu 3 bölü 6 ya da 1/2'dir.

Farkına varmamız gereken şey, x doğrultusunda 6 ilerlediğimizde,

y'de 3 birim yukarı çıktık.

Yani y'deki değişim 3'tü ve x'teki değişim 6'ydı.

Şimdi, birçok insanın kafasını karıştıran şeylerden biri

bu işin hangi sırayla olduğu-- 0'ın ilk, -6'nın ikinci,

sonra da 1'in ilk, -2'nin ikinci olduğunu

yaparken bunu nasıl bilebilirim?

cevap şu: sırayı bozmadığınız sürece

istediğiniz düzende yapabilirsiniz.

Yani y'deki değişim bölü x'teki değişim

olarak da yapabiliriz.

bunun -2 eksi 1'e eşit olacağını söylemiştik.

o zaman ilk olarak bu kordinatı kullanıyoruz y bölü -6 eksi 0 için

-2 eksi 1.

Bunun aynısının negatif hali olduğunu fark etmeliyiz.

Bu negatif hali.

Ama negatif bölü negatifimiz olduğundan, birbirlerini

götürecekler.

Yani bu işlem negatif 3 bölü negatif 6'ya eşit olacak.

Negatifler birbirini götürür.

1/2'ye eşit olur.

Önemli olan eğer ilk olarak y koordinatlarını kullanırsanız

sonra bu x koordinatlarını da

kullanmanız gerekecek.

Eğer bizim burada yaptığımız gibi ilk olarak bu y koordinatlarını kullanırsanız

burada yaptığınız gibi,

bu x koordinatlarını da ilk kullanmanız gerekecek.

Sadece y'deki ve x'teki sapmalarınızın

aynı başlangıç ve bitiş noktalarını kullandığınızdan

emin olmanız gerekiyor.

Bunu açıklamak için, x'teki her

-6 birimlik değişim için--

Yani eğer x'te -6 gidersek, yani geriye doğru gidiyor, y'de

-3 gideceğiz.

Temel olarak aynı şey.

Bu doğrunun sapması 1/2.

Söylediği şey, x'te yaptığımız her 2 birimlik gidişte, y'de 1 birim çıkıyoruz.

Ya da x'te 2 birim geriye gittiğimizde, y'de 1 birim iniyoruz.

1/2'lik bir sapmanın anlamı budur.

Farkettiyseniz, 1/2'lik bir eğimi olan bir doğru,

eğimi 3 olan bir doğruya göre daha az diktir.

Bunlardan birkaç tane daha yapalım.

Burada c doğrusunu yapalım.

Pembe renkte yapacağım.

Başlangıç noktası diyelim ki-- bunu

rastgele seçiyorum.

Burada çizilmiş olan noktaları kullanıyorum.

Başlangıç noktasının koordinatları negatif 1,6 ve

bitiş noktamın koordinatları 5, negatif 6.

Sapmamız -- şuraya yazayım-- sapma x'teki, pardon,

y'deki sapmaya eşit olacak.

Bunu asla unutmam.

y'deki sapma bölü x'teki sapma.

Bazen yükselti bölü ilerleme de denir.

İlerleme yatay doğrultuda ne kadar gittiğindir.

Yükselti dikey doğrultuda ne kadar gittiğindir.

y'deki sapmamız y'deki bitiş noktamız

eksi başlangıç noktamız diyebiliriz.

Bu bizim y'deki bitiş noktamız.

Bu y'deki başlangıç noktamız, bölü x'teki bitiş noktamız

eksi x'teki başlangıç noktamız.

Eğer bu kafanızı karıştırıyorsa, söylediğim şey, bunun

y'deki bitiş noktamız negatif 6 eksi başlangıç noktamız

olacağı, yani 6, bölü x'teki bitiş noktamız,

ki o da 5, eksi başlangıç noktamız, ki o da negatif 1.

Bu negatif 6 eksi 6 negatif, yani -12 demektir.

5 eksi negatif 1.

bu 6'dır.

-12/6.

Bu negatif 2'yle aynı şeydir.

Burada negatif bir sapmamız olduğuna dikkat edin.

Bunun nedeni ise x her 1 birimlik hareketinde, y doğrultusunda

aşağı iniyor.

Yani bu inişli bir sapma.

Üst soldan sağ alta gidiyor.

x arttıkça y azalır.

Bu neden negatif bir sapmamızın olduğunun nedeni.

Burada doğrunun pozitif bir sapması olması gerekir.

Bunu doğrulayalım.

Burada kullandıkları noktaların

aynısını kullanacağım.

Yani bu d doğrusu.

Sapma yükselme bölü ilerlemeye eşittir.

