Slope and Rate of Change

ในวิดีโอนี้ ผมจะทำตัวอย่างโจทย์เรื่อง

ความชันหลายอัน ลองมาทวนกันหน่อย ความชันก็แค่วิธี

วัดความเอียงของเส้นตรง

และนิยาม -- หวังว่าเราคง

คุ้นกับเนื้อหาแล้วจนถึงวิดีโอนี้ -- นิยามของ

มันก็คือการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x

มันอาจฟังดูเข้าท่าหรือไม่ก็ตามในตอนนี้, แต่เมื่อ

เราทำตัวอย่างมากขึ้นมากขึ้น, ผมว่ามัน

จะดูเข้าท่าไปเอง

งั้นลองดูเส้นตรงแรกตรงนี้

เส้นตรง a

ลองหาความชันของมันดู

เราต้องเลือกจุดสองจุดขึ้นมา เราจะได้

ใช้เป็นจุดอ้างอิง

ก่อนอื่นเลย, ลองดู

พิกัดของจุดเหล่านั้นก่อน

คุณมีจุดนี่ตรงนี้

พิกัดของมันคืออะไร?

พิกัด x ของมันเป็น 3

ส่วนพิกัด y เป็น 6

แล้วก็ล่างลงไปตรงนี้, พิกัด x ของจุดนี้คือ

ลบ 1 และพิกัด y เป็นลบ 6

มันมีวิธีคิดถึงความชันได้หลายแบบ

แบบหนึ่งคือ, เรามองมันตรงๆ แล้วใช้สูตร

เราก็บอกว่าการเปลี่ยนแปลงของ y -- ความชันก็คือการเปลี่ยนแปลงของ y

ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

เราหามันออกมาไปตัวเลขได้

ผมจะวาดมันเป็นภาพให้ดูในไม่ช้า

แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y คืออะไร?

การเปลี่ยนแปลงของ y ตามชื่อก็คือปริมาณที่ y

เปลี่ยนแปลงจากจุดนี่ถึงจุดนั้น เป็นเท่าไหร่?

ค่า y เปลี่ยนแปลงแค่ไหน?

ค่า y เราไปจากตรงนี้, y อยูที่ลบ 6 แล้วมันขึ้นไป

จนถึงลบ 6

แล้วระยะนี่ตรงนี้คืออะไร?

มันก็คือค่า y ของจุดปลาย

มันจะเป็น 6 ลบค่า y ตั้งต้น

ลบ ลบ 6 หรือ 6 บวก 6 เท่ากับ 12

คุณนับนี่เอาก็ได้

คุณบอกว่า 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

10, 11, 12

แล้วเมื่อเราเปลี่ยนค่า y ไป 12, เราต้องเปลี่ยนค่า x

ไป -- การเปลี่ยนแปลงของ x เมื่อ

ค่า y เปลี่ยนไปเท่านั้นเป็นเท่าไหร่

เราก็เริ่มจาก x เท่ากับลบ 1

ไป x เท่ากับ 3

จริงไหม? x ไปจากลบ 1 ถึง 3

แล้วเราก็ดูจุดปลาย, ก็คือ 3 ลบจุดตั้งต้น

ซึ่งก็คือลบ 1, ได้เท่ากับ 4

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x เท่ากับ 12/4 หรือ

หากเราเขียนในรูปที่ง่ายที่สุด, นี่ก็

เหมือนกับ 3

ทีนี้การตีความคือว่าทุกครั้งที่เราเลื่อนไป 1

-- เรามองแบบนี้ได้ ขอผมเขียนแบบนี้แล้วกัน

การเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการปลี่ยนแปลงของ x เท่ากับ -- เราบอกว่า

มันคือ 3 หรือเราบอกว่า 3 ส่วน 1 ก็ได้

ซึ่งบอกเราว่าทุกครั้งที่เราเลื่อนไปในทิศ

บวก x ไป 1, เราจะเลื่อนขึ้น 3 เพราะนี่

คือบวก 3 ในทิศ y

คุณคงเห็นได้

เมื่อเราเลื่อน x ไป 1, ค่า y ก็เลื่อนขึ้น 3

เมื่อเราเลื่อน x ไป, y ก็เลื่อนขึ้น 3

หากคุณเลื่อน x ไป 2, y ก็เพิ่มขึ้น

ไป 6

6/2 ก็เหมือนกับ 3

ดังนั้นเลข 3 นี่บอกเราว่าเราขึ้นไปเร็วแค่ไหนเมื่อเราเพิ่ม x

ลองทำแบบเดียวกันกับเส้นตรงเส้นที่สองบนกราฟนี้

กราฟ b

คิดเหมือนกัน

ผมจะใช้จุดที่เขาให้เรามา

แต่จริงๆ แล้วคุณจะใช้จุดใดบนเส้นตรงนั้นก็ได้

งั้นลองดู, เรามีจุดนึงตรงนี้, ก็คือ

จุด 0, 11

คุณมี 0, 1

แล้วจุดตั้งต้น -- เราเรียกนี่ว่า

จุดปลายก็ได้ -- จุดตั้งต้นตรงนี้, เราอาจมอง

มันเป็น x เท่ากับลบ 6 และ y เท่ากับลบ 2

แนวคิดเดิม

การเปลี่ยนแปลงของ y เทียบกับการเปลี่ยนแปลงของ x คืออะไร?

ลองหาการเปลี่ยนแปลงของ x ก่อน การเปลี่ยนแปลง

ของ x เป็นเท่าไหร่?

ในกรณีนี้, การเปลี่ยนแปลงของ x คืออะไร? เดลต้า x

เรานับเอาก็ได้

มันคือ 1, 2, 3, 4, 5, 6

มันจะเป็น 6

แต่ถ้าคุณไม่มีกราฟให้นับ, คุณก็เอา

ค่า x ตอนจบ, มันคือ 0, และ

ลบด้วยค่า x ตั้งต้น

0 ลบ ลบ 6

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของ x เท่ากับ -- นี่ก็เท่ากับ 6 --

แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y ล่ะ?

จไว้ว่าเราให้นี่เป็นจุดจบ

นี่ก็คือจุดตั้งต้น

เราเลยเอา 0 ลบ ลบ 6

แล้วสำหรับ y เราต้อง 1 ลบ ลบ 3

1 ลบ ลบ 2

1 ลบ ลบ 2 ได้อะไร?

มันก็เหมือนกับ 1 บวก 2

นั่นเท่ากับ 3

มันก็คือ 3/6 หรือ 1/2

สังเกตว่า ตอนเราเลื่อน x ไป 6, เราก็เลื่อน

y ไปบวก 3

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของ y เป็น 3 ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x เป็น 6

ทีนี้, สิ่งนึงที่ทำให้คนจำนวนมากงงคือ

ฉันจะรู้ได้ยังไงว่าจะเรียง ฉันจะเรียงเอา 0

ก่อนแล้วลบ 6 ทีหลัง แล้วก็เอา 1 ก่อน

แล้วค่อย ลบ 2 ทีหลัง

และคำตอบคือว่าคุณจะเรียงลำดับยังไงก็ได้

ตราบใดที่คุณยังทำเหมือนกัน

ดังนั้นคุณมีการเปลี่ยนแปลงของ y

ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

เราบอกได้ว่า, มันคือ ลบ 2 ลบ 1

เราเลยใช้พิกัดนี้ก่อน ลบ 2 ลบ 1 สำหรับ

y ส่วนลบ 6 ลบ 0

สังเกตว่านี่เป็นลบของนั่น

นั่นก็ลบของอันนั้น

แต่เนื่องจากเรามีลบส่วนลบ, มัน

เลยตัดกัน

นี่เลยจะเท่ากับลบ 3 ส่วนลบ 6

ลบตัดกันไป

นี่ก็เท่ากับ 1/2 ด้วย

สิ่งสำคัญก็คือว่า ถ้าคุณใช้นี่ในพิกัด y ก่อน

คุณก็ต้องใช้นี่เป็น

พิกัด x อันแรกด้วย

หากคุณใช้พิกัด y นี่ก่อนอย่างที่เราทำไป, แล้ว

คุณก็ต้องใช้พิกัด x นี่ก่อนด้วย

อย่างที่เราทำไป

คุณแค่ต้องแน่ใจว่าการเปลี่ยนแปลงของ x กับ

การเปลี่ยนแปลงของ y นั้น -- คุณต้องใช้

จุดปลายกับจุดตั้งต้นเหมือนกัน

ลองตีความนี่ดู นี่บอกว่าทุกครึ่งที่ค่า x

เปลี่ยนไปลบ 6

ถ้าเราไป ลบ 6 ในทิศ x, นั่นคือย้อนหลัง, เรา

ก็จะขึ้นไปลบ 3 ในทิศ y

นั่นก็หมายความเหมือนกัน

ความชันของเส้นตรงนี้เป็น 1/2

ซึ่งบอกเราว่าทุกครั้งที่ x ขึ้นไป 2, ค่า y ก็ขึ้นไป 1

หรือหากเราถอยหลังค่า x ไป 2, ค่าy ก็ลงไป 1

นั่นคือสิ่งที่ความชัน 1/2 บอกเรา

สังเกตว่า เส้นตรงที่มีความชันเป็น 1/2 นั้น ชันน้อยกว่า

เส้นตรงที่มีความชันเป็น 3

แล้วเราทำพวกนี้เพิ่มอีก

ลองดูเส้น c นี่

ผมจะใช้สีชมพูดนะ

สมมุติว่าจุดเริ่มต้น -- ผมจะเลือก

จุดนี้ตามใจเลย

ทีนี้, ผมใช้จุดเหล่านี้ที่เขาให้มาก็ได้

จุดเริ่มต้นอยู่ที่พิกัด ลบ 1, 6 และ

จุดปลายอยู่ที่จุด 5, ลบ 6

ความชันจะเป็น -- ขอผมเขียนนี่นะ -- ความชันจะ

เท่ากับการเปลี่ยนแปลงของ x -- โทษทีการเปลี่ยนแปลงของ y

ผมจะไม่ลืมเลย

การเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

บางครั้งก็เรียกว่าระยะตั้งส่วนระยะนอน

ระยะนอนคือระยะที่คุณเคลื่อนไปในแนวราบ

ระยะตั้งคือระยะที่คุณเคลื่อนไปในแนวดิ่ง

แล้วเราบอกว่าการเปลี่ยนแปลงของ y คือค่า y ของจุดปลาย

ลบค่า y ของจุดตั้งต้น

นี่คือ y ของจุดปลาย

นั่นคือ y ของจุดตั้งต้น ส่วนค่า x ของจุดปลาย

ลบค่า x ของจุดตั้งต้น

หากนั่นทำให้คุณงง ผมแค่บอกว่า, มันจะเท่ากับ

ค่า y ตอนจบ เท่ากับ ลบ 6 ลบ

ด้วยค่า y ตอนแรก ก็คือ 6, ส่วนค่า x ตอนจบ

เท่ากับ 5, ลบด้วยค่า x เริ่มต้น, ก็คือลบ 1

นี่ก็เท่ากับลบ 6 ลบ 6 ได้ ลบ 12

5 ลบ ลบ 1

นั่นคือ 6

ได้ ลบ 12/6

นั่นก็เหมือนกับลบ 2

สังเกตว่าเราได้ความชันเป็นลบ

เพราะทุกครั้งที่เราเพิ่ม x ไป 1, เราจะลง

ไปในทิศ y

นี่คือเส้นตรงลาดลง

มันลากจากบนซ้ายไปล่างขวา

เมื่อ x เพิ่มขึ้น, y ก็ลดลง

นั่นคือสาเหตุที่เราได้ความชันเป็นลบ

เส้นตรงนี่ตรงนี้ควรมีความชันเป็นบวก

ลองทดสอบดู

ผมใช้จุดที่เขา

ใช้ตรงนี้

นี่คือเส้นตรง d

ความชันเท่ากับระยะขึ้นส่วนระยะนอน

เราขึ้นไปเท่าไหร่ เมื่อเราไปจากจุดนั้นถึงจุดนั้น?

ลองดู

เราทำแบบนี้ก็ได้

เรากำลังขึ้น -- ผมนับเอาก็ได้

เราขึ้นไป 1, 2, 3, 4, 5, 6

เราขึ้นไป 6

แล้วเราเดินไปเท่าไหร่?

เรากำลังเดินไป -- ผมจะใช้อีกสีนึงนะ

เราเดินไป 1, 2, 3, 4, 5, 6

เราไปได้ 6

ดังนั้นความชันเป็น 6/6 เท่ากับ 1

ซึ่งบอกเราว่าทุกครั้งที่เราเพิ่มค่า x ไป 1 --

บวก 1 ในทิศ x -- เราก็ขึ้น

ไปตามทิศ y ไป 1

สำหรับทุก x, หากเราลดค่า x ลง 2, ค่า

y ก็ลดลง 2 เช่นกัน

ดังนั้นไม่ว่าเราจะทำอะไรกับ x, เราก็

ทำอย่างเดียวกับ y สำหรับความชันค่านี้

สังเกตว่ามันง่ายทีเดียว

หากเราอยากทำแบบคณิตศาสตร์ถูกต้อง, เรา

ก็หาจากพิกัดนี่ตรงนี้

เรามองมันเป็นจุดตั้งต้น

จุดตั้งต้นของเราคือ ลบ 2, ลบ 4

จุดจบคือ 4, 2

4,2

แล้วความชัน, การเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

ผมจะใช้จุด 2 นี่ลบ ลบ 4 ส่วน 4 ลบ

ลบ 2

2 ลบ ลบ 4 ได้ 6

จำไว้ว่ามันก็แค่ระยะนี่ตรงนี้

แล้ว 4 ลบ ลบ 2 ก็ได้ 6 เหมือนกัน

นั่นก็คือระยะนั่นตรงนี้

เราได้ความชันเป็น 1

ลองทำอีกอันหนึ่ง

ลองทำอีกสองสามอัน

พวกนี้น่าสนใจ

ลองดูเส้นตรง e ตรงนี้

การเปลี่ยนแปลงของ y ส่วนการเปลี่ยนแปลงของ x

การเปลี่ยนแปลงของ y, ตอนเราไปจากจุดนี้ถึงจุดนี้

-- ผมก็แค่นับเอา

มันคือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

ได้ 8

หรือคุณอาจเอาพิกัด y 2 ลบ ลบ

6 ได้ระยะเป็น 8

แล้วการเปลี่ยนแปลงของ y ล่ะ?

ทีนี้ค่า y ตรงนี้คือ -- โอ้ โทษที การเปลี่ยนแปลงของ x คืออะไร?

ค่า x ตรงนี้เป็น 4

ส่วนค่า x ตรงนี้เป็น 4

x ไม่เปลี่ยนแปลง

มันคือ 8/0

ไม่รู้เหมือนกัน

8/0 นิยามไม่ได้

ในกรณีนี้ความชันนิยามไม่ได้

ตอนเรามีเส้นดิ่ง, คุณบอกว่า

ความชันนิยามไม่ได้

เพราะคุณหารด้วย 0

แต่มันบอกเราว่า คุณอาจยุ่งกับ

เส้นตรงดิ่ง

และสุดท้ายลองทำอันนี้ดู

มันดูเป็นโจทย์ความชันธรรมดาๆ

ตรงนี้

คุณมีจุดนี่ตรงนี้

คือจุด 3,1

นี่คือเส้นตรง f

คุณมีจุด 3,1

แล้วตรงนี้คุณมีจุด ลบ 6 ลบ 2

ดังนั้นความชันจะเท่ากับการเปลี่ยนแปลงของ y

ผมจะใช้นี่เป็นจุดปลาย คุณก็ไป

อีกทิศนึงได้

การเปลี่ยนแปลงของ y -- ทีนี้เราจะไป

ลงไปตามทิศนั้น

มันก็คือ ลบ 2 ลบ 1

นั่นคือระยะนี่ตรงนี้

ลบ 2 ลบ 1 ได้เท่ากับลบ 3

สังเกตว่าเราลงไป 3

แล้วการเปลี่ยนแปลงของ x เป็นเท่าไหร่?

เราก็ลงไปเท่านั้น

เท่านั้นล่ะเท่าไหร่?

ทีนี้, นั่นจะเท่ากับลบ 6, นั่นคือจุดปลาย

ลบ 3

นั่นให้ระยะเราเป็นลบ 9

ทุกครั้งที่เราถอยไป 9, เราจะลดลง 3,

หากเราถอย 9, เราจะลดลง 3

มันก็เหมือนกับว่าเราเดินหน้า 9, แล้วเรา

จะขึ้นไป 3

เหมือนกัน

เราจะเห็นว่านี่ตัดกันแล้วเราได้ความชันเป็น 1/3

บวก 1/3

มันเป็นเส้นตรงชันขึ้น

ทุกครั้งที่เราเดินไป 3, เราก็สูงขึ้น 1

ทุกครั้งที่เราเดินหน้า 3, เราก็สูงขึ้น 1

เอาล่ะ, หวังว่านี่คงช่วยคุณทวนเรื่องความชันได้ดีนะ