Bu noktadan o noktaya giderken ne kadar yükseliyoruz?

Görelim.

Bunu bu yolla yapabiliriz.

Yükseliyoruz-- Bunu sadece sayacağım.

Bir, iki, üç, dört, beş, altı yükseliyoruz.

6 yükseliyoruz.

Ne kadar ilerliyoruz?

Bunu farklı bir renkte yapacağım.

Bir, iki, üç, dört, beş, altı ilerliyoruz.

6 ilerliyoruz.

Yani sapmamız 6/6, ki bu da 1' eşit.

Bu, x doğrultusunda her 1 birim gidişimizde--

pozitif 1 gittiğimizde-- y doğrultusunda da pozitif 1

gideceğimizi demektir.

Gittiğimiz her x için, eğer x doğrultusunda negatif 2 gidiyorsak y doğrultusunda da

negatif 2 gideceğiz.

Yani x'te ne yapıyorsak, bu sapmada y'de de

aynısını yapacağız.

Bunun gayet basit olduğunu fark edin.

Eğer bunu matematiksel olarak yapmak isteseydik, buradaki koordinatı

çözebilirdik.

Bunu başlangıç pozisyonumuz olarak görebiliriz.

Başlangıç pozisyonumuz negatif 2, negatif 4.

Bitiş pozisyonumuz 4,2.

4,2

Yani sapmamız, y'deki sapma bölü x'teki sapma.

2 eksi negatif 4 bölü 4 eksi negatif 2

noktalarını alacağım.

2 eksi negatif 4 6'dır.

Bunun sadece buradaki uzaklık olduğunu unutmayın.

Sonra 4 eksi negatif 2, bu da 6'dır.

Bu da buradaki uzaklık.

1 olan bir sapma elde ettik.

Başka bir tane yapalım.

Başka bir çift yapalım.

Bunlar ilginç.

Burada bir e doğrusu yapalım.

y'deki sapma bölü x'teki sapma.

Yani y'deki sapmamız, bu noktadan o noktaya

gidersek-- Bunu sadace sayacağım.

Bu; bir, iki, üç, dört, beş, altı, yedi, sekizdir.

8'dir.

Hatta bunu sadece y koordinatı 2 eksi negatif

6 olarak alsaydınız da size 8 birimlik bir uzaklığı verirdi.

y'deki sapma nedir?

y'deki değer burada-- ah pardon x'teki sapma nedir?

x değeri burada 4'tür.

Buradaki x değeri 4'tür.

x sapmıyor.

Yani 8/0.

Bilmiyoruz.

8/0 tanımsızdır.

Yani bu durumda bu sapma tanımsızdır.

Bir dikey doğrunuz olduğu zaman,

sapmanız tanımsızdır.

Çünkü 0'a bölüyorsunuz.

Ama bu size dikey bir doğruyla uğraştığınızı

söyler.

Şimdi son olarak sadece bunu yapalım.

Bu problem çok kolay bir sapma

gibi görünüyor.

Tam burada bu noktanız var, ki o da

3,1 noktası.

Yani bu f doğrusu.

3,1 noktanız var.

Sonra, burada negatif 6, negatif 2 noktalarınız var.

Sapmamız y'deki sapmaya eşit olacak.

Bunu bitiş noktamız olarak alacağım, sadece değişik doğrultularda

ilerleyebilin diye.

Yani y'deki sapmamız-- bu doğrultuda

aşağı doğru gideceğiz.

Bu negatif 2 eksi 1.

Bu, tam buradaki uzaklıktır.

Negatif 2 eksi 1, ki bu da negatif 3'e eşittir.

Aşağı doğru 3 birim ilerlediğimizi fark edin.

Ve sonra x'teki sapmamız ne olacak?

O miktara geri dönüyoruz.

O miktar nedir?

Bu negatif 6 olacak, bu da bitiş noktamız,

eksi 3.

Bu bize negatif 9 olan uzaklığı veriyor.

Geriye doğru gittiğimiz her 9 birimde, aşağıya doğru 3 birim ilerliyoruz.

Eğer 9 geri gidersek, 3 aşağı iniyoruz.

Ki bu da 9 ileri gidersek, 3 yukarı çıkacağımızı söylemekle

aynı şey.

Hepsi eşit.

Ve bunların birbirini götüreceği ve 1/3'lük bir sapmanızın olacağını görüyoruz.

Pozitif 1/3.

Bu yükselen bir sapma doğrusu.

Her 3 ilerlediğimizde, 1 yükseliyoruz.

Her 3 ilerlediğimizde, 1 yükseliyoruz.

Her neyse, umarım bu size sapmalar konusunda güzel bir tekrar olmuştur